菲利普·赖特;亨利克·舒马赫 莫比乌斯能量的索波列夫梯度。 （英语） Zbl 1486.49020号 架构（architecture）。定额。机械。分析。 242，编号2，701-746（2021）。 （mathbb{R}^M）中嵌入曲线（gamma）的Möbius能量为\[\mathcal｛E｝（\gamma）=\int_｛\mathbb｛T｝｝\int_｛\mathbb｛T｝｝\left（\frac 1｛|\gamma（x）-\gamma（y）|^2｝-\frac 1｛\rho_\gamma ^2（x，y）｝\right）|\gamma ^\prime（x）|\gamma ^\prime（y）|\，dx-dy，\]其中\（\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb2{Z}\）。我们用（D\mathcal{E}（\gamma）表示（L^2）-空间中\gamma\处的Fréchet导数（梯度）。设\（G\）是\（\mathbb｛T｝\）上函数空间上的内积。（G）-gradient（left.\mathrm{grad}（\mathcal{E}）\right|_\gamma）定义为\[G（\left。\mathrm｛grad｝（\mathcal｛E｝）\right | _\gamma，w）=D\mathcal｛E｝（\gamma）w，\]其中，在C^\infty（\mathbb{T}，\mathbb{R}^m）中为\（w\）。最典型的是使用标准的（L^2）内积定义的（L~2）梯度：\[G（u，v）=\int_{mathbb{T}}\langleu（x），v（x）\rangle|\gamma^\prime（x）|\，dx。\]Z.-X.何[《普通应用数学》第53卷，第4期，399–431页（2000年；Zbl 1042.53043号)]证明了（L^2）-梯度是一个三阶伪微分算子，主项为模常数乘法。有关包含低阶项的显式表达式，请参见石泽一郎和T.长泽【数学年鉴363，第1-2期，617-635（2015；Zbl 1330.53005号)].本文作者研究了具有其他内积的G梯度，并展示了它的几个优点。首先，他们解释了使用内积的方法\[G（u，v）=\int_{\mathbb{T}}（-\Delta）^{3/4}\langleu（x），（-\Delta）^}3/4}v（x）\rangle|\gamma^\prime（x）|\，dx\]作为一个好的。那么，它至少在形式上认为\[\左。\mathrm{grad}（\mathcal{E}）\right|_\gamma=（-\Delta）^{-3/2}D\mathcal{E}（\gamma）。\]由于He[loc.cit.]，这是一个阶的伪微分算子。因此，梯度流是（gamma）所属的Banach空间上的一个常微分方程。事实上，作者选择了（W^{3/2，2}）-Galgliardo内积为（G），并将（G）-梯度称为Sobolev梯度 主要结果是，上面的Sobolev梯度是配置空间上定义良好的局部Lipschitz连续向量场。这就产生了梯度流的局部适定性。第二个优点是，由于梯度流是一个常微分方程，因此离散化不需要Courant-Freedrichs-Lewy条件。此外，还得到了约束条件（投影梯度）下的相应结果。虽然讨论并不简明扼要，但作者在每一节的开头都提出了详细的策略。请注意，他们引用所有引理、命题和定理作为定理（例如，他们引用引理4.2作为定理4.2).审核人：长泽武辅（斋玉） 引用于6文件 MSC公司： 49J50型 最优化中的Fréchet和Gateaux可微性 58C20美元 流形上的微分理论（Gateaux，Fréchet等） 58J40型 流形上的伪微分算子和傅里叶积分算子 关键词：莫比乌斯能源;Sobolev梯度;梯度流;离散能量 引文：Zbl 1042.53043号;Zbl 1330.53005号 软件：节点图 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Reiter}和\textit{H.Schumacher}，Arch。定额。机械。分析。242，编号2，701--746（2021；Zbl 1486.49020） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] 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