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Bart M.P.Jansen。;杰斯珀·奈德洛夫

通过矩阵秩使用图分解计算色数。 （英语） Zbl 1431.68053号

西奥。计算。科学。 795, 520-539 (2019).
小结：计算最小数（q），使给定图的顶点可以正确地着色，称为色数是组合优化中最古老、最基本的问题之一。\（q\）-着色使用参数化算法框架对该问题进行了深入的研究，从而很好地理解了基于图结构的几种参数化的最佳可能算法。例如，已知的算法可以在时间上解决树宽为tw的图的问题\（\mathcal｛O｝^\ast（q^｛\mathrm｛tw｝｝）\），而假设强指数时间假设（SETH），运行时间为\（\mathcal｛O｝^\ast（（q-\varepsilon）^｛\mathrm｛tw｝｝）\）是不可能的。虽然基于图分解的参数化有大量工作顶点分隔符，对于基于的参数化几乎一无所知边缘分隔符.我们通过研究（q）来填补这一空白-着色在有界度图中，用割宽参数化，用路径宽度参数化。我们的研究揭示了开发小型边缘分离器的有趣新方法。我们为（q）提出了两种算法-着色由cutwidth ctw参数化：一个按时间运行的确定性模型（\mathcal{O}^\ast（2^{\omega\cdot\mathrm{ctw}}），其中\（\omega\）是方阵乘法指数，一个随机模型具有运行时\。与早期工作形成鲜明对比的是，运行时间为独立的第页，共页。对切割宽度的依赖是最优的：我们证明即使3-着色假设SETH，无法在\（\mathcal{O}^\ast（（2-\varepsilon）^{\mathrm{ctw}}）\）时间内求解。我们的算法依赖于描述兼容颜色的矩阵的新秩界。结合一个用于评估两个多项式乘积的简单通信协议，这也产生了一个用于（q）的（mathcal{O}^ast（（lfloor d/2\floor+1）^{mathrm{pw}}）时间随机化算法-着色关于路径宽度pw和最大度（d）的图。这样的运行时最初是由Björklund获得的，但只适用于没有适当颜色的图。我们还证明了在假设SETH存在无（mathcal{O}^ast（（lfloor d/2\floor+1-\varepsilon）^{mathrm{pw}}）时间算法的意义下，这个结果是最优的。

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MSC公司：

68年第27季度 参数化复杂性、可处理性和核化
05C15号 图和超图的着色
05元50分 图和线性代数（矩阵、特征值等）
05C85号 图形算法（图形理论方面）
68兰特 计算机科学中的图论（包括图形绘制）
68瓦20 随机算法
68瓦40 算法分析

关键词：

参数复杂性;色数;图分解

软件：

gCol（色谱柱）
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.M.P.Jansen}和\textit{J.Nederlof}，Theor。计算。科学。795520--539（2019年；Zbl 1431.68053）
全文： 内政部 链接

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