伊尔亚·博里索维奇·哈萨克夫 L'Hópital法则的证明。 （俄语。英文摘要） Zbl 07845724号 切比雪夫斯基。 24，第5号（91），49-69（2023）. 小结：本文对微积分讲师提出的L'Hópital法则给出了一个新的证明。对于六种极限类型：（x到a）、（x到a+0）、（x-到a-0）、（x-到a-0）、（a=-\infty\），\（A=+\输入\），\（A=输入\）。因此，该定理涵盖了L'Hópital法则的（6*2*4=48）种情况。该定理的证明与传统的证明不同，不仅使用了极限函数的Cachy定义，而且还使用了Heine定义。单部分极限定理被用作允许应用极限的海涅定义的重要辅助语句。该语句还允许将序列极限的算术性质应用于不定形式（frac{\infty}{\inffy}）和极限（x\ to a+0）的证明，即对于实现最显著简化的情况。 MSC公司： 26A06号 一元微积分 26A24年 微分（一元实函数）：一般理论，广义导数，中值定理 关键词：L'Hópital的规则;部分限制;海涅函数极限定义;一年级学生的微积分 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.B.Kazakov}，切比雪夫斯基[24，No.5（91），49-69（2023；Zbl 07845724） 全文： 内政部 MNR公司 参考文献： [1] 𝑔 : 𝐵 → R（右） [2] Предположим обратное, т.е. что у функции 𝑔 имеется на множестве 𝐵 более одного нуля. [3] Тогда найдутся 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐵, 𝑥 1 < 𝑥 2 такие, что выполнено 𝑔(𝑥 1 ) = 𝑔(𝑥 2 ) = 0. [4] Таккамк𝐵∈B，ибаауаВтсоаноитабк→𝑎+0，𝑥 → +∞, 𝑥 → -∞, то множество 𝐵 является выпуклым. [5] Так как множество 𝐵 является выпуклым, 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐵, и функция 𝑔 дифференцируема на множестве 𝐵, то, в соответствии с утверждением 22, найдётся 𝜉 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⊂ 𝐵 такое, что выполнено 𝑔 ′ （𝜉）=0，бтоПротиратаеребитусловиаамемоммунафуокаиеартеенине30。Пусть: [6] B-базао𝑥 → 𝑎, 𝑥 → ∞ [7] Предположим обратное, т.е. что у функции 𝑔 на множестве 𝐵 имеется более двух нулей. [8] Таккамк\119861；∈B𝑥 → 𝑎, 𝑥 → ∞, то 𝐵 = 𝐵 1 ∪ 𝐵 2 , где 𝐵 1 , 𝐵 2 -выпуклые множества. [9] Так как функция 𝑔 имеет хотя бы три различных нуля на множестве 𝐵, то, в соответствии с принципом Дирихле, хотя бы одно из множеств 𝐵 1 , 𝐵 2 содержит два различных нуля функции 𝑔. Пусть, для определённости, два различных нуля содержатся в множестве 𝐵 1 . [10] То есть найдутся 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐵 1 , 𝑥 1 < 𝑥 2 такие, что выполнено 𝑔(𝑥 1 ) = 𝑔(𝑥 2 ) = 0. [11] Так как множество 𝐵 1 является выпуклым, 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐵 1 , и функция 𝑔 дифференцируема на множестве 𝐵 1 ⊂ 𝐵, то, в соответствии с утверждением 22, найдётся 𝜉 ∈ (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ⊂ 𝐵 1такое，мтоаатротнено𝑔′（𝜉）=0，мТоПрарнтиретеитусаовиаеемуафунккаиеамеутткииуинауек。Пусть: [12] B-бааоДноГоиеслеДуу埗ихеСтириДов：𝑎→\119886；+0，\119886-0;，\118886；（ГаеиаОнанОГОаисеаутуитрата，𝑥 → +∞, 𝑥 → -∞, 𝑥 → ∞ [13] 𝑔 : 𝐵 → 雷诺夫： [14] Функция 𝑔 дифференцируема на множестве 𝐵 [15] = ∞ и ∀𝑛 𝑥 𝑛 ∈ (𝑎, 𝑏), то, в соответствии с утверждением 15, выполнено 𝑔(𝑥 𝑛 ) → ∞. [16] ЭтаПII:ОтбрасааттрткакстваниеконетнноГотисмабеенаоаеаитеикнтоомоиСалеороктуарернкиа [17] Докажем, что существует 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏 ′ ) такое, что для всех 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) выполнено 𝑓 ′ (𝑥) 𝑔 ′ (𝑥) ∈ 𝑂 𝜀 (𝐴). [18] 2.Помоим𝑐=最小值(𝑎 + 𝛿, 𝑏 ′ )/2. Тогда для всех 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) ⊂ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ∩ (𝑎, 𝑏) выполнено [19] Докажем, что существует натуральное число 𝑁 такое, что для всех 𝑛 > 𝑁 выполнено 𝑥 𝑛 ∈ (𝑎, 𝑐). [20] 1. Так как 𝑥 𝑛 → 𝑎, то существует натуральное число 𝑁 такое, что для всех 𝑛 > 𝑁 выполнено 𝑥 𝑛 ∈ 𝑂 𝑐-𝑎 (𝑎) = (𝑎 -(𝑐 -𝑎), 𝑐). Выберем такое 𝑁 . [21] 2. Однако, для всех 𝑛 выполнено 𝑥 𝑛 ∈ (𝑎, 𝑏). Таким образом, для всех 𝑛 > 𝑁 выполнено 𝑥 𝑛 ∈ (𝑎 -(𝑐 -𝑎), 𝑐) ∩ (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑐) [22] свойствами последовательности 𝑥 𝑛 (п.2, 3, 5), установим следующие свойства последовательности 𝑦 𝑛 : 1. ∀𝑛 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛+𝑁 ∈ (𝑎, 𝑐) [23] 𝑔(𝑦 𝑛 ) → ∞ 第三章： [24] Положим 𝑧 𝑛 = 𝑓 (𝑐)-𝑓 (𝑦𝑛) 𝑔(𝑐)-𝑔(𝑦𝑛) . Так как ∀𝑛 𝑦 𝑛 ∈ (𝑎, 𝑐) ⊂ (𝑎, 𝑏 ′ ), то, в силу установленного в п.2, ∀𝑛 𝑔(𝑦 𝑛 ) ̸ = 𝑔(𝑐), и, следовательно, 𝑧 𝑛 определена для всех 𝑛. Также отметим, что для всех 𝑛 выполнено 𝑔(𝑦 𝑛 ) ̸ = 0. [25] Докажем, что для всех 𝑛 выполнено 𝑧 𝑛 ∈ 𝑂 𝜀 (𝐴). [26] В соответствии с утверждением 24, построим последовательность 𝜉 𝑛 , обладающую следу-ющими свойствами: [27] ∀𝑛 𝜉 𝑛 ∈ (𝑦 𝑛 , 𝑐) ⊂ (𝑎, 𝑐) [28] Так как ∀𝑛 𝜉 𝑛 ∈ (𝑎, 𝑐), то, в соответствии с п.4, ∀𝑛 𝑧 𝑛 = 𝑓 ′ (𝜉𝑛) предела, то используемые в настоящей работе технические рассуждения (например, понятие частичного предела и его свойства) мо-гут быть перенесены на произвольные топологические и метрические пространства. Автор, таким образом, предполагает, что использование «определения Гейне» позволит, возможно, упростить доказательства некоторых теорем общей топологии и функционального анализа. СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ [29] Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология // М.: Высшая школа. 1979, 336 с. [30] Бесов О. В. Лекции по математическому анализу // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2014, 480 с. [31] Зорич В. А. Математический анализ. 完成астбI.ИДД。10-е, испр. // М.: МЦНМО. 2019年，xii+564с。 [32] Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу // М.: МФТИ. 2017, 340 с. [33] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ // М.: Наука. 1984, 752 с. ·Zbl 0555.46001号 [34] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: Учеб. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 1. 2-е. изд., перераб. и доп. // М.: Высш. шк. 1988, 713 с. [35] Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов // М.: Наука. 1975年，公元240年。 [36] Никольский С. М. Курс математического анализа: учебное пособие. 6-е изд., стер. // М.: Физматлит. 2001, 592 с. [37] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // М.: Наука. 1966, 607 с. [38] Энгелькинг Р. Общая топология // М.: Мир. 1986, 752 с. [39] Boas R.P.对L'Hópital规则的反例//美国数学月刊。1986年，第93卷，第9期，第644-645页·Zbl 0655.26005号 [40] Lee C.M.《卢武铉统治的概括》//。阿默尔。数学。Soc.1977年。第66卷，第2期，第315-320页·Zbl 0375.26006号 [41] 陶斯克·D·V·l’Hópital规则反例//网址：https://www.ime.usp.br/～tausk/texts/CounterExampleLHospital.pdf [42] 泰勒·A·E·L医院规则//美国数学月刊。1952年，第59卷，第1期，第20-24页·Zbl 0046.06202号 [43] Vianello M.通过绝对连续性和Banach模块对l'Hópital规则的概括//实分析交换。1993年，第18卷，第2期，第557-567页·Zbl 0808.26009号 [44] Vyborny R.，Nester R.L'Hópital规则，反例//数学元素。1989年，第44卷，第5期，第116-121页·兹比尔0702.26003 [45] Aleksandryan，R.A.&Mirzahanyan，E.A.1979，《Obshchaya拓扑[一般拓扑]》，俄罗斯莫斯科Vysshaya shkola，336页·Zbl 0453.54001号 [46] Besov O.V.2014，《Lekcii po matematicheskomu analizu[微积分讲座]》，FIZMATLIT，俄罗斯莫斯科，480页。 [47] Zorich，V.A.2019，《Matematicheskij analiz》。CHast'1。[微积分.第1部分]»，第10版，MCCME，俄罗斯莫斯科，xii+564页。 [48] Ivanov，G.E.，2017，《Lekcii po matematicheskomu analizu[微积分讲座]》，俄罗斯莫斯科MIPT，340页。 [49] Kantorovich，L.V.&Akilov，G.P.1984，《功能分析》，瑙卡，莫斯科，俄罗斯，752页·Zbl 0555.46001号 [50] Kudryavcev，L.D.1988，《Kurs matematicheskogo analiza》[微积分课程]。第1卷»，第2版，Vysshaya shkola，俄罗斯莫斯科，713页·Zbl 0703.26001号 [51] Lavrov，I.A.&Maksimova，L.L.1975，《Zadachi po teorii mnozhestv，matematicheskoj logike I teorii algoritmov[集合论、数学逻辑和算法理论中的问题]》，瑙卡，莫斯科，俄罗斯，240页·Zbl 0307.2001号 [52] Nikol’skij，S.M.2001，《微积分课程》，第6版，俄罗斯莫斯科，FIZMATLIT。，592页。 [53] Fihtengol’c，G.M.1966，《库尔斯微分‘nogo i积分’nogo ischesleniya[微积分课程]》，瑙卡，莫斯科，俄罗斯，607页。 [54] Engel'king，R.1986，《Obshchaya拓扑[一般拓扑]》，俄罗斯莫斯科米尔，752页·Zbl 0825.54001号 [55] Boas，R.P.1986，《L'Hópital规则反例》，《美国数学月刊》，第93卷，第9期，第644-645页·Zbl 0655.26005号 [56] Lee，C.M.，1977年，《资本法则的概括》，Proc。阿默尔。数学。Soc，第66卷，第2期，第315-320页·Zbl 0375.26006号 [57] Tausk，D.V.，“Hópital规则的反例”，网址：https://www.ime.usp.br/～tausk/texts/CounterExampleLHospital.pdf [58] Taylor，A.E.1952年，《L'Hospital's Rule》，《美国数学月刊》，第59卷，第1期，第20-24页·Zbl 0046.06202号 [59] Vianello，M.1993，《通过绝对连续性和Banach模块对l'Hópital规则的概括》，《真实分析交换》，第18卷，第2期，第557-567页·Zbl 0808.26009号 [60] Vyborny，R.&Nester，R.1989，《L'Hópital规则，反例》，《Mathema-tik要素》，第44卷，第5期，第116-121页。Получено: 08.10.2023 Принято в печать: 21.12.2023 ·Zbl 0702.26003号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。