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Yun、Gabjin

无迹Ricci张量和Einstein型流形的应力能张量。 （英语） Zbl 07828405号

J.韩国数学。Soc公司。 61，编号2，255-277（2024）.
如果黎曼流形之间的光滑映射是由\[\epsilon（\varphi）=\frac{1}{2}\int_M|d\varphi|^2 dv_g\]其中，\（dv_g\）表示\（（M，g）\）的体积元素。与\（\epsilon\）相关的欧拉-拉格朗日方程由\（\tau（\varphi）=\ operatorname编写{div}d（\varphi）=0\）和\（\tau（\varpi）\）被称为\（\varfi\）的张力场。所以，当且仅当张力场相同地消失时，（varphi）才是调和的。
现在将（N）维光滑流形（M）的光滑映射（varphi:M到（N，h））固定到黎曼流形（N，M，h）中。对于\（M\）上的每个黎曼度量\（g\），通过定义函数\（mathcal F\）\[\数学F（g）=\frac{1}{2}\int_M{d\varphi|_g}^2 dv_g\]其中，（d\varphi |g\）是关于度量值\（g\）和\（h\）的\（d\ varphi）的范数。众所周知，（mathcal F）的Euler-Lagrange方程由下式给出\[S_{\varphi}=\frac{1}{2}|d\varphi|^2 g-{\varfi}^*（h）=0，\]而\（S_{\varphi}\）被称为\（\varphi\）的应力能张量。P.贝尔德和J.埃尔斯[勒克特数学笔记894，1–25（1981；Zbl 0485.58008号)]显示\（\operatorname{刻度}S_{\varphi}=-<\tau（\varphi），d\varphi>\），因此，如果\（\varfi:（M，g）\ to（N，h）\）是调和的，那么\（\operatorname{刻度}S_{\varphi}=0\）。对于黎曼流形和微分形式之间的光滑映射，他们引入了黎曼流型无迹Ricci张量的应力能张量。即，对于无迹Ricci张量\（z=\mathrm{Ric}-\frac{s}{n} 克\)对于黎曼n-流形\（（M^n，g）\），\（z）的应力-能量张量\（Q\）定义为\[Q=\压裂{1}{2}|z|^2 g-z\循环z\]其中，Ric和\（s）分别表示Ricci张量，度量的标量曲率\（g）和\（z\circ z）定义为\[z\circ z（X，Y）=\sum_i z\]对于局部正交框架\（{ei\}\）。很容易看出，具有（n \geq 3）的黎曼n流形是爱因斯坦当且仅当无迹Ricci张量的应力能张量（Q）完全消失时。我们说，如果（Q）的散度相同地消失，则（Q）是保守的。
在本文中，他们首先研究了无迹Ricci张量的应力能张量Q，并研究了它与Cotton张量C和Bach张量B的关系。当（M，g）满足某些几何结构时，如光滑函数的临界点方程或真空静态方程，他们还研究了黎曼曲率张量和韦尔曲率张量的调和性。
审核人：塞纳普·泽尔（吉达）

MSC公司：

53元25角 特殊黎曼流形（爱因斯坦、佐佐木等）
58E11型 关键指标

关键词：

保守定律;调和曲率;应力-能量张量;无迹Ricci张量;真空静态方程

引文：

兹伯利0485.58008
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.Yun}，J.韩国数学。Soc.61，No.2，255--277（2024；Zbl 07828405）
全文： 内政部

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