×
丹尼尔·安尼科夫;保罗·卡普里奥蒂;尼古拉·克劳斯;克里斯蒂安·萨特勒

二级类型理论及其应用。 （英语） Zbl 07813366号

数学。结构。计算。科学。 33，第8号，688-743（2023）; 勘误表同上，34，第1，80号（2024年）。
总结：我们定义和发展二能级类型理论（2LTT）是马丁·洛夫类型理论的一个版本，它结合了两种不同的类型理论。我们将其称为“内部”和“外部”类型理论。在我们感兴趣的案例中，内部理论是同伦型理论（HoTT）可能包括单价宇宙和更高的归纳类型。外部理论是类型理论验证的传统形式身份证明的唯一性（UIP）。关于它的一个观点是作为内在类型理论的内在元理论。2LTT有两个动机。首先，关于HoTT有一些具有元理论性质的结果，例如对于任何外部固定的自然数，可以在HoTT中构造到级（n）的半单形类型。这些结果不能用HoTT本身来表示，但可以在2LTT中进行形式化和证明，其中（n）将是外部理论中的一个变量。这一观点受到了关于切前模型保守性的观察结果的启发。其次，2LTT是一个框架，适用于制定可能要添加到HoTT中的其他公理。这个想法很大程度上受到了沃沃德斯基的启发同伦型系统（HTS），它构成2LTT的一个特定实例。HTS有一个公理，确保自然数的类型表现得像外部自然数，这允许构建半单类型的宇宙。在2LTT中，这个公理可以通过假设内部和外部自然数类型是同构的来假设。在定义了2LTT之后，我们建立了一组工具，目的是使2LTT成为一种方便未来开发的语言。作为第一个这样的应用，我们以舒尔曼的风格发展了里迪纤维图理论。继续这一思路，我们建议对\（（\ infty，1）\）进行定义-类别并给出一些例子。

引用于1审查

理学硕士：

68倍 计算机科学

关键词：

二能级类型理论;2磅;同伦型系统;同伦型理论;守恒性;较高类别

软件：

Coq公司;阿格达;迪杜克蒂;精益;仙女座
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Annenkov}等人，《数学》。结构。计算。科学。33，编号8，688--743（2023；Zbl 07813366）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

参考文献：

[1] Ahrens，B.、Kapulkin，K.和Shulman，M.（2015）。单价类别和Rezk完成。计算机科学中的数学结构（MSCS），1-30。
[2] Ahrens，B.，North，P.R.，Shulman，M.和Tsementzis，D.（2020年）。更高层次的结构同一性原理。摘自：第35届ACM/IEEE年度计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS’20，美国纽约州纽约市，计算机械协会，53-66。https://doi.org/10.1145/3373718.3394755。 ·Zbl 1498.03027号
[3] Ahrens，B.，North，P.R.，Shulman，M.和Tsementzis，D.（2021年）。单价原则。ArXiv电子打印。
[4] Altenkirch，T.、Capriotti，P.、Dijkstra，G.、Kraus，N.和Forsberg，F.N.（2018年）。商诱导类型。摘自：《软件科学与计算结构基础》（FoSSaCS 2018），293-310·Zbl 1506.03063号
[5] Altenkirch，T.、Capriotti，P.和Kraus，N.（2016）。用严格等式推广同伦类型理论。收录：Talbot，J.-M.和Regnier，L.（eds.）第25届EACSL计算机科学逻辑年会（CSL 2016），第62卷，21:1-21:17·Zbl 1370.03014号
[6] Altenkirch，T.、Danielsson，N.A.和Kraus，N.（2017年）。党派性，重新审视。摘自：Esparza，J.和Murawski，A.S.（eds.）《软件科学和计算结构基础：第20届国际会议》，FOSSACS 2017，Proceedings，Springer Berlin Heidelberg，534-549·Zbl 1486.68036号
[7] Altenkirch，T.和Kaposi，A.（2016）。类型理论在使用商归纳类型的类型理论中。收录于：《编程语言原理》（POPL’16），第51卷，ACM，18-29·Zbl 1347.68045号
[8] Angiuli，C.，Hou（Favonia），K.-B.和Harper，R.（2018）。笛卡尔立方计算类型理论：具有路径和等式的构造性推理。收录于：Ghica，D.和Jung，A.（eds.）第27届EACSL计算机科学逻辑年会（CSL 2018），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第119卷，Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik，6:1-6:17·Zbl 07533331号
[9] Assaf，A.、Burel，G.、Caudelier，R.、Delahaye，D.、Dowek，G.，Dubois，C.、Gilbert，F.、Halmagrand，P.、Hermant，O.和Saillard，R.（2016）。Dedukti：基于λπ-演算模理论的逻辑框架。手稿http://www.lsv.fr/dowek/Publi/expressing.pdf。
[10] Barras，B.和Maestracci，V.（2020年）。在dedukti中实现两层类型理论并应用于立方体类型理论。收录于：LFMPT 2020：逻辑框架与元语言：理论与实践2020，法国巴黎。
[11] Bauer，A.、Gilbert，G.、Haselwarter，P.、Pretnar，M.和Stone，C.Andromeda。具有平等反思的类型理论的实现。http://andromedans.github.io/andromeda/。
[12] Bertot，Y.（2013）。私有归纳类型：提出语言扩展。http://coq.inia.fr/files/coq5_submission_3.pdf。
[13] Bertot，Y.和Casteéran，P.（2010年）。交互式定理证明和程序开发：Coq'Art:归纳构造的微积分，理论计算机科学中的EATCS文本，Springer-Verlag，Springer Berlin，Heidelberg。
[14] Bezem，M.、Coquand，T.和Huber，S.（2014年）。立方体集合中的类型理论模型。收录：Matthes，R.和Schubert，A.（eds.）《证明和程序的类型》（Types），莱布尼茨国际信息学会议录（LIPIcs），第26卷，达格斯图尔-莱布尼兹-富尔信息学研究所，107-128·Zbl 1359.03009号
[15] Boardman，M.和Vogt，R.（1973年）。拓扑空间上的同伦不变代数结构，数学讲义，第347卷，施普林格-柏林，海德堡·Zbl 0285.55012
[16] Bonacina，R.和Ahrens，B.（2021年）。二级类型理论的句法。摘要，发表于TYPES’21。
[17] Bonacina，R.、Ahrens，B.和Kraus，N.（2021）。二级类型理论的句法。摘要，发表于HoTT/UF'21。
[18] Boulier，S.和Tabarau，N.（2017年）。两级类型理论中的宇宙模型结构。HAL电子打印<hal-01579822>。
[19] Brunerie，G.、De Boer，M.、Lumsdaine，P.L.和Mörtberg，A.（2019年）。agda中初始猜想的形式化。Brunerie在2019年HoTT会议上的演讲，幻灯片可在https://guillaumebrunerie.github.io/pdf/initiality.pdf。
[20] Brunerie，G.和Lumsdaine，P.L.（2018）。在coq和agda中形式化初始猜想。在Stockholm-Göteborg类型理论Serminar上演讲。
[21] Brunerie，G.和Lumsdaine，P.L.（2020年）。马丁-洛夫型理论的初等性。同伦类型理论电子研讨会演讲（HOTTEST）。
[22] Capriotti，P.（2016）。严格相等的类型理论模型。诺丁汉大学计算机科学学院博士论文。
[23] Capriotti，P.和Kraus，N.（2017年）。通过完整的半分段类型的单价较高类别。美国计算机学会程序设计语言论文集2（POPL'18）44:1-44:29。完整版本位于https://arxiv.org/abs/1707.03693。
[24] Cohen，C.、Coquand，T.、Huber，S.和Mörtberg，A.（2017年）。立方型理论：对单价公理的建设性解释。IfCoLog《逻辑及其应用杂志》4（10）3127-3169。
[25] Coquand，T.、Huber，S.和Mörtberg，A.（2018年）。关于立方体类型理论中的高级归纳类型。摘自：第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，ACM，255-264·Zbl 1452.03036号
[26] Coquand，T.、Huber，S.和Sattler，C.（2019年）。立方型理论的同伦规范性。参见：第四届计算和演绎形式结构国际会议（FSCD 2019），达格斯图尔-莱布尼茨-泽特鲁姆-富尔信息技术学院。
[27] De Boer，M.（2020年）。从属型理论初值猜想的证明与形式化。瑞典斯德哥尔摩大学数学系科学学院博士论文。可在线访问https://su.diva-portal.org/shash/record.jsf？pid=diva2
[28] De Moura，L.、Kong，S.、Avigad，J.、Van Doorn，F.和Von Raumer，J.（2015）。精益定理证明器。In：自动扣除-CADE-25，第25届自动扣除国际会议。
[29] Dybjer，P.（1995年）。内部类型理论。收录：Berardi，S.和Coppo，M.（eds.）《证明和程序类型》（Types），《计算机科学讲义》，第1158卷，Springer-Verlag，120-134·Zbl 1434.03149号
[30] Gilbert，G.、Cockx，J.、Sozeau，M.和Tabarau，N.（2019年）。没有K的定义证明相关性。程序设计语言ACM会议录3（POPL）3:1-3:28。
[31] Harpaz，Y.（2015）准健康∞-类别。代数与几何拓扑15（4）2303-2381·兹比尔1326.55020
[32] Hofmann，M.（1997）。依赖类型的语法和语义。《计算的语义和逻辑》，剑桥大学出版社，79-130·Zbl 0919.68083号
[33] Hofmann，M.和Streicher，T.（1997年）。提升格罗森迪克宇宙。未发布的注释。可在https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/streecher/NOTES/lift.pdf。
[34] Joyal，A.（2002年）。准范畴和Kan复合体。纯代数与应用代数杂志175207-222·兹比尔1015.18008
[35] Kaposi，A.和Kovács，A.（2020年）。高感应类型的特征和感应原理。计算机科学中的逻辑方法16（1）。https://lmcs.episciences.org/6100。 ·Zbl 1528.03108号
[36] Kapulkin，C.和Lumsdaine，P.L.（2018）。单价基金会的简化模型（以Voevodsky命名）。ArXiv电子打印。
[37] Kovács，A.（2022）。采用两级类型理论进行分阶段编译。美国计算机学会程序设计语言会议录6（ICFP），540-569。
[38] Kraus，N.（2015年a）。命题截断的一般泛性质。摘自：Herbelin，H.、Letouzey，P.和Sozeau，M.（编辑）第20届国际证据和程序类型会议（Types 2014），莱布尼茨国际信息学会议（LIPIcs），第39卷，德国达格斯图尔，达格斯图尔，Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik，111-145·Zbl 1434.03150号
[39] Kraus，N.（2015年b）。同伦类型理论中的截断水平。英国诺丁汉大学计算机科学学院博士论文。
[40] Kraus，N.（2018）。关于半隐式的作用。摘要，发表于TYPES’18。
[41] Kraus，N.（2021）。依赖型理论的内部∞范畴模型：走向2LTT吃HoTT。摘自：计算机科学逻辑研讨会（LICS 2021），1-14。
[42] Kraus，N.和Sattler，C.（2017年）。空间值图，理论类型（扩展抽象）。ArXiv电子打印。
[43] Licata，D.R.、Orton，I.、Pitts，A.M.和Spitters，B.（2018年）。同伦类型理论模型中的内部宇宙。收录于：Kirchner，H.（ed.）第三届计算和演绎形式结构国际会议（FSCD 2018），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第108卷，德国达格斯图尔，达格斯图-莱布尼兹-泽特鲁姆福尔信息学，22:1-22:17·Zbl 1462.03010号
[44] Lumsdaine，P.L.和Mörtberg，A.（2018）。在coq中形式化初始猜想。Lumsdaine在哥德堡-斯德哥尔摩联合类型理论研讨会上的演讲，幻灯片可在http://peterlefanulumsdaine.com/research/Lumsdaine-2018-Goteborg-Initiality.pdf。
[45] Lumsdaine，P.L.和单价基金项目。(2013). 半复杂类型。高等研究院Univalent Foundations项目的Wiki页面，https://uf-ias-2012.wikispaces.com/Semi-simplical网站+类型。
[46] Maietti，M.E.（2009年）。建构数学的最低限度两级基础。纯粹与应用逻辑年鉴160（3）319-354。现实世界中的计算与逻辑：CiE 2007·Zbl 1186.03075号
[47] Maietti，M.E.和Sambin，G.（2005年）。构建数学的极简基础。《从集合与类型到拓扑与分析：构建数学的实用基础》，牛津大学出版社。
[48] Makkai，M.（1995）。具有从属排序的一阶逻辑及其在范畴理论中的应用。预印本，可在http://www.math.mcgill.ca/makkai。
[49] Norell，U.（2007年）。基于依赖类型理论的实用程序设计语言。查尔默斯科技大学和哥德堡大学计算机科学与工程系博士论文。
[50] Pitts，A.M.和Orton，I.（2018年）。拓扑中立方体类型理论建模的公理。计算机科学中的逻辑方法14（4）。https://doi.org/10.23638/LMCS-14(4:23)2018. ·Zbl 1509.03054号
[51] Radulescu-Banu，A.（2006年）。同伦理论中的共纤维。arXiv预打印数学/0610009。
[52] Reedy，C.L.（1974年）。模型范畴的同伦理论。未发表的手稿。可在http://www-math.mit.edu/psh/reedy.pdf。
[53] Rezk，C.（2001）。同伦理论的同伦理论模型。美国数学学会学报353（3）973-1007（电子版）·Zbl 0961.18008号
[54] Riehl，E.和Shulman，M.（2017年）。综合∞范畴的一种类型理论。高级结构1（1）147-224·Zbl 1437.18016号
[55] Riehl，E.和Verity，D.（2014年）。里迪范畴的理论与实践。范畴理论与应用29（9）256-301·Zbl 1302.55014号
[56] Shulman，M.（2015年a）。优雅的簧片预升的单价公理。同调，同伦和应用17（2）81-106·Zbl 1352.55010号
[57] Shulman，M.（2015年b）。逆图和同伦规范的唯一性。计算机科学中的数学结构25（5）1203-1277·Zbl 1362.03008号
[58] 舒尔曼，M.（2018）。实内聚同伦类型理论中的Brouwer不动点定理。计算机科学中的数学结构28（6）856-941·Zbl 1390.03014号
[59] 舒尔曼，M.（2019）。所有（∞，1）-拓扑都有严格的单叶宇宙。arXiv预打印arXiv:1904.07004。
[60] Streicher，T.（1993）。对内涵类型理论的研究。Ludwig-Maximilians Munchen大学Habilitationsschrift。
[61] 单价基金会项目。(2013). 同伦类型理论：单叶数学基础。http://homotopypetheory.org/book/。 ·Zbl 1298.03002号
[62] Uemura，T.（2019）。类型理论语义的一般框架。arXiv预打印arXiv:1904.04097。
[63] Uskuplu，E.（2022年）。在阿格达实施2LTT。摘要，发表于HoTT/UF'22。
[64] Voevodsky，V.（2013）。具有两个标识类型的简单类型系统。未发布的注释。
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。它的项目与zbMATH标识符启发式匹配，并且可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。