科特，C.J。;霍尔姆，D.D。 连续和离散Clebsch变分原理。 （英语） Zbl 1171.37026号 已找到。计算。数学。 9，第2期，221-242（2009）. 作者处理由作用（或最优控制问题的代价）定义的变分原理\[S=\int l[\mathbf{\xi}（t）]dt，\eqno{（1）}\]其拉格朗日量（或成本函数）\（l:V\ to \mathbb｛R｝\）是在向量空间\（V\）中的向量\（\mathbf｛\xi｝\）上定义的，服从从向量空间\（V\）到切线空间\（T）的速度图所施加的条件_{Q} M（M）\)流形\（M\）在点\（\mathbf{Q}\；\）\（\；\mathcal{左}_{\xi}:V\次M\到T_{{Q}}M\）。速度图{左}_{\xi}\）介绍了动力学，\[\dot｛\mathbf｛Q｝｝｝（t）=\mathcal{左}_{\xi}\mathbf{Q}（t），\eqno{（2）}\]其中，V中的（mathbf{xi}）和T中的（dot{mathbf}Q}M）与流形中的曲线相切。这种变分原理出现在两种不同的情况下：1最优控制上下文，在该上下文中，人们寻求由动力学（2）支配的（mathbf{Q}（t））的解决方案，动力学（2的）控制沿曲线在区间内的运动，从而使（1）中给定的代价函数（l[mathbf[xi}]\）的代价最小化。2哈密尔顿原理上下文，其中（1）中作用的平稳性（δs=0）意味着受速度图（2）施加的约束的（mathbf{xi}）的动力学方程。Clebsch方法通过行动或成本中的拉格朗日乘数项强制执行（2）。这样就产生了用（mathbf{Q}）和（mathbf{P}）表示的拉格朗日乘子的动力学方程，以及用（mathbf{xi}）给出的（mathbf2{xi}）的公式。拉格朗日乘子（mathbf{P}）也是对应哈密顿公式中（mathbf{Q}当且仅当速度图{左}_｛\xi｝\）是对\（\mathbf｛Q｝\ in M.\）的李代数作用。因此，速度映射的Clebsch框架与欧拉-庞加莱归约理论有着明确的联系；也就是说，得到的方程是李代数对偶上的欧拉-波因卡方程。对于速度图假定为李导数的连续时间情况，这种联系并不意外。示例包括有限维刚体方程和两个无限维示例：EPDiff方程和不可压缩Euler方程的奇异解。在EPDiff示例中，Clebsch框架将奇异解作为动量图族导出。此外，还展示了如何使用离散Clebsch变分原理来生成Clebsche方程的数值方法。审核人：Irina V.Konopleva（乌里扬诺夫斯克） 引用于1审查引用于12文件 MSC公司： 37J15型 对称、不变量、不变流形、动量图、约简（MSC2010） 65页第10页 含辛积分器哈密顿系统的数值方法 70小时45 约束动力学，狄拉克的约束理论 关键词：连续和离散动态系统;变分原理;Clebsch方法;旋转刚体;流体动力学中的不可压欧拉方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.J.Cotter}和\textit{D.D.Holm}，已找到。计算。数学。9，第2221-242号（2009年；兹bl 1171.37026） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] M.A.Austin、P.S.Krishnaprasad和L.-S.Wang，《刚体系统的几乎泊松积分》，J.Compute。物理学。107(1) (1993), 105–117. ·Zbl 0782.70001号 ·doi:10.1006/jcph.1993.1128 [2] A.M.Bloch、P.E.Crouch、J.E.Marsden和T.S.Ratiu，《离散刚体动力学和最优控制》，载于《CDC IEEE学报》（1998年）。 [3] N.Bou-Rabee和J.E.Marsden，简化Hamilton–Pontryagin变分积分器（2007年提交）。 [4] T.J.Bridges和S.Reich，《多符号积分器：保持辛性的哈密顿偏微分方程的数值格式》，Phys。莱特。A 284（2001），184-193·Zbl 0984.37104号 ·doi:10.1016/S0375-9601（01）00294-8 [5] H.Cendra和J.E.Marsden，Lin约束，Clebsch势和变分原理，Physica D 27（1987），63-89·兹比尔06255.8037 ·doi:10.1016/0167-2789（87）90005-4 [6] C.J.Cotter、D.D.Holm和P.E.Hydon，使用逆映射的流体动力学多辛公式，Proc。罗伊。Soc.A 463（2007），1671–2687；http://arxiv.org/abs/math.DS/0702827。 ·Zbl 1129.37036号 [7] D.D.Holm，Euler–完美复杂流体的庞加莱动力学，收录于《力学与动力学：纪念J.E.Marsden诞辰60周年》，第113-167页，柏林斯普林格出版社，2002年。 [8] D.D.Holm和B.A.Kupershmidt，磁流体力学、多流体等离子体和弹性的泊松括号和Clebsch表示法，《物理学》D 6（3）（1983），347-363·Zbl 1194.76285号 ·doi:10.1016/0167-2789（83）90017-9 [9] D.D.Holm和J.E.Marsden，动量映射和微分同胚群的Euler–Poincaré方程的测度值解，Progr。数学。232 (2004), 203–235; http://arxiv.org/abs/nlin.CD/0312048。 ·doi:10.1007/0-8176-4419-9_8 [10] D.D.Holm、J.E.Marsden和T.S.Ratiu，《Euler–Poincaré方程和半直积在连续体理论中的应用》，高等数学。137 (1998), 1–81; http://arxiv.org/abs/chao-dyn/9801015。 ·Zbl 0951.37020号 ·doi:10.1006/aima.1998.1721 [11] A.Iserles，《关于李群方程离散化的Cayley变换方法》，Found。计算。数学。1(2) (2001), 129–160. ·Zbl 1014.65060号 ·doi:10.1007/s102080010003 [12] B.Leimkuhler和S.Reich，《模拟哈密顿动力学》，剑桥大学出版社，剑桥，2005年·Zbl 1069.65139号 [13] A.Lew、J.E.Marsden、M.Ortiz和M.West，《变分积分器概述》，载于《有限元方法：20世纪70年代及以后》，L.P.Franca编辑，CIMNE，西班牙巴塞罗那，2003年，第85-146页·Zbl 1055.74041号 [14] D.Lewis和J.C.Simo，李群上哈密顿系统动力学的守恒算法，非线性科学。4(1) (1994). 253–299. ·Zbl 0799.58069号 ·doi:10.1007/BF02430634 [15] H.Munthe-Kaas，Runge–Kutta Lie群方法，BIT Numer。数学。38(1) (1998), 92–111. ·Zbl 0904.65077号 ·doi:10.1007/BF02510919 [16] R.L.Seliger和G.B.Whitham，连续介质力学中的变分原理，Proc。罗伊。Soc.A 305（1968），1-25·Zbl 0198.57601号 ·doi:10.1098/rspa.1968.0103 [17] J.Serrin，《经典流体力学的数学原理》，摘自Handbuch der Physik，第125-263页，柏林斯普林格出版社，1959年。 [18] H.Yoshimura和J.E.Marsden，拉格朗日力学中的狄拉克结构，第一部分：隐式拉格朗日系统，J.Geom。物理学。57 (2006), 133–156. ·Zbl 1107.53053号 ·doi:10.1016/j.geomphys.2006.02.009 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。