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朱利奥·安德拉德。;裴成汉;郑万宇

函数字段中实数字符的\（L\）-系列的平均值。 （英语） Zbl 1355.11072号

Res.数学。科学。 3，第38号论文，47页（2016年）.
作者建立了与实二次函数场（k（sqrt{P}）和惰性虚二次函数域（k（\sqrt{gamma-P}））相关的二次Dirichlet（L）函数在（s=1/2）时的一阶矩和二阶矩的渐近公式是奇数基数有限域（{mathbb F}_q）上的一元不可约多项式，其中（gamma）是（{mathbb F}_q^{ast}）的生成器。即使（q）是平均（L）函数的任务也要困难得多。本文建立了函数域上\（L\）-函数的几个均值结果。
这是数字域中的一个经典问题
\[\sum_{\substack{p\leq X\\p\equiv\nu\bmod 4}}L\左（\tfrac{1}{2}，\chi_p\right），\]
其中，（X\ in{mathbb R}\）、（X\ to \infty）、（nu\ in{1,3\}\）和（chi_p\）是二次字符（chi_p（n）=左（frac{n}{p}\右），即Legendre符号。建立高阶矩的渐近公式也很重要
\[\sum_{\子堆栈{p\leq X\\p\equiv\nu\bmod 4}}L\左（\tfrac{1}{2}，\chi_p\right）^k\]（第k时刻）。本文的第一个目的是以与第一作者[Int.J.Number Theory 8，No.7，1725-1740（2012；Zbl 1269.11110号)]第一作者和J.P.基廷[J.数论132，第12期，2793–2816（2012；Zbl 1278.11082号); J.数论142，102–148（2014；Zbl 1318.11083号); 《阿里斯学报》。161，第4期，371–385页（2013年；Zbl 1286.11097号)]扩展了他们的结果。第二个目的是找到有理函数域上二次Dirichlet（L）函数平均值在（s=1）处的渐近公式。作者计算了与偶次一元不可约多项式相关的二次Dirichlet（L）函数的二阶矩。第一作者和基廷（Keating）获得了这个奇怪的案例[见上述引文]。
当常数场的基数为偶数时，我们在Artin-Schreier情况下，找到平均（L）函数比在奇数情况下（Kummer情况）要困难得多。作者在偶数情况下建立了几个平均值结果。设\（{mathbbA}={mathbb F}_q[T]\）是\（{MathbbF}_q）和\（k={matHBbF}_q（T）\）上的多项式环。设（{mathbbP}_n）是度（n）的（{matHBbA}）中的一元不可约多项式集。
本文的第一个主要结果是定理2.3，其中对于（q）奇数，作者发现：（1）对于（{mathbbR}e（s）\geq\frac{1}{2}）和（g\to\infty；（2） 对于任何\（varepsilon>0）、\（{mathbbR}e（s）\geq\frac{1}{2}）和\（|s-1|>varepsilen\），用（sum_{P\in{mathbb P}{2g+2}}L（s，\chi_P）表示。特别地\[\在{\mathbb P}_{2g+2}}L（1，\chi_P）=\zeta_{\mathbb A}}（2）\frac{|P|}{\log_q|P|{+O\big（|P|^{1/2}（\log_q |P|）\big），\]其中\（\zeta_｛\mathbb A｝｝）是\（｛\mathbb A｝\）和\（|P|=q^｛\deg P｝\）的Artin-zeta函数；（3） 对于\（｛\mathbb R｝e（s）\geq\frac｛1｝｛2｝\），\（\sum_｛｛P｝in｛\mathbb P｝_｛2g+2｝｝｝｝L（s，\chi_｛\gamma P｝）\）作为\（g\ to \infty\）。根据定理2.3得出定理2.9：\[\sum_{P\in{mathbbP}_{2g+1}}L（1，\chi_P）=\zeta_{mathbb A}（2）\frac{|P|}{\log_q|P|{+O\big（|P|^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\big）。\]类似地，在{mathbb P}{2g+2}}L（1，\chi_P）中的\（sum_{P\）和\（{mathbbP}{2 g+2}{L（s，\chi_{gamma P}）中，\（\ sum_}P\）。
对于（s=frac{1}{2}）处的（L）-函数的二阶矩，作者在定理2.6中发现了（q）奇数和（g\to\finfty），（sum{P\in{mathbbP}{2g+2}}L（frac{1,{2}，chi_P）^2）和{2}，\chi_{\gamma P}）^2）。类似地，对于（q），即使作者也发现，对于（g到infty），（sum{u在{mathcal H}{g+1}}}L（s，chi_u）中），（sum{P在{mathbb P}{g+1}}}中）和g+1}}}\sum_{u\在{{mathcal F}'_P}}L（s，\chi_u）中（定理2.13），其中\（\chi_u\）是字符，在与（K_u）相关联的一元多项式集上，其中（K_u=K（x_u），（x_u\）是（x^2+x+u=0），（u\ in K\）的解，（{\mathcal F}_P\）表示分母为（P\）和（{\mathcal F{'_P:={\matchcal F}_P+xi\）的负阶有理函数集，带有一个固定值hbb F}_q\setminus\wp（{\mathbb F{_q）\）。最后，\（｛\mathcal H｝_｛g+1｝\）对应于\（k\）的分支虚可分离二次扩张集，其有限判别式是不可约多项式的平方，并且是亏格\（g\）。
另一个主要结果是定理2.15，其中对于（q）偶数和（g to infty），在（s=frac{1}{2}）处发现了（L）函数的二阶矩：\[\在{mathcal H}{g+1}}L（\tfrac{1}{2}，\chi_u）^2，在{mathbb P}{g+1}}}中的sum{u\{\mathcal F}_P'}L（\tfrac{1}{2}，\chi_u）^2中的}}\sum_{u\。\]
审核人：Gabriel D.Villa-Salvador（墨西哥）

引用于5文件

MSC公司：

11G20峰会 有限域和局部域上的曲线
11立方米 Zeta和特性中的函数
11M50型 与随机矩阵的关系
11卢比 代数函数域的算术理论
14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想）

关键词：

有限域;函数字段;超椭圆曲线;\（K\）-组;二次Dirichlet函数的矩;类别编号

引文：

Zbl 1269.11110号;Zbl 1278.11082号;Zbl 1318.11083号;Zbl 1286.11097号
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\textit{J.C.Andrade}等人，《研究数学》。科学。3，第38号论文，47页（2016；Zbl 1355.11072）
全文： 内政部 arXiv公司
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