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丁村;Nguyín，Viít-Anh

关于Lefschetz和Hodge-Riemann定理。 （英语） Zbl 1302.32020号

Ill.J.数学。 57，第1期，121-144（2013）.
本文的主要结果涉及以下三个定理的推广：硬Lefschetz定理、Lefschet分解定理和Hodge-Riemann定理。
让我们首先回顾一下这三个定理。设（X，ω）是维数为（n）的紧致Kähler流形，且（p，q）是带（p+q\leqn）的非负整数。放置\（\Omega:=\Omega^{n-p-q}\）。然后\（Omega）在\（H^{p，Q}（X，\mathbb{C}）\）上诱导了一个厄米特形式\（Q_\Omega\[Q_\Omega（{\alpha\}，{\beta\}）：=i^{p-Q}（-1）^{\frac{（p+Q）（p+Q-1）}{2}}\int_X\alpha\ wedge\上划线{\beta}\wedge\ Omega\]对于光滑闭型\（（p，q）\）-形式\（α\）和\（β\）。Hodge-Riemann定理说，厄米特形式（Q_\Omega）是子空间（H^{p，Q}（X，mathbb{C}）{mathrm{prim}}\子集H^{p,Q}）上的正定形式，定义如下：\[H^{p，q}（X，\mathbb{C}）_{\mathrm{prim}}:=\Big\{\alpha\}\Big|\{\alpha\}\cup\{\Omega\}\cup\{\Omega\}=0\Big\}。\]硬Lefschetz定理说，由\（\{\alpha\}\mapsto\{\阿尔法\}\wedge\{\Omega\}\）定义的映射给出了\（H^{p，q}（X，mathbb{C}））和\（H_{n-p，n-q}）之间的同构。Lefschetz分解定理表示上同调群（H^{p，q}（X，\mathbb{C}））可以分解如下：\[H^{p，q}（X，\mathbb{C}）=\{omega\}\cup H^{p-1，q-1}（X，\mathbb{C{）\oplus H^{p,q}。\]这种分解与（Q_\Omega）正交。众所周知，如果我们用（H^{n-p-q，n-p-q}（X，mathbb{R}）中的任意类替换（{\Omega\}），即使该类包含严格正形式，这三个定理也不成立([B.伯恩德森和N.西博尼，发明。数学。147，No.2，371-428（2002年；Zbl 1031.32005年)]，另见本条备注2.9）。
在本文中，作者给出了这三个定理成立的充分条件。更确切地说，他们定义了“与\（X\）相关的Hodge-Riemann锥”的概念，并证明了如果\（\Omega\）只在与\（X\）相关的Hodge-Riemann锥中取值，则\（\｛\Omega\｝\）满足上述三个定理。粗略地说，这个充分条件意味着我们可以在（x）的每一点（x）以一种“好的方式”将（Omega）连续变形为（n-p-q}）。这种变形不需要连续依赖于\（x），而且先验不能保持形状的封闭性或平滑性。
作为这个定理的应用V.A.蒂莫林结果[Funct.Anal.Appl.32，No.4，268-272（1998）；翻译自Funkts.Anal.Prilozh.32，No.4，63-68（1998；Zbl 0948.32021号)]可以说，由（X）上的（n-p-q）Kähler形式的楔形积定义的上同调类满足上述三个定理（该定理是作者在[Geom.Funct.Anal.16，No.4，838-849（2006；兹比尔1126.32018)]). 在最后一节中，他们研究了紧辛Kähler流形背景下的一类显式Hodge-Riemann形式。
审核人：Takayuki Koike（东京）

引用于4文件

MSC公司：

32J27型 紧Kähler流形：推广、分类
14C30号 先验方法，霍奇理论（代数几何方面）
58甲14 整体分析中的霍奇理论

关键词：

硬Lefschetz定理，Lefschet分解，Hodge-Riemann定理

引文：

Zbl 1126.32018号;Zbl 1031.32005年;Zbl 0948.32021号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{T.-C.Dinh}和\textit{V.-A.Nguyín}，伊利诺伊州数学杂志。57，第1号，121--144（2013；Zbl 1302.32020）
全文： arXiv公司 欧几里得

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