卢西亚诺·坎皮;迭戈·扎巴尔贾雷古伊 一般强度下部分信息下的最优做市。 （英语） Zbl 1452.91295号 申请。数学。财务 27号1-2、1-45（2020年）. 本文旨在求解部分信息下做市商的最优买卖报价集，并利用随机滤波、控制和分段确定马尔可夫过程来简化问题，并刻画动态规划的简化解。作者统一了公式，使强度依赖于一个隐马尔可夫链，通过一个具体的例子，解决了可以观察马尔可夫链条的全信息理想化问题，并比较了全信息和部分信息下的最优策略。第2节从介绍问题的主要假设和设置开始。做市商根据计数过程（N^{-}，N^{+}）接收统一大小的市场订单进行买卖，没有常见的跳跃和随机强度（lambda^{-{，lambda_+}，）。每种强度取决于做市商报价和参考价格（也称为微观报价或有效价格，bid）之间的价差^{-}_t\)并在时间t处询问（S^{+}_t）引号。做市商的效用函数由CARA函数（（U_y（c）=frac{1-e^{-yc}}{y}）为（y>0）和（U_0（c）=c\），库存过程（N_t=N_0+N_t^{-}-N_t^+\）和现金账户过程给出\[X_t^{\增量^{-}，增量^{+}}=X_0+\int_0^t（S_u+\delta_u^{+{）dN_u^}+}-\int_0 ^t（S-u-\delta_ u^{-{）d_u^{-}。\]做市商面临的优化问题是最大化惩罚损益的预期效用\[\sup_{delta^{\pm}\在{mathcal A}}E^{delta^{-}，delta^}+}}\left\{U_{\gamma}（X_T^{delta ^{-{，delta ^+}}+S_TN_T-l（N_T）-\frac{1}{2}\sigma^2\xi\int_0^T N_T^2 dt）\right\}中。\]在假设（生成器矩阵，特别保证隐马尔可夫链的cádlág版本的存在，以及其跳跃测度的可预测强度核的存在）和序强度假设（导致强度随着扩散的任意增大而消失）下，其中\（{mathcal a}\）是由那些自适应随机过程完成的与自然过滤兼容的容许扩散集。命题1.4.1通过构造一个参考概率作为点过程的Girsanov定理，证明了模型在假设条件下的存在性[P.布雷莫、点进程和队列。马丁格尔动力学。纽约-海德堡-柏林：斯普林格·弗拉格（1981；Zbl 0478.60004号)]命题1.4.2通过测度的反向变化，从唯一参考概率的角度描述了这种模型。第3节中的命题2.1.1将部分信息下的优化问题简化为[Bremaud，loc.cit.]中完全信息下的等效优化问题，命题2.1.2给出了Y的可观测分布的Kusherner-Stratonovich滤波方程，作为控制可选投影动力学的耦合随机微分方程。第四节定义了做市商的价值函数，利用动态规划原理和伊藤引理导出了HJB（动态规划）偏积分微分方程（PIDE）。导出的PIDE-HJB方程具有相当复杂的非线性，具有二阶、高维和几乎所有这些维度的导数。最优做市和清算模型通常会提出解决方案的答案（参见Avellaneda先生和S.斯托伊科夫【数量财务8，第3期，217-224（2008；Zbl 1152.91024号)],Á. 卡特亚等[SIAM J.Financ.Math.8635-671（2017；Zbl 1407.91287号)]和O.盖恩特【《应用数学与金融》第24卷，第1-2期，第112-154页（2017年；Zbl 1398.91520号)]以及本文中的参考文献）。通过对PIDE-HJB方程的形式化替换，对（V=U_y（x+sn+Theta（t，n，\pi））进行似是而非的分析，PIDE的新系统为一阶系统，不再依赖于扩散项。定理3.1.4严格地表明，有一种方法可以显式地找到新的“值函数”，定理3.1.4表明，在紧控制空间情况下，新的值函数可以表征为终端条件PIDE的唯一连续粘性解。第五节讨论了完全信息下的最优做市商问题。在这种情况下，PIDE可以通过[Avellaneda and Stoikov，loc.cit.]中的标准方法来逼近，借助于命题4.2.1中的比较原理，值函数变成了定理4.2,2中给出的HJB方程的正则和经典全局解。定理4.4.1显示了在充分信息下的完整解，并在定理4.2.2中给出了答案。第6节中的数值分析侧重于有限差分格式中部分信息框架和全部信息框架之间的最佳行为差异。在完全信息下，利差始终是对称的，在存货中，相对于风险中性值，在参考价格下，好的和坏的制度在订单流速度上不同，并且在接近到期时有一个显著的变化，如图1至图4所示。第7节收集了所有技术证明。审核人：李伟平（静水） 引用于2文件 MSC公司： 91G15型 金融市场 60J28型 连续时间Markov过程在离散状态空间中的应用 60G35型 信号检测和滤波（随机过程方面） 93E20型 最优随机控制 关键词：做市;高频交易;算法交易;随机最优控制;隐马尔可夫模型;随机滤波;粘度溶液;分段确定马尔可夫过程 引文：兹比尔0478.60004;Zbl 1152.91024号;Zbl 1407.91287号;Zbl 1398.91520号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛L.Campi｝和\textit｛D.Zabaljauregui｝，应用。数学。财务27，No.1--2，1--45（2020；Zbl 1452.91295） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Aliprantis，C.D。；Border，K.C.，《无限维分析：搭便车指南》（2006），Springer·Zbl 1156.46001号 [2] Avellaneda，M。；Stoikov，S.，《限价订单簿中的高频交易》，定量金融，8，32217-224（2008）·Zbl 1152.91024号 ·doi:10.1080/14697680701381228 [3] Barles，G。；Souganidis，P.E.，完全非线性二阶方程近似格式的收敛性，渐近分析，4，3，271-283（1991）·Zbl 0729.65077号 ·doi:10.3233/ASY-1991-4305 [4] 北卡罗来纳州巴乌尔。；Rieder，U.，《纯跳跃市场、金融和随机投资组合优化问题的MDP算法》，13，4，591-611（2009）·Zbl 1199.91169号 ·doi:10.1007/s00780-009-0093-0 [5] 北卡罗来纳州巴乌尔。；Rieder，U.，有限时间区间分段确定性马尔可夫过程的最优控制，受控随机过程的现代趋势：理论与应用，123，143（2010） [6] 北卡罗来纳州巴乌尔。；Rieder，U.，《马尔可夫决策过程及其在金融中的应用》（2011），Springer Science&Business Media·Zbl 1236.90004号 [7] Bayraktar，E。；Ludkovski，M.，《非流动性市场中的最优贸易执行》，arXiv预印arXiv:0902.2516v1（2009）·Zbl 1233.91335号 [8] Bayraktar，E。；Ludkovski，M.，《强度可控的限额指令簿中的清算》，《数学金融》，24，4，627-650（2014）·Zbl 1314.91247号 ·文件编号：10.1111/j.1467-9965.2012.00529.x [9] Bouchard，B.，《混合扩散过程的随机控制、粘度解决方案及在金融和保险中的应用导论》（2007年），演讲稿预印本，法国巴黎 [10] Brémaud，P.，点过程和排队：鞅动力学，50（1981），Springer·Zbl 0478.60004号 [11] 加利福尼亚州卡特亚。；唐纳利，R。；Jaimungal，S.，《模型不确定性的算法交易》，《SIAM金融数学杂志》，8，1，635-671（2017）·Zbl 1407.91287号 ·doi:10.1137/16M106282X [12] 加利福尼亚州卡特亚。；Jaimungal，S.，《算法和高频交易的资产价格建模》，应用数学金融，20，6，512-547（2013）·Zbl 1396.91680号 ·doi:10.1080/1350486X.2013.771515 [13] 加利福尼亚州卡特亚。；Jaimungal，S.，《风险度量和高频交易策略的微调》，《数学金融》，25，3，576-611（2015）·Zbl 1331.91158号 ·doi:10.1111/mafi.1023年 [14] 加利福尼亚州卡特亚。；南加尔。；Penalva，J.，《算法与高频交易》（2015），剑桥大学出版社·Zbl 1332.91001号 [15] 加利福尼亚州卡特亚。；南加尔。；Ricci，J.，《低买高卖：高频交易视角》，《SIAM金融数学杂志》，5，1，415-444（2014）·Zbl 1308.91199号 ·doi:10.137/130911196 [16] 卡斯格伦，P。；Jaimungal，S.，《潜在阿尔法模型中学习的交易算法》，数学金融，29，3，735-772（2019）·Zbl 1426.91241号 ·doi:10.111/月12194 [17] 科丁顿，E.A。；莱文森，N.，《常微分方程理论》（1955），塔塔·麦格劳-希尔教育·Zbl 0064.33002号 [18] 科拉内里，K。；埃克西，Z。；弗雷·R。；Szölgyenyi，M.，部分信息下价格影响下的最优清算，arXiv预印本arXiv:1606.05079v5（2016） [19] 科拉内里，K。；埃克西，Z。；弗雷，R。；Szölgyenyi，M.，我该卖还是等？部分信息影响下的最优清算，arXiv预印本arXiv:1606.05079v3（2016） [20] 丹·D·M。；Forsyth，P.A.，跳跃扩散下的连续时间均值方差最优投资组合配置：数值脉冲控制方法，偏微分方程的数值方法，30，2，664-698（2014）·Zbl 1284.91569号 ·doi:10.1002/num.21836 [21] Davis，M.H.A.，《分段确定马尔可夫过程：非扩散随机模型的一般类》，英国皇家统计学会杂志。B系列（方法学），46，353-388（1984）·Zbl 0565.60070号 ·doi:10.1111/j.2517-6161.1984.tb01308.x [22] Davis，M.H.A.，马尔可夫模型和优化（1993），Chapman和Hall/CRC·Zbl 0780.60002号 [23] Davis，M.H.A。；Farid，M.，分段确定过程和粘度解，随机分析、控制、优化和应用（1999），Springer·Zbl 0917.93071号 [24] 特拉特，S。；Robert，C.Y。；Rosenbaum，M.，《从订单流中估计有效价格：布朗-考克斯过程方法》，随机过程及其应用，123，7，2603-2619（2013）·Zbl 1285.62122号 ·doi:10.1016/j.spa.2013.04.012 [25] Ethier，S.N。；Kurtz，T.G.，《马尔可夫过程：表征与收敛》，282（2009），John Wiley&Sons [26] 弗莱明，W.H。；Soner，H.M.，受控马尔可夫过程和粘度解决方案，25（2006），施普林格科学与商业媒体·Zbl 1105.60005号 [27] Fodra，P。；Labadie，M.，《库存约束和定向下注的高频市场营销》，arXiv预印arXiv:1206.4810（2012） [28] Fodra，P。；Labadie，M.，多维Markov过程的高频市场营销，arXiv预印arXiv:1303.7177（2013） [29] 吉塞克，K。；Kakavand，H。；穆萨维，M.，《随机强度点过程的精确模拟》，运筹学，59，5，1233-1245（2011）·Zbl 1234.62126号 ·doi:10.1287/opre.1110.0962 [30] Guéant，O.，《最优做市》，应用数学金融，24，2，112-154（2017）·Zbl 1398.91520号 ·doi:10.1080/1350486X.2017.1342552 [31] Guéant，O。；Lehalle，C.-A.，《最优清算中的一般强度形状》，《数学金融》，25，3，457-495（2015）·Zbl 1331.91165号 ·doi:10.1111/mafi.12052 [32] Guéant，O。；Lehalle，C.-A。；Fernandez-Tapia，J.，极限订单的最优投资组合清算，SIAM金融数学期刊，3，1740-764（2012）·Zbl 1262.91160号 ·数字对象标识代码：10.1137/10850475 [33] Guéant，O。；Lehalle，C.-A。；Fernandez-Tapia，J.，《应对库存风险：做市问题的解决方案》，《数学与金融经济学》，第7、4、477-507页（2013年）·Zbl 1273.91462号 ·doi:10.1007/s11579-012-0087-0 [34] Ho，T。；Stoll，H.R.，交易和回报不确定性下的最优经销商定价，《金融经济学杂志》，9，1，47-73（1981）·doi:10.1016/0304-405X（81）90020-9 [35] Jacod，J。；Protter，P.，Quelques remarques sur un nouveau type d’équations différentielles stonaviques，Séminaire de ProbabilityéS，XVI，447-458（1982）·Zbl 0482.60056号 [36] Jacod，J。；Shiryaev，A.，随机过程的极限定理，288（2002），Springer Science&Business Media [37] Jeanblanc，M。；Yor，M。；Chesney，M.，《金融市场的数学方法》（2009），Springer Science&Business Media·Zbl 1205.91003号 [38] 莱梅尔，V。；蒂尤伦，M。；Thomas，N.，一类分段确定性马尔可夫过程跳跃时间的精确模拟，科学计算杂志，75，3，1776-1807（2018）·Zbl 1391.60206号 ·doi:10.1007/s10915-017-0607-4 [39] Nikeghbali，A.，《关于随机过程的一般理论的论文》，概率调查，3，345-412（2006）·Zbl 1189.60076号 ·doi:10.1214/15495780600000004 [40] Ogata，Y.，On Lewis’s Simulation Method for Point Process，IEEE Transactions On Information Theory，27，1，23-31（1981）·兹比尔0449.60037 ·doi:10.1109/TIT.11981.1056305 [41] Øksendal，B.K。；Sulem，A.，跳跃扩散的应用随机控制，498（2009），Springer [42] Protter，P.E.，《随机积分与微分方程》（2004），Springer·Zbl 1041.60005号 [43] Soner，H.M.，《随机微分系统，随机控制理论与应用，跳跃马尔科夫过程和粘度解的最优控制》，501-511（1988），Springer·Zbl 0850.93889号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。