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内森·柯克;弗洛里安·鲍辛格

在预期的\（\mathcal上{五十} _2\)-抖动采样的差异。 （英语） Zbl 1534.11099号

统一。分销理论 18，编号1，65-82（2023）.
本文研究了抖动采样点集的L_2差异。抖动采样是一种简单而有效的方法，可以获得单位立方体（[0,1]^d）中具有合理均匀分布的正整数（N=m^d）点。在这种情况下，将单位立方体划分为大小相等的轴对齐立方体，并在每个立方体中放置一个随机点。每个点都是根据各自子立方体上的均匀分布来选择的，并且这些点都是独立分布的。因此，从抖动采样中获得的点集一方面是高度结构化的，另一方面也具有一定程度的随机性，这在将点用于应用时有时很有用。事实上，当使用等宽求积规则中的点时，可以将抖动采样视为随机准蒙特卡罗方法的特例。
量化抖动采样中点集的均匀分布程度是很有意义的，而实现这一点集均匀分布的一种方法是研究它们的L_2差异。对于在（[0,1]^d）中有（N）个点的点集（P_N），其（L_2）-差异定义为\[L_2（P_N）：=左（\int_{[0,1]^d}\left（\frac{|P\cap[\boldsymbol{0}，\boldsymbol{x}）|}{无}-\lambda_d（[\boldsymbol{0}，\boldsymbol{x}）\right）^2\mathrm{d}\boldsimbol{x}\right，\]其中\（[\boldsymbol｛0｝，\boldsymbol｛x｝）\）表示轴平行的半开框，左下角在\（\boldsymbol｛0｝\）中，左上角在\（\boldsymbol｛x｝\）中，其中\（|P\cap[\boldsymbol｛0｝，\boldsymbol｛x｝）|\）表示\（[\boldsymbol｛0｝，\boldsymbol｛x｝）\）中\（P\）的点数，其中\（\lambda_d\）表示\（d\）-维勒贝格测度。
本文的主要结果给出了抖动采样得到的（N=m^d）点的（L_2）-偏差期望值的精确公式，即\[\mathbb{E}\left[（L_2（P））^2\right]=\frac{1}{m^{2d}}\left（\frac{m}{2}\right）^d-\ left（\frac{m}{2}-\压裂{1}{6}\right）^d\right），\]因此，\（\mathbb{E}\left[L_2（P）\right]=\mathcal{O}\left（m^{-（d+1）/2}\right）\）。
此外，对于由Hickenell引起的\（L_2\）-差异的修改版本，显示了类似风味的结果。
审核人：彼得·克里策（林茨）

MSC公司：

11公里38 分布不规则、差异
2018年1月5日 集合的分区
60二氧化碳 组合概率

关键词：

抖动采样;星差;\（\mathcal{五十} _2\)-差异;希克内尔（mathcal）{五十} _2\)-差异
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{N.Kirk}和\textit{F.Pausinger}，Unif。分配理论18，第1期，65-82（2023；Zbl 1534.11099）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

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