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尼古拉斯·麦克里里;肖健

曲线的极坐标变换和局部正性。 （英语。法语摘要） Zbl 1448.14010号

Ann.工厂。科学。图卢兹，数学。(6) 29，第2期，247-269（2020）.
在这篇非常有趣的论文中，作者通过Nakayama和Seshadri常数的新定义变体研究了（n-1，n-1）-类的一些正问题。设（X）是维数（n）的光滑投影簇，设（L）是（X）上的nef线丛。第一个重要的不变量是局部Seshadri常数，它衡量了（L）在一点（x中的x）的局部正性\[\varepsilon（X，L；X）=\mathrm{inf}{C\subset X}\frac{L.C}{mathrm{多}_{x} （C）}，\]其中，下确界覆盖所有通过（X\ in X\）的不可约和约化曲线\（C\子集X\）。也可以将局部Seshadri常量定义为\[（\star）：\quad\varepsilon（X，L；X）=\mathrm{sup}\{t\geq0:\pi^{*}L-tE\text{是nef}\}，\]其中，\（pi:Y\右箭头X\）是\（X\）在\（X\ in X\）处的放大倍数，\（E\）是例外除数。也可以将全局Seshadri常量定义为\[\varepsilon（L）=\mathrm{信息}_{x\在x}\varepsilon（x，L；x）中。\]用（mathrm{nef}^{1}（X）表示\（X\）的nef（（1,1）\）类的锥，不难看出Seshadri常数可以用\（（\star）\）为\（mathrm{nef}^{1}（X）\）中的任何类定义。由于这一事实，我们可以将\（\varepsilon（X，\cdot\，；X）\）视为在\（\mathbb｛R｝\）中具有值的锥\（\mathrm｛Nef｝^｛1｝（X）\）上的函数，从而对\（\mathrm｛Nef｝^｛1｝（X），\varepsilon（X，\cdot\，X））\）进行研究。为任何伪有效类（L）定义了另一个不变量，即\[n_{x}（L）：=\mathrm{sup}\{t\geq0:\，\pi^{*}L-tE\text{为伪有效}\}，\]其中，\（pi:Y\右箭头X\）是\（X\）在\（X\）处的放大倍数，\（E\）是例外除数。然后我们可以通过以下公式定义全局Nakayama常数\[n（L）=\mathrm{信息}_{x\在x}n_{x}（L）中本着与局部Seshadri常数相同的精神，将（X）的伪有效类（（1,1））的锥表示为（上划线{\mathrm{Eff}}^{1}（X）），我们可以考虑将（n_{X}）视为值位于（下划线{\mathrm{Eff}}^{1{（X ^{1}（X），n_{X})\).
在第一步中，通过极坐标变换，作者引入了（n-1，n-1）类的Nakayama和Seshadri常数。考虑\[\mathrm{Nef}^{1}（X）=\上划线{\mathrm{Eff}}_{1}（X）\]伪有效\（（n-1，n-1）\）类的锥。然后对于\（\alpha\in\overline｛\mathrm｛Eff｝｝_｛1｝（X）\），其在\（X\）处的局部Nakayama常数定义为\（\varepsilon（X，\cdot\，；X）\）的极性\[N_{x}（\alpha）=\mathrm{信息}_{L\in\mathrm{Nef}^{1}（X）^{\circ}}\frac{\alpha-L}{\varepsilon（X，L；X）}.\]
接下来，考虑\[\overline{\mathrm{Eff}}^{1}（X）^{*}=\mathrm{移动}_{1} （X），\]其中\（\mathrm{移动}_{1} （X）是可移动类的锥。那么对于任何\（\alpha\in\mathrm{移动}_{1} （X）在\（X）处的局部Seshadri常数，用\（S_{X}（\alpha）\）表示，定义为\（n_{X}\）的极\[S_{x}（\alpha）=\mathrm{信息}_{L\上划线{\mathrm{Eff}}^{1}（X）^{\circ}}\frac{\alpha-L}{n_{X}（L）}.\]然后我们可以定义这些常数的全局变量，即全局Nakayama常数定义为\[N（\alpha）=\mathrm{信息}_{x\在x}N_{x}（\alpha）中，\]和全局Seshadri常数\[S（\alpha）=\mathrm{信息}_{x\在x}S_{x}（\alpha）中。\]
为了阐述本文的主要结果，我们需要再次回顾\（\mathfrak{m}（\cdot）\）和\（\widehat{\mathrm{vol}}（\ cdot））的定义。
设\（X\）是维数\（n\）的投影变体，设\（\alpha\in\overline｛\mathrm｛Eff｝｝_｛1｝（X）\）。那么，\（\alpha\）的体积定义为\[\widehat{\mathrm{vol}}（\alpha）=\mathrm{信息}_{A} \比格（\压裂{A\cdot\alpha}{\mathrm{vol}（A）^{1/n}}\bigg）^{n/（n-1）}，\]其中下确界接管了big和nef除数类。在相同的设置中，对于任何\（\alpha\In\mathrm{移动}_{1} （X）我们定义\[\mathfrak{m}（\alpha）=\mathrm{信息}_{L} \bigg（\frac｛L\cdot\alpha｝｛\mathrm｛vol｝（L）^｛1/n｝｝\bigg）^｛n/（n-1）｝，\]其中\（L\）是一个大除数类。
定理A.对于任何（alpha\in\overline{mathrm{Eff}}_{1}（X）），其局部Nakayama常数满足：
i） \（N_{x}（\alpha）\geq\widehat{\mathrm{vol}}（\ alpha，^{（N-1）/N}），
ii）\（N_{x}（\alpha）\）具有以下几何特征：
\[N_{x}（\alpha）=\mathrm{sup}\{t\geq0:\，\pi^{*}\alpha+te\text{为伪有效}\}，\]其中，\（pi:Y\右箭头X\）是\（X\）和\（e=（-e）^{n-1}\）处的\（X\）的放大倍数。
定理B.局部Seshadri常数具有以下性质：
i） 对于任何\（\alpha\in\mathrm{移动}_{1} （X）\），\（S_{X}（\alpha）\leq\mathfrak{m}（\ alpha）^{（n-1）/n}\），
ii）\（S_{x}\）具有以下几何特征：\[S_{x}（\alpha）=\mathrm{sup}\{t\geq0:\，\pi^{*}\alpha+te\text{可移动}\}，\]其中，\（pi:Y\右箭头X\）是\（X\）和\（e=（-e）^{n-1}\）处的\（X\）的放大倍数。
iii）假设{移动}_{1} （X），则存在一些（δ>0），使得（S_{X}（alpha）>delta\）对每个点都成立iff\（alpha\in\mathrm{移动}_{1} （X）^{\circ}\）。
推论。让\（\alpha\in\mathrm{移动}_{1} （X）\），然后\（S_{X}（\alpha）\leq N_{X}（\alfa）\）表示任何\（X\中的X\）。
定理C.设{移动}_{1} （X）是（mathrm）边界上的类{移动}_{1} （X）\），其中\（\mathfrak｛m｝（\alpha）>0\）。那么我们有\[x\in\{x\inX:\，S_{x}（\alpha）=0\}\iff x\in\text{非凯勒位点的除数成分}E_{nK}（L_{alpha}），\]其中，\（L_{\alpha}\）是一个唯一的大可移动\（1,1）\）类，例如\（alpha=langle L_{\ alpha}^{n-1}\ rangle\）。
审核人：彼得亚·波科拉（克拉科夫）

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MSC公司：

第14页第20页 除法器、线性系统、可逆滑轮
2015年第32季度 卡勒歧管
32J25型 代数几何的先验方法（复杂分析方面）

关键词：

塞沙德里常数;积极的，积极的;极坐标变换;中山常数
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\textit{N.McCleerey}和\textit{J.肖}，Ann.Fac。科学。图卢兹，数学。（6） 29，第247-269号（2020年；兹bl 1448.14010）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 托马斯·鲍尔；迪·洛科（Di Rocco）、桑德拉（Sandra）；布莱恩·哈伯恩（Brian Harbourne）；Micha Kapustka；安德烈亚斯·克努森（Andreas Knutsen）；西兹德克，维奥莱塔；Szenberg，Tomasz，经典代数几何和数值代数几何的相互作用，496，Seshadri常数入门，33-70（2009），美国数学学会·Zbl 1184.14008号
[2] Boucksom，Sébastien，《各种复合物压实的科特迪瓦位置》（2002年）
[3] Boucksom，Sébastien，紧复流形上的除数Zarisk分解，科学年鉴。埃及。标准。主管。，37, 1, 45-76 (2004) ·Zbl 1054.32010号
[4] 塞巴斯蒂安·布克索姆；杰恩·皮尔·德梅利；普恩，弥海；Peternell，Thomas，《紧致Kähler流形的伪有效锥和负Kodaira维数的变化》，J.Algebr。地理。，22, 2, 201-248 (2013) ·Zbl 1267.32017号
[5] 塞巴斯蒂安·布克索姆；菲利普·埃西迪厄（Philippe Eyssidieux）；Vincent Guedj；Zeriahi，Ahmed，《大上同调类中的Monge-Ampère方程》，《数学学报》。，205, 2, 199-262 (2010) ·Zbl 1213.32025号
[6] 塞巴斯蒂安·布克索姆；查尔斯·法夫尔（Charles Favre）；Jonsson，Mattias，除数体积的可微性和Teissier的一个问题，J.Algebr。地理。，18, 2, 279-308 (2009) ·Zbl 1162.14003号
[7] 特里斯坦·C·柯林斯。；Tosatti、Valentino、Kähler currents and null locis、Invent。数学。，20231167-1198（2015）·Zbl 1341.32016年
[8] Demailly，Jean-Pierre，闭合正电流的正则化和交叉理论，J.Algebr。地理。，1, 3, 361-409 (1992) ·Zbl 0777.32016年
[9] Demailly，Jean-Pierre，复代数簇（Bayreuth，1990），1507，正线性束上的奇异Hermitian度量，87-104（1992），Springer·Zbl 0784.32024号
[10] Demailly，Jean-Pierre，非常充足的线束的数值判据，J.Differ。地理。，37, 2, 323-374 (1993) ·Zbl 0783.32013号
[11] Jean-Pierre Demailly，《代数几何中的分析方法》，1，viii+231 p.pp.（2012），国际出版社；高等教育出版社·兹比尔1271.14001
[12] Demailly，Jean-Pierre，《复杂分析和微分几何》（2012）·Zbl 1271.14001号
[13] 杰恩·皮尔·德梅利；Péun，Mihai，紧Kähler流形的Käwler锥的数值表征，Ann.Math。，159, 3, 1247-1274 (2004) ·Zbl 1064.32019年
[14] 劳伦斯·艾因；奥利弗·库克勒；Robert Lazarsfeld，《充足线团的局部正性》，J.Differ。地理。，42, 2, 193-219 (1995) ·Zbl 0866.14004号
[15] 曲线类的Fulger、Mihai、Seshadri常数·Zbl 1424.14001号
[16] 亚历克斯·库罗尼亚；洛佐瓦努（Lozovanu）、维克多（Victor）、无穷小牛顿-奥库库科夫（Newton-Okounkov）天体和喷气分离、数学公爵（Duke Math）。J.，166，7，1349-1376（2017）·Zbl 1366.14012号
[17] 罗伯特·拉扎斯菲尔德，《代数几何中的积极性》。一、 48，xviii+387 p.p.（2004），斯普林格·Zbl 1093.14501号
[18] 布莱恩·莱曼（Brian Lehmann），《比较数字维度》，代数数论，7，5，1065-1100（2013）·Zbl 1281.14006号
[19] 布莱恩·莱曼；肖，建，凸性和扎里克西分解结构，地质学。功能。分析。，26, 4, 1135-1189 (2016) ·兹比尔1405.14022
[20] 布莱恩·莱曼；Xiao，Jian，代数簇上曲线的正函数（2016）·Zbl 1422.14018号
[21] Nakayama，Noboru，Zarisk-分解与丰度，14，xiv+277 p.pp.（2004），日本数学学会·Zbl 1061.14018号
[22] 萧玉彤，与勒龙数相关的集合的分析和闭合正电流的扩展，发明。数学。，27, 1, 53-156 (1974) ·Zbl 0289.32003号
[23] 托萨蒂，瓦伦蒂诺，《卡拉比-尤定理和卡勒电流》，高级提奥。数学。物理。，20, 2, 381-404 (2016) ·兹伯利1349.14136
[24] Witt-Nyström，David，投影流形上伪有效锥和可移动锥之间的对偶（2016）·Zbl 1429.32031号
[25] 肖健，通过锥对偶表征体积，数学。年鉴，369，3-4，1527-1555（2017）·Zbl 1379.32015号
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