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阿尔贝托卡巴达;尼古拉·季米特洛夫。

具有参数依赖性和奇异性的非线性周期四阶差分方程的多重性结果。 （英语） Zbl 1211.39009号

数学杂志。分析。申请。 371，第2期，518-533（2010）.
首先我必须介绍作者的一些符号。让\（在{mathbb N}中，I={0，点，T-1，J={0。点，T+3。）如果\（P\）是\（{mathbbZ}\）和\（xi:P\到{mathbb R}\）的有界子集，则
\[\xi_*=\min_{j\在P}\{xi（j）\}中，\quad\xi^*=\max_{j\在P}中。\]
作者还使用了映射（g:I\ to{mathbb R}，\，c:I\ to}mathbb R}）和数字\（lambda>0.），它们用\（f）连续映射\（f:（0+infty）\ to（0+infty））或连续映射\
\[u（k+4）+Mu（k）=0，\；k\在{\mathbb N}中；\四元u（T+i）=u（i），\，i=0，\点，3\标记{1.2}\]
是非共振的（即它只有平凡解），并且相关的格林函数具有常数符号。作者考虑了以下问题：
\[\开始{cases}u（k+4）+Mu（k）=h（k），四个k\在I\\u（T+I）=u（I）中，四个I=0，点，3，结束{cases{tag{1.1}\]
其中，（h（k）=lambda g（k）f（u（k））+c（k），\）with \（k\ in I
\[u（k）=sum_{j=0}^{T-1}G_M（k，j）h（j），j中的k\]
作者收集了他们对函数\（G_M\）的研究结果如下（我们引用）
“提议2.1。问题（1.2）的相关格林函数（G_M:J\times I\to{mathbb R}）满足以下性质：1\当且仅当（T\）为奇数且（M<-1，\）2时，（G_M\）在\（J\乘以I\）上严格为负\（G_M）在（J乘I，）上为非正，在（J乘以I）上不等于零，并且当且仅当（T）为偶数且当（M<-1，）3时，在某些点上消失\当且仅下列两个断言中的一个成立时，（G_M）在\（J乘I）上严格为正：（a）\（T）是奇数且\（M \ in（-1,0），\）（b）\（T=1\）和\（M \geq0，\）4\当且仅当下列三个断言之一成立时，（G_M）在\（J乘I，\）上非负，在\（J\乘I）上不恒等零，在某些点上消失：（a）\（T）是偶数且\（M \ in（-1,0）\）（b）\（T\geq2 \）\（M=0 \）（c）\（T=2，\，4\）和\（M>0.\）“
在第3节中，作者为每个\（\lambda>0\）操作符定义
\[{\mathcal T}_\lambda:{\mathcal D}（{\matchal T}_ \lambda）\equiv\{u（k）>0\，\，\text{表示所有}\，\、k\在J\}\到{\mathbb R}^{T+4}中\]
由提供
\[{mathcal T}_\lambda u（j）=\左（\sum_{j=0}^{T-1}G_M（k，j）g（j）f（u（j））\右）+\左（sum{j=0}^{T-1}G_M（k，j）c（j）\右）\]
并注意到，（u>0）是问题（1.1）的解当且仅当（u=T_\lambda u.）他们引入了以下符号：
\[\γ（k）=\sum{j=0}^{T-1}G_M（k，j）c（j），\，k\在j中，\]
\[\α=\min_{（k，j）\以j\times I}G_M（k、j）为单位，β=\max_{，\]
\[f_0=\lim_{u\ to 0^+}f（u），\quad f_\infty=\lim\]
（如果存在）。此外，他们还做出了以下假设：
\[\gamma_*\geq0.\tag｛\（H0\）｝\]
\[\文本{（T\）是奇数和（M\ in（-1,0））或（T=1\）和（M\geq0\）。}\tag{\（H1\）}\]
\[g（j）\geq0\text{for-all}在I\text{和}\sum_{j=0}中的j^{T-1}克（j） >0。\标签{\（H2\）}\]
\[f： （0+\infty）\ to（0+\ infty”）\text{是连续的。}\tag{\（H3\）}\]
根据命题2.1和（H1），作者定义了锥
\[{mathcal K}:=\bigg\{u\geq0，\，\text{on}\，\，J，\，min_{K\ in J}\geq\sigma\|u\|bigg\}，\]
哪里
\[\σ=\min\left（\frac\alpha\beta，\，\frac{\gamma_*}{\gama^*}\right），\]
if\（\|\gamma\|>0，\）和\（\sigma=\frac\alpha\beta，\）if\（\ |\gama\|=0.\）之后，对于\（0<r<r\），它们定义
\[{\mathcal K}_{r，r}={u\在{\mathcal K}:r\leq\|\gamma\|\leqR\}中，\]
并且，作为问题（1.1）可解的充分条件，声明如下（我们引用）
“定理3.1。假设满足条件（（H0）、（H1）、（H2）和（H3）。然后，对于每一个\（lambda>0）和\（0<r<r），操作符\（{mathcal T}_\lambda\）都是定义良好且完全连续的。此外，如果（i）\（R\geq\|｛\mathcal T｝_\lambda u\|\）对于所有\（u\ in｛\mathcal K｝\），其中\（\|u\|=R，\）和\（R\leq\|｛\mathcal T｝_\lambda u\|\）对于所有\（u\ in｛\mathcal K｝\），其中\（\|u\|=R，\）或（ii）\（R\leq\|｛\mathcal T｝_\lambda u\|\）并且对于所有\（u\ in｛\mathcal K｝\），其中\（\|u\|=R，\）\（R\geq\|｛\mathcal T｝_\lambda u\|\）对于所有带有\（u\|u\|=r，\）的\（u\ in{\mathcal K}\），则在\（{\mathcal K}_{r，r}\）中存在\（u），这样\（{\ mathcal T}_\lambda（u）=u\）“
不幸的是，作者没有给出这个定理的详细证明，只做了以下声明（我们引用）：“该证明类似于[6，Teorem 2.1]中给出的证明，并遵循经典的扩张/收缩Krasnoselskii的固定Teorem。”评论家的评论：[6]是由A.卡巴达和J.A.Cid公司，“关于与具有不定势的希尔方程相关联的格林函数的符号”，Appl。数学。计算。205，第1期，303–308（2008年；Zbl 1161.34014号).
作者在定理3.1的基础上推导出的断言收集在以下定理3.2（第1-3部分）和定理3.3中。（第1-6部分）。
定理3.2。假设满足条件（（H1）、（H2）和（H3）。此外，如果（gamma_*>0），则以下结果成立：第1部分。存在（lambda>0），因此问题（1.1）对第2部分的所有（（（0，lambda_0）中的lambda\）都有正解。如果（f_\infty=0），那么问题（1.1）对所有（lambda>0）第3部分都有正解。如果\（f_\infty=+\infty），则存在\（\lambda>0），使得问题（1.1）对所有\（lambda\ in（0，\lambda _0），\）部分（4）有两个正解。如果\（f_0>0）和\（f_\infty>0）存在\（\lambda>0），则问题（1.1）对所有\（\lambda>\lambda _0.\）都没有正解
定理3.3。假设满足条件（H1）、（H2）和（H3）。此外，如果在（I）上有（c\equiv0），则以下结果成立：第1部分。如果\（f_0=+\infty\）或\（f_\infty=+\infty \），则存在\（\lambda>0\），使得问题（1.1）对第2部分中的所有\（\lambda \ in（0，\lambda_0），\）都有正解。如果\（f_\infty=0\），那么存在\（\lambda>0\）使得问题（1.1）对所有\（\lambda>\lambda _0，\）第3部分都有正解。如果\（f_0=+\infty\）和\（f_\infty=0\），则问题（1.1）对所有\（λ>0，\）第4部分都有正解。如果（f_0=+\infty）和（f_\infty=+\infty），则存在（lambda>0），使得问题（1.1）对第5部分中的所有（lambda）都有两个正解。如果（f_0=0）和（f_\infty=+\infty），则存在（lambda>0），因此问题（1.1）对所有（lambda>0）第6部分都有正解。如果（f_0=0）和（f_\infty=0），则存在（lambda>0），使得问题（1.1）对所有（lambda>lambda_0）都有两个正解，第7部分。如果\（f_0>0）和\（f_\infty>0）存在\（\lambda>0），则问题（1.1）对所有\（\lambda>\lambda _0）都没有正解
如图所示，作者考虑了问题（1.1），其中\（f（x）=x^{-\delta}\）（作者将该规范表示为问题（3.5）)并做出以下断言：1。如果\（\delta>-1\），那么问题（3.5）对所有\（\lambda>0，\）2都有正解。如果\（\delta=-1\），则存在\（\lambda>0\），因此问题（3.5）对所有\（\lambda>\lambda_0）都没有正解3.如果\（\delta<-1\）和\（\gamma_*>0\），则存在\（\lambda>0\）使得问题（3.5）对所有\（（0，\lambda_0），\）4都有两个正解。如果\（I）上的\（δ<-1\）和\（c\equiv0\），那么问题（3.5）对于每个\（λ>0.\）都有正解
在第4节中，作者考虑了格林函数在（J乘I）上非负的情况，而不是他们假设的条件（H（1））
\[\文本{（T\）是偶数和（M\ in（-1,0）\）或（T\geq2\）和（M=0\）或\（T=2，\，4\）和\（M>0\）。}\标记{\（\widetilde{H1}\）}\]
在这种情况下，它们引入了以下锥体：
\[\widetilde{{mathcal K}}:=\bigg\{u\geq0，\，\text{on}\，\，I，\，\sum_{K=0}^｛T-1｝u（k） \geq\widetilde{\sigma}\|u\|bigg\}，\]
哪里
\[\widetilde{\sigma}=\min\left（\frac1{\beta（1+M）}\frac1\|\gamma\|}\sum_{k=0}^{T-1}\gamma_k\right），\]
if（\|\gamma\|>0，\）和\（\widetilde{\sigma}=\frac1{\beta（1+M）}，\）if（\ |\gama\|=0.\）作者在本节中假设\[f： [0，+\infty）\ to[0，+/\infti）\text{是连续的，}f（u）>0\text{代表所有}u.\tag{\（\widetilde{H3}\）}\]
（0<r<r）的作者进一步介绍
\[\widetilde{\mathcal K}_{r，r}=\left\{u\in\widetilde{\mathcal K}\colon r\leq\|u\|\leq r\right\}\]
并制定以下内容（我们引用）
“定理4.1。假设满足条件\（H0）、（\widetilde{H1}）、（H2）和\（\wide tilde{H3}）。然后，对于每一个\（lambda>0）和\（0<r<r），（3.1）给出的算子\（{mathcal T}_\lambda:\widetilde{\mathcal K}_{r，r}\to\widetelde{\mathcal K{）是定义良好且完全连续的。此外，如果（i）\（R\geq\|{\mathcal T}_\lambda u\|\）用于所有\（u\in\widetilde{\mathcal K}\），带有\（\|u\|=R，\）和\（R\leq\|}\mathcalT}_\ lambda u}_\lambda u\ |\）和所有\（u\ in\widetilde{\mathcal K}\）与\（\|u\ |=R，\）\（r\geq\|\widetilde{{mathcal T}}_\lambda u\|\）对于所有\（u\in\widetelde{{mathcal K}}\）和\（u\ |=r，\），则在\（\widetailde{{mathcal K{}}_{r，r}\）中存在\（u），这样\（{mathcal-T}_\lambda（u）=u\）“
再次，作者没有给出这个定理的详细证明，只做了以下陈述（我们引用）：“我们只验证了操作符（{mathcal T}_\lambda\）将（\widetilde{{mathcal-K}}_{r，r}\）映射到（\wide tilde{\\mathcal K}}）。证明的其余部分遵循了与[6，Teorem 3.1]中的类似参数…”
现在让我为这个“定理4.1”提供以下反例。
反例1。设\（T=2，\mu=-M\ in[0,1）。mu}h（0）。在这种情况下，\（i=\{0，\，1\}\），\（J=\{0\，\，\点，\，5\}，\）
\[G_M=\left（\begin｛matrix｝G_M（0,0）&G_M（0,1）\\G_M（1,0）&G_M（1,1）\\G_M（2,0）&G_M（2,1）\\G_M（3,0）&G_M（3,1）\\G_M（4,0）&G_M（4,1）\\G_M（5,0）&G_M 0\end｛matrix｝\right），\]
\（阿尔法=0）和（贝塔=1.）此外，我们还有\[{\mathcal T}_\lambda u（k）=\lambdag（k）u（k）+\gamma（k），\]哪里\[u（2k+i）=u（i）\，\，\text｛for｝\，\，i=0，\，1，\，k=0,1,2\]
\[g（2k+i）=g（i）\，\，\text{表示}\，\、i=0，\，1，\，k=0,1,2\]
我们现在给“定理4.1”举一个反例，当\（T=2，M英寸（-1,0），伽马^*=0，）并且满足了这个“定理”的充分条件（ii）。我们取\（\μ\ in（0,1/2），\ eta=\μ/（1-\μ）\ in（0，1）那么\（1+\eta=1/（\beta（1-\mu））=\ tilde{\sigma}。\）如果\（u\ in \ tilde{{mathcal K}}\），则
\[u（j）+u（1-j）\geq\ tilde{\sigma}|u|=（1+\eta）|u|\geq（1+\ta）u（j\]
和\[u（1-j）\geq\eta u（j）\]
对于（j=0,1.\），不等式（u（0）+u（1）\geq\tilde{\sigma}|u|\）等价于条件（u（j）/u（k）\geq \eta，\，\{j，k\}\子集\{0,1\}\）\[b_0>0，r>b_0，\，r>r/\eta，\，b_0\ in（0，r），g_0=\lambda=1，\、g_1>\frac r{b_0\eta}。\]
我们构造了一个辅助的连续分段线性函数\[f（x）：[0，+\infty）\到[0，+/infty，\]如下：
\[f（x）=\frac{（1-\mu）b_0}rx\，\，\text{表示}\，\中的x\，\]
\[f（x）=（1-\mu）b_0\frac{R\eta-x}{R\esta-R}+\frac{1-\mu}{g（1）}b_0\frac{x-R}{R\ta-R}\]
对于\（x\in[r，r\eta]，\）\[f（x）=\frac{1-\mu}{g（1）}B_0，\，\text{表示}\，\，x\在[R\eta，+\infty）中。\]
如果\（\|u\|=r\），则\（i=0,1.）
\[{\mathcal T}_1u（0）=g（0）f（u（O））/（1-\mu）\leq b_0<r，\]
\[（1-\mu）b_0\geqf（u（1））=，\]
\[{\mathcal T}_1u（1）=g（1）f（u（1，\]
因此，
\[\|{mathcal T}_1u\|>r。\]
如果\（\|u\|=R\），则\[u（i）\ in[R\eta，R]，\，f（u（i\]对于\（i=0,1.\）因此
\[{\mathcal T}_1u（0）=f（u（O））/（1-\mu）=B_0/g（1）<R，\]
\[{\mathcal T}_1u（1）=g（1）f（u（1，\]
因此
\[\|{\mathcal T}_1u\|<R。\]
显然，\（{\mathcal T}_1u（0）<u（0
在这篇评论的其余部分中，我通过转移作者的进一步主张来约束自己。
定理4.2。假设满足条件\（（H0）\）、\（（\widetilde{H1}）\）、\（（H2）\）和\（（\widetilde{H3}）\）。如果此外
\[\总和{j=0}^{T-1}g（j）>0，\]
（评论家评论：这个不等式包含在（H2）中），那么以下结果成立：1。存在\（\lambda>0\），因此问题（1.1）对所有\（（0，\lambda_0），\）2都有非负解。如果\（f_infty=0\），则问题（1.1）对所有\（λ>0.\）都有非负解
此外，作者对函数（g）施加了一个更强的条件，而不是条件（H2）：
\[g_*>0\标签{\（\widetilde{H2}\）}\]
定理4.3。假设满足条件\（（H0）\）、\（（\widetilde{H1}）、\、（\wide tilde{H2}）\）和\（\widelde{H3}）。然后满足以下断言：1。如果\（f_\infty=\ infty\），则存在\（\lambda>0\），使得问题（1.1）对所有\（（0，\lambda _0），\）2中的\ lambda\都有一个非负解。如果（f_\infty=\infty）和（f_\ infty=0.），那么问题（1.1）对所有（lambda>0.）3都有一个非负解。如果\（f_0>0）和\（f_\infty>0），则存在\（\lambda_0>0
定理4.4。假设\（delta>0\）和\（（H0）\）、\（（\widetilde{H1}）\），\（\wide tilde{H2}）。让
\[\λ（k）=\sum_{j=0}^{T-1}G_M（k，j）g（j）\，\，\文本{代表所有}\，\\]假设存在一些\（r>0），使得以下不等式成立
\[\压裂{\lambda\lambda_*}{\left（\frac{\lambeda\Lambeda^*}{r^\delta}+\gamma^*\right）^\delta}+\gamma_*\geqr \tag{4.2}\]和
\[\max（\lambda\lambda^*/r^\delta+\gamma_*），\，\lambda\lambda_*/r^\delta+\gamma^*）\geq r.\tag｛4.3｝\]那么问题（3.5）有一个正解，即（u（k）
推论4.1。假设满足了条件\（（H0）\）、\（（widetilde{H1}）\）和\（widetelde{H2}）。如果\（delta>0，\，\gamma_*>0），那么问题（3.5）对所有\（\lambda>0）都有正解。此外，这样的解是这样的\（x（t）\geq\gamma_*\）对所有的\（t\in[0，t].\）
推论4.2。假设\（delta>0，\，\gamma_*=0\）和条件\（（H0）\），\（（\widetilde{H1}），（\wide tilde{H2}）\）得到满足。那么问题（3.5）对所有问题都有正解（lambda>0.）
在第4节末尾，作者作了以下两点评论：备注4.1。注意，如果（gamma_*=0，）条件（4.2）和（4.3）满足当且仅当（I）上的（c\equiv0）和函数（Lambda）是常数。因此，在（gamma_*=0）的情况下，定理4.4对于强奇点（（delta\geq1））没有非平凡的应用。备注4.2。本节给出的结果可以应用于问题（3.5），当\（\delta\leq0.\）在这种情况下，我们有一个正则函数，它通常满足条件\（（\widetilde{H3}）假设满足了条件（（H0）、（H1）和（H2），根据本节中显示的结果，我们得出以下断言：1。如果\（\delta\leq0\）和\（\sum_{j=0}^{T-1}克（j） >0\），则存在\（\lambda_0>0\），使得问题（3.5）对于所有\（\lambda\in（0，\lambda_0）），\）2具有非负解。如果\（-1<\delta\leq0\），那么问题（1.1）对所有\（\lambda>0，\）3都有一个非负解。如果\（\delta=-1\），则存在\（\lambda_1>0\），因此问题（1.1）对所有\（\lambda>\lambda_1）都没有非负解
在第5节中，作者考虑了问题（1.2）的格林函数在（J乘I）上为非正的情况。在这种情况下，作者研究的不是问题（1.1），而是以下问题：
\[\开始｛cases｝y（k+4）-Ny（k）=-h（k），\quad k\in I\\u（T+I）=u（I），\quad I=0，\dots，3\end｛cases｝，\tag｛5.1｝\]
与问题（1.1）中的相同（h（k）），以及
\[N=-M\标签{*）（1}\]
问题（1,1）中考虑了\（M\）。作者用（G^-N）表示问题的格林函数
\[-y（k+4）+Ny（k）=0，\，k\ in I，u（T+I）=u（I），\，I=0，，\点，\，3\标签{5.2}\]
评审员评论：很明显，
\[G^-N=-G_M.\标签{*）（2}\]
然后，利用（*）（1）和（*）。纳入以下提案5.1：
提议5.1。问题（5.2）的相关格林函数（G^-N:J\times I到{mathbb R}）满足以下性质：1\（G^-N\）在\（J\乘以I\）上严格为正当且仅当\（T\）为奇数且\（N>1，\）2\（G^-N）在\（J乘I，\）上为非负，在\（J\乘I）上不等于零，并且当且仅当\（T）为偶数且当\（N>1，\）3时，在某些点上消失\当且仅下列两个断言中的一个成立时，（G^-N）在\（J乘I）上严格为负：（a）\（T\）是奇数且\（N\ in（0,1），\）（b）\（T=1）和\（N\leq0，\）4\当且仅当下列三个断言之一成立时，（G^-N）在\（J乘I，\）上为非正，在\（J\乘I）上不等于零，并且在某些点上消失：
最后，作者做出了以下断言：（我们引用）“所以用下面的一个替换\（（H1）\）：
\[T\，\，\text{是奇数，}\，\、N>1\tag{\（\overline{H1}\）}\]我们得出结论，定理3.2和3.3的所有断言对于问题（5.1）仍然有效。如果我们引用关于问题（5.1）的定理4.2和4.3，并将条件（（（widetilde{H1}））替换为
\[T\，\，\text{是偶数，}\，\、N>1.\tag{\（\widetilde{H1}^*\）}\]如果我们考虑问题
\[\开始{cases}-y（k+4）+Ny（k）=\lambda g（k）u^{-\delta}（k），在I\\u（T+I）=u（I）中的四k，四I=0，点，三结束{casesneneneep\]在这个新假设下，我们推导出与示例3.1、定理4.4和推论4.1和4.2类似的结果。”
结论。在我看来，这篇论文有一个本质上的缺陷。然而，这很有趣。
审核人：Leonid A.Gutnik（莫斯科）

引用于19文件

MSC公司：

39A23型 差分方程的周期解
39A10号 加法差分方程

关键词：

周期边值问题;非线性四阶差分方程;格林函数;参数相关性

引文：

Zbl 1161.34014号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛A.Cabada｝和\textit｛N.D.Dimitrov｝，J.数学。分析。申请。371，No.2，518--533（2010；Zbl 1211.39009）
全文： 内政部

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