伯恩德·科奇海姆;简·克里斯滕森 关于秩为1的齐次凸函数。 （英语） Zbl 1342.49015号 架构（architecture）。定额。机械。分析。 221，第1期，527-558（2016）. 用（mathbb R^{N\times N}）表示具有实数项的所有（N\timesn）矩阵的集合。函数（f:mathbb R^{N\timesn}到mathbb R）被称为秩一凸，如果（f（t（xi+（1-t）eta）leq t f（xi）+（1-t）f（eta））对于所有秩为（（xi-eta）的（xi，eta）。实向量空间（mathcal V）中的方向锥是（mathcar V）的子集（mathcal-D），该子集跨越（mathcall V），并且对于所有（x in mathcal D）和（t in mathbb R）都是（t in mathcal D。如果（x，y]\subset\mathcal A\）中的所有\（x，y在\ mathcal A中）都有\（x-y在D中），那么\（mathcal V）的一个子集\（mathcal A）称为\（mathcal D）-凸。函数\（f:\mathcal S\ to \ overline｛\mathbb R｝\，（=[-\infty，\infty]）\）被称为弱\（\mathcal D\）-凸，如果\（f|_｛[x，y]｝\）对所有\（x，y\ in \mathcal S\）都是凸的，使得\（x-y\ in D\）和\（[x，y]\subet \mathcal S\），并且\（\mathcal D\）-凸，如果它的扩展\（f\）到\（\mathcal V\），取值为\（+\infty \）在\（mathcal V\setminus\mathcal S\）上，是弱\（mathcal D\）-凸的。本文的主要结果（定理1.1）断言，在有限维赋范空间（mathcal V）中的开凸锥（mathcal-C）上定义的任何（mathcaD-）凸且正齐次函数（f:mathcalC-tomathbb-R）在（mathcali-D）的每一点上都是凸的。更确切地说，对于每一个\（x_0\in\mathcal D\cap\mathcal-C\），都存在一个线性泛函\。特别地，每个秩一凸且正1-齐次函数（f:mathbb R^{N\timesn}to mathbb R）在秩一锥（{xi\In\timesn}:\）秩（xi\leq 1\}）的每个点上都是凸的。在这个抽象结果的结果中，可以提到Ornstein（L^1）非等式的各种推广，参见[奥恩斯坦，建筑。定额。机械。分析。11, 40–49 (1962;Zbl 0106.29602号)]. 还考虑了梯度杨氏测度的应用。审核人：斯特凡·科布扎什（Cluj-Napoca） 引用于53文件 MSC公司： 49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松 49J27型 抽象空间问题的存在性理论 49J52型 非光滑分析 26对25 多变量实函数的凸性，推广 关键词：变分法;拟凸函数;秩一凸函数;齐次函数;方向凸性;年轻的措施 引文：Zbl 0106.29602号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Kirchheim}和\textit{J.Kristensen}，Arch。定额。机械。分析。221，No.1，527--558（2016；Zbl 1342.49015） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Alberti G.：有界变差函数导数的秩一性质。程序。R.Soc.爱丁堡。第节。A 123（2），239-274（1993）·Zbl 0791.26008号 ·文件编号：10.1017/S030821050002566X [2] Alibert J.J.，BouchittéG.：非均匀可积性和广义Young测度。J.凸分析。4, 129-147 (1997) ·Zbl 0981.49012号 [3] Ambrosio，L.，Fusco，N.，Pallara，L.：有界变分函数和自由间断问题，牛津数学专著。克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约，2000年·Zbl 0957.49001号 [4] Astala K.，Iwaniec T.，Prause I.，Saksman E.：Burkholder积分，Morrey问题和拟共形映射。美国数学杂志。Soc.25（2），507-531（2012）·Zbl 1276.30038号 ·doi:10.1090/S0894-0347-2011-00718-2 [5] Ball J.M.、Currie J.C.、Olver P.J.：零拉格朗日、弱连续性和任意阶变分问题。J.功能。分析。41, 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