哈根·科纳夫;埃里希·塞尔德;卡尔海因茨·斯宾德勒 算术级数中的四个有理平方和一系列具有正Mordell-Weil秩的椭圆曲线。 （英语） Zbl 1466.14040号 数学。塞梅斯特伯。 67，第2期，213-236（2020）. 本文研究算术级数中的四个有理平方问题。该问题等价于在某些椭圆曲线上寻找有理点的问题。探讨了算术级数中的有理平方和椭圆曲线之间的对应关系。给定\（k，\ell，m\in\mathbb{N}），我们说，如果有一个\（s\in\mathbb{Q}）的四个平方（alpha^2，beta^2，gamma^2）和\（delta^2），使得\（beta^2-\ alpha^2=ks，\，gamma ^2-\β^2=\ells）和\（δ^2-\gamma^2=ms\）。如果\（s=0\），这样的三元组\（（k，\ell，m）\）称为平凡。给定\（k，\ell，m\in\mathbb{N}），让\，\ell，m}\）。（T_{k，\ell，m}）只有四种可能，即（\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _2\)（一般情况），\（\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _4个\)，\（\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _8个\)和\（\mathbb{Z} _2\时间\mathbb{Z} _6个\).本文的主要结果是\（（k，\ell，m）\）型非平凡算术程序的存在性结果。定理。假设\（k，\ell，m）\）是自然数的三元组。（1） 如果\（T_{k，\ell，m}=\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _2\)，则必然\（k\neq-m\）和\（E_{k，\ell，m}\）具有正的Mordell-Weil秩。因此，存在类型为\（（k，\ell，m）\）或\（（m，\ ell，k）\）的非平凡级数。（2） 假设\（k=m\）。设\（k，\ell\）为自然数。如果有一个勾股三元组\（（a，b，c）\），这样\（k=a^2，\ell=b^2-a^2），那么\（T_{k，\ell，k}=\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _8个\)并且有一个类型为\（k，\ell，k）\的非平凡级数，即\（0^2<a^2<b^2<c^2），如果\（E_{k，\ll，k}\）的Mordell-Weil秩为零，则没有其他非平凡级数。在所有其他情况下，\（T_{k，\ell，k}=\mathbb{Z} _2\当且仅当（E_{k，ell，k}）具有正的Mordell-Weil秩时，存在一个类型为（（k，\ell，k）的非平凡进动。（3） 假设\（k，\ell，m）\）是带有\（k\neq m\）的三元组。如果\（T_{k，\ell，m}=\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _4个\). 那么，\（E_{k，\ell，m}\）具有正的Mordell-Weil秩，因此存在类型\（k，\ll，m）\）或\（（m，\ ell，k）\）的非平凡级数。如果\（T_{k，\ell，m}=\mathbb{Z} _2\次数\mathbb{Z} _8个\)则至少有一个非平凡级数类型为\（（k，\ell，m）\）或\（（m，\ ell，k）\）。如果\（E_{k，\ell，m}\）的Mordell-Weil秩为零，则只有一个这样的级数。（4） 给定带（alpha<beta\）的naural数\（alpha，beta\），让\（k:=alpha^2，ell:=beta^2\alpha^2\）和\（m:=alpha（alpha+2\beta）\）。然后\（T_{k，\ell，m}=\mathbb{Z} _2\时间\mathbb{Z} _6个\)，并且有一个类型为\（（k，\ell，m）\的非平凡级数。如果\（E_{k，\ell，m}\）的Mordell-Weil秩为零，则这是唯一的这样的级数，并且不存在类型\（（m，\ ell，k）\的非平凡级数。审核人：Noriko Yui（金斯顿） 理学硕士： 14H52型 椭圆曲线 2009年第11天 二次和双线性丢番图方程 11克05 全局场上的椭圆曲线 2014年05月 有理图和两国图 关键词：数论;算术级数;椭圆曲线 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Knaf}等人，《数学》。塞梅斯特伯。67，编号2，213--236（2020；Zbl 1466.14040） 全文： 内政部 OA许可证 参考文献： [1] 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