大卫·巴里拉里;乌戈·博斯卡因;罗伯特·W·内尔。 对称次黎曼流形上的热核渐近性及其在bi-Heisenberg群中的应用。 （英语。法语摘要） Zbl 1437.58018号 Ann.传真。科学。图卢兹，数学。(6) 28，第4号，707-732（2019）. 研究了指数映射的次黎曼流形上次拉普拉斯流形的热核的小时间渐近性满足某些对称条件。他们证明了一个一般结果（定理3.2），然后将其应用于获得显式小时间双海森堡群的渐近性，尤其是在切割轨迹上。设（M）是一个具有光滑测度的维数为（n）的完备次黎曼流形，设（d）是次黎曼距离。让\（\Delta=\operatorname{分割}_\mu\nabla\）是次拉普拉斯阶，其中\（\nabla\]是水平次梯度，并让\（p_t（x，y）\）表示\（Delta）在M中的点\（x，y\）处的热核。（p_t（x，y））的分析通常取决于（y）是否位于（x）的切割轨迹上；也就是说，当延伸超过\（y\）时，从\（x\）到\（y\）的最小化测地线是否继续最小化。主要技术结果（定理3.2）的关键假设是，非常粗略地说，从\（x\）到\（y\）的最小化测地线应该为某个（r）构造一个好的（r）维流形；结论是，（pt（x，y））具有形式的小时间渐近性\[p_t（x，y）=\分形{C+O（t）}{t^{（n+r）/2}}e^{-d^2（x，y）/4t}\]作为\（t\到0\）。该证明基于D.巴里拉里等[J.Differ.Geom.92，No.3，373–416（2012；Zbl 1270.53066号)]，以下技术由开发S.A.莫尔恰诺夫[《俄罗斯数学概论》第30卷第1期，第1-63页（1975年；Zbl 0315.53026号)].本文第4节将此结果应用于bi-Heisenberg群。严格地说，这不是一个群，而是由满足括号关系的向量（X_1，X_2，Y_1，Y_2，Z）跨越其李代数的（5）维幂零李群的双参数族\[[X_1，Y_1]=\alpha_1 Z，\quad[X_2，Y_2]=\alpha_2 Z\]对于参数\（\alpha_1\ge\alpha_2\ge0），所有其他括号都将消失。（案例\（\alpha_1=\alpha_2\）和\（\alpha_1>\alpha_2=0\）证明是特殊的。）它具有自然的左变次黎曼几何，其中左变向量场（{X_1，X_2，Y_1，Y_2}）是水平分布的正交框架。测量值\（\mu\）为Haar测量值，因此亚拉普拉斯（Delta）也是左变的。在定理1.1中，作者明确计算了该几何图形中的切割轨迹。这是定理1.2的一个关键成分，它得出形式\（p_t（x，y）=（C+O（t））t^{-k}\）的小时间渐近性[G.本·阿鲁斯，《科学年鉴》。埃及。标准。上级。（4） 21，第3号，307–331（1988年；Zbl 0699.35047号)；《傅里叶年鉴》39，第1期，73-99（1989；Zbl 0659.35024号)]以表明前导指数\（k\）由对角线上的\（k=3\）给出（\（x=y\）），当\（y\ne x\）不在从\（x\）开始的切割轨迹上时由\（k=5/2\）给出。在剩余的情况下，当（y\ne x）位于从（x）切出的轨迹上时，定理3.2用于表明，如果（alpha_1=alpha_2\），则为（k=3\）。在第5节中，作者将当前结果与R.Beals公司等【高级数学121，第2期，288–345（1996；Zbl 0858.43009号)]，其中显示了\（pt\）的积分公式。他们展示了这个公式如何也可以用于获得\（（x，y）\）的限制集的\（p_t（x，y）\）的渐近性（省略了切割轨迹的部分），这与定理1.2的渐近性一致。审核人：纳撒尼尔·埃尔德雷奇（斯托尔斯） 引用于4文件 MSC公司： 58J37型 流形上偏微分方程的摄动；渐近的 58J35型 流形上偏微分方程的热方程和其他抛物方程方法 53立方厘米17 亚黎曼几何 53元22角 整体微分几何中的测地学 35H10型 亚椭圆方程 35K08型 加热内核 35B40码 偏微分方程解的渐近行为 关键词：热核;小时间渐近;bi-Heisenberg群;切割轨迹;次黎曼几何;亚拉普拉斯 引文：Zbl 1270.53066号;Zbl 0315.53026号;Zbl 0699.35047号;Zbl 0659.35024号;Zbl 0858.43009号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Barilari}等人，Ann.Fac。科学。图卢兹，数学。（6） 28，第4号，707--732（2019；Zbl 1437.58018） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Agrachev，Andrei，接触亚黎曼构造的指数映射，J.Dyn。控制系统。，2, 3, 321-358 (1996) ·Zbl 0941.53022号 ·doi:10.1007/BF02269423 [2] Agrachev，Andrei，《亚黎曼长度-最小值和亚分析的紧凑性》，Rend。塞明。都灵马特，56，4，1-12（1998）·Zbl 1039.53038号 [3] 安德烈·阿格拉乔夫；Davide Barilari；Boscain，Ugo，《关于次黎曼几何中的Hausdorff体积》，计算变量部分差异。Equ.、。，43, 3-4, 355-388 (2012) ·Zbl 1236.53030号 ·doi:10.1007/s00526-011-0414-y [4] 安德烈·阿格拉乔夫；Davide Barilari；Boscain，Ugo，亚黎曼流形上的几何、分析和动力学。第二卷，亚黎曼几何中的测地线导论，1-83（2016），欧洲数学学会·Zbl 1362.53001号 [5] 安德烈·阿格拉乔夫；Davide Barilari；Boscain，Ugo，《亚黎曼几何综合导论》（2019）·Zbl 1487.53001号 [6] 安德烈·阿格拉乔夫；乌戈·博斯卡因；高蒂尔，让-保罗；Rossi，Francesco，单模李群上的本征次椭圆拉普拉斯算子及其热核，J.Funct。分析。，256, 8, 2621-2655 (2009) ·Zbl 1165.58012号 ·doi:10.1016/j.jfa.2009.01.006 [7] 安德烈·阿格拉乔夫；Sachkov，Yuri L.，《几何观点的控制理论》，87（2004），Springer·Zbl 1062.93001号 [8] Davide Barilari；乌戈·博斯卡因；格里戈伊尔·查洛特；Neel，Robert W.，《关于一般黎曼和次黎曼结构的热扩散》，《国际数学》。Res.Not.，不适用。，15, 4639-4672 (2017) ·Zbl 1405.58006号 [9] Davide Barilari；乌戈·博斯卡因；Gauthier，Jean-Paul，On 2-step，corank 2，幂零次黎曼度量，SIAM J.Control Optimization，50，1，559-582（2012）·Zbl 1243.53064号 ·doi:10.1137/110835700 [10] Davide Barilari；乌戈·博斯卡因；Neel，Robert W.，亚黎曼切割轨迹的小时间热核渐近性，J.Differ。地理。，92, 3, 373-416 (2012) ·Zbl 1270.53066号 ·doi:10.4310/jdg/1354110195 [11] Davide Barilari；Rizzi，Luca，亚黎曼几何中波普体积的公式，Ana。地理。米。空间，142-57（2013）·Zbl 1260.53062号 ·doi:10.2478/agms-2012-0004 [12] 理查德·比尔斯（Richard Beals）；伯纳德·加沃；Greiner，Peter，模型阶二次椭圆算子的格林函数和某些切向Cauchy-Riemann复形的分析，高等数学。，121, 2, 288-345 (1996) ·Zbl 0858.43009号 ·doi:10.1006/aima.1996.0054 [13] Ben Arous，Gérard，Dédevelopment symplicatique du noyau de la chaleur hypolliptique hors du cut-locus，《科学年鉴》。埃及。标准。上级。，21207-331（1988年）·兹比尔0699.35047 ·doi:10.24033/asens.1560 [14] Ben Arous，Gérard，《对角线附近亚椭圆体的发展渐近线》，《傅里叶研究年鉴》，39，1，73-99（1989）·Zbl 0659.35024号 [15] 安德烈亚·邦菲利奥利（Andrea Bonfiglioli）；埃尔曼诺·兰科利；Uguzzoni，Francesco，分层李群及其亚拉普拉斯人的潜在理论（2007），Springer·Zbl 1128.43001号 [16] 德米特里·布拉戈；尤里·布拉戈；Ivanov，Sergei，《公制几何课程》，33（2001），美国数学学会·Zbl 1232.53037号 [17] 埃斯特拉达、里卡多；Kanwal，Ram P.，渐近分布方法。理论与应用（2002年），Birkhäuser·Zbl 1033.46031号 [18] 伊纳哈马，尤祖鲁；Taniguchi，Setsuo，切轨迹上亚椭圆热核的短时完全渐近展开，数学论坛。Sigma，第574页，pp.（2017）·Zbl 1369.60040号 [19] 莫尔恰诺夫，斯坦尼斯拉夫A.，《扩散过程和黎曼几何》，Usp。马特·诺克，30，1，3-59（1975）·Zbl 0305.53041号 [20] 斯特里哈特、罗伯特·S·S、Sub-Riemannian几何学、J.Differ。地理。，24, 2, 221-263 (1986) ·Zbl 0609.53021号 ·doi:10.4310/jdg/1214440436 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。