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亚历克斯·克鲁克曼;劳伦斯·S·莫斯。

探索关系三段论逻辑的前景。 （英语） Zbl 1490.03018号

版本符号。日志。 14，第3期，728-765（2021）.
本文在关系三段论逻辑领域做出了贡献，即研究通过允许关系推理扩展经典三段论的逻辑系统。
形式框架由一种语言提供，用\（\mathcal表示{左}_{5,5}），由一组名词和一组动词通过三个术语构造器和两个句子构造器构成。在预期的非正式阅读中，术语构造器（在变量\（x\）中）被解读为：（T1）与所有\（x）有关系的所有个体的集合；（T2）与某些（x）有关系的所有个体的集合；（T3）\（x）的补语。句子构造器（在变量\（x\）和\（y\）中）被读取为：（S1）all \（x \）are \（y \）；（S2）some（x）是a（y）。按照非正式阅读的建议，通过解释非空集合（M）中的名词、动词和构造器，这种语言被赋予了直截了当的语义：例如，每个名词都被解释为（M）的子集，对于术语（p）和（q），句子“all（p）are（q）”只有当且仅当（p）的解释包含在（q）的解释中时，句子构造器的预期解释才为真。这种语义允许我们为语言\（\mathcal）定义标准模型理论概念{左}_{5,5}），例如逻辑结果的基本概念。
本文重点介绍了\（\mathcal）的八个子语言{左}_{5，5}）我们通过固定名词构造器T1和句子构造器S1并考虑其余三个构造器的所有可能组合来获得。这八种语言的名称是按照与处理它们的文章的章节相对应的方式分配的，如下所示：
第1节：
语言\（\mathcal{左}_{1} \）仅在构造函数T1和S1上构建。
第2节：
语言\（\mathcal{左}_{2} \）构建在构造函数T1、S1和S2上。
第3节：
语言\（\mathcal{左}_{3} \）构建在构造函数T1、T2和S1以及语言\（\mathcal{左}_{3,5}\）通过添加到\（\mathcal{左}_{3} \）句子构造器S2。
第4节：
语言\（\mathcal{左}_{4} 构建在构造函数T1、T3和S1以及语言（mathcal{左}_{4,5}\）通过添加到\（\mathcal{左}_{4} \）句子构造器S2。
第5节：
语言\（\mathcal{左}_{5} \）构建在构造函数T1、T2、T3和S1以及语言\（\mathcal{左}_｛5，5｝\）本身，它使用所有五个构造函数。
作者寻求关于我们获得的结果关系的完备性定理和复杂性结果{左}_{5,5}\）限制为八种语言中的每一种。关于完备性定理，作者定义了一个精确的概念三段论的证明系统，对于每种语言，都要考虑两种否定结果（对于结果关系，不存在健全完整的三段论证明系统）和积极的结果（要么存在一个健全完整的三段论证明系统，要么存在一种健全完整的证明系统，通过允许无限推理规则或扩展语言的句法，从而超越了三段论证据系统的限制）。
主要结果简明扼要地记录在图1中，并在第1节的最后一段中进行了讨论。本节除了提供一些重要的原创成果外，还提供了对旧结果和尚未解决的问题的启发性评论，从而系统地描述了所考虑语言的最新发展。本文的其余部分将致力于根据上述结构对结果进行详细的证明，读者还可以在其中找到旧结果的有趣的新证明，以及用于进一步工作的一般框架和证明策略。
审核人：Edoardo Rivello（都灵）

引用于1文件

MSC公司：

03B65号 自然语言逻辑

关键词：

自然逻辑;三段论逻辑;证明系统;完整性;计算复杂性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Kruckman}和\textit{L.S.Moss}，Rev.Symb。日志。14，编号3，728--765（2021；Zbl 1490.03018）
全文： 内政部 arXiv公司

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