Patrick Desrosiers公司;刘丹成 经典（β）系综中特征多项式乘积的渐近性。 （英语） Zbl 1311.15033号 施工。大约。 39，第2期，273-322（2014）. 作者处理了随机矩阵理论中研究的三个经典（β）系综，其特征值概率密度（直至归一化因子）为（i） 高斯（厄米）系综：_{j}-x_{k}|^{\beta}\），\（x_{i}\ in \mathbb R\）。（ii）手性（拉盖尔）（β）系综：_{j}-x{k}|^{\beta}\），\（x{i}\ in \mathbb R{+}\）。（iii）雅可比（β）系综：_{j}-x{k}|^{\beta}\），\（x{i}\ in（0,1）\）。\（β）是所谓的Dyson数，对于（β=1,2,4），出现了随机矩阵的系综，其各自的概率测度呈现正交、酉或辛对称。当矩阵的大小（N）趋于无穷大时，研究了许多有趣的概率量（全局涨落、间隙概率、最大特征值的分布）。另一方面，最近获得了关于情形（β>0）的一些普适性结果。当（N）趋于无穷大时，证明了由密度（prod_{1\leqi\leqN}e^{-\betaV（x{i}）}定义的任何（β）系综谱体中的本征值，其中（V）是实线上的实值函数，当引入适当的缩放和较小的平均值时，作为高斯系综的特征值进行关联。设（X）是某个（β）系综中大小为（N）的随机矩阵。在本文中，当N趋于无穷大时，得到了（β）经典系综的（prod_{j=1}^{N}）det（X-s_{j}）的期望值的精确显式表达式。更准确地说，作者将注意力集中在加权量\（\varphi_{N}（s_{1}，\dots，s_{N}）=e^{-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}V（s_}j}）}K_{N{（s_1}，\ dots，s_{N{）\上。这里\（K_{N}（s_{1}，点，s_{N}）=langle\prod_i=1}^{N}\prod\j=1}^}（x_{i}-s_{j}）\ rangle，\）其中\（（x_1}，…x_{N{）是随机矩阵的特征值\ 2}\）（高斯情况），\（x_{j}-（2/\beta）\lambda{1}\ln（x{j}）\）（手性情况）和（-2/\beta（\lambda{1}\ln。在软边，高斯和手征（β）系综中特征多项式乘积的期望值导致相同的多元Airy函数。这一结果表明，对于任何以势（V）为特征的β系综，具有适当重标度并在软边重新居中的特征多项式乘积的平均值应与（V）无关，并与多元Airy函数（Ai^{（β/2）}（s{1}，dots，s{n}）成正比\)当\（N\）趋于无穷大时。这将构成一种普遍性属性。对普遍性的猜测在大部分光谱中更为强烈。作者证明了当\（N\）趋于无穷大时，三个经典\（\β\）-系综对于体中的加权期望值\（\ varphi_｛N｝\）具有相同的渐近极限。实际上，它是一个指数型的多元超几何函数\(_{1} F类_{1} ^｛（β/2）｝\），当\（n\）是偶数时。注意，如果\（n）是奇数，\（varphi_{n}）和\（varfi_{n-1}）的组合就广义指数\（E_{k}^{（alpha）}）（定义为\（0,0）\）型超几何级数）而言，显示了一个普适模式，请参见[J.卡内科，SIAM J.数学。分析。24，第4期，1086–1110（1993年；Zbl 0783.33008号)]. 计算体和软边的标度极限需要对Selberg型积分进行渐近评估。作者推广了包含Vandermonde行列式绝对值的高维积分的最速下降法。（K_{N}）的硬边期望也包含一个超几何级数\(_{0}传真_{1} ^{（\beta/2）}\）可以看作是多元贝塞尔函数。对于手性系综和雅可比（β）系综，证明了这一结果。还推测了渐近期望的普遍性。当（β）为偶数且（N=βk）为高斯系综和手征系综（分别为三个经典系综）时，当（N）趋于无穷大时，给出了软边（分别为体）相关的渐近行为。注意，在手性和雅可比案例中，硬边案例是众所周知的（参见[P.J.福雷斯特、对数基和随机矩阵。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2010；Zbl 1217.82003年)]).审核人：弗朗西斯科·马塞兰（Leganes） 引用于1审查引用于10文件 MSC公司： 15B52号 随机矩阵（代数方面） 05年5月5日 对称函数和推广 33C70号 其他超几何函数和多变量积分 60对20 随机矩阵（概率方面） 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 关键词：随机矩阵;\（β）-信号群;杰克多项式;多元超几何函数;最速下降法;特征值;多元艾里函数;多元贝塞尔函数 引文：Zbl 0783.33008号;兹比尔1217.82003 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Desrosiers}和\textit{D.-Z.Liu}，施工。约39，编号2273-322（2014年；兹bl 1311.15033） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] Akemann，G.，Fyodorov，Y.V.：光谱边缘特征多项式比率的通用随机矩阵相关性。编号。物理学。B 664457-476（2003）·Zbl 1024.82012年 ·doi:10.1016/S0550-3213（03）00458-9 [2] Andrews，G.E.，Askey，R.，Roy，R.：特殊功能。剑桥大学出版社，剑桥（2000）·Zbl 1075.33500号 [3] Aomoto，K.：随机矩阵两点相关函数的缩放极限公式。高级纯数学研究生。16, 1-15 (1988). 共形场理论与可解晶格模型·Zbl 0666.60108号 [4] Baker，T.H.，Forrester，P.J.：Calogero-Southerland模型和广义经典多项式。Commun公司。数学。物理学。188, 175-216 (1997) ·Zbl 0903.33010号 ·doi:10.1007/s002200050161 [5] Baik，J.，Deift，P.，Strahov，E.：随机厄米矩阵特征多项式的乘积和比率。数学杂志。物理学。44, 3657-3670 (2003) ·Zbl 1062.15014号 ·数字对象标识代码：10.1063/1.1587875 [6] Bergère，M.，Eynard，B.，Marchal，O.，Prats-Ferrer，A.：任意-β双矩阵模型的循环方程和拓扑递归。《高能物理杂志》。03, 098 (2012). arXiv:1106.0332·Zbl 1309.811199号 ·doi:10.1007/JHEP03（2012）098 [7] 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