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Beli，Constantin N。;弗洛林·斯坦;亚历山大·扎哈里斯库

分圆Loxton-Kedlaya秩的有效界。 （英语） Zbl 1456.11208号

格拉斯。数学。J。 60，第1期，97-110（2018）.
对于正整数（m），（m）-Weil数是一个代数整数，其所有共轭项都具有绝对值（sqrt{m}）。让\（H_m\）表示元素集\（x=x_1^{e1}x2^{e2}\cdots x_n^{e_n}\），其中\（x_1，\ldots，x_n\）是\（\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}\）中的\（m\）-Weil数，\（\mathbb{Q}\）的最大阿贝尔扩张和整数指数\（e_1，\ldot，e_n\）满足\（e1+\cdots+e_n=0\）。让\（mu_\infty）表示\（mathbb{Q}^{mathrm{ab}}\）中单位的所有根的组。商群不含有限秩，称为Loxton-Kedlaya秩F.斯坦和A.扎哈里斯库【Trans.Am.Math.Soc.367，No.6，4359–4376（2015；Zbl 1322.11109号)]. 本文的主要结果是（rm）的一个显式但非常大的界，其大小约为（2^{2^{2_{2m+2}}}）。
对于代数数\（alpha\），定义\（A（alpha）=（1/n）\sum_{i=1}^n|\alpha_i|^2\），其中\（n）是\（alpha\）的次数，\（\alpha_1，\ldots，\alpha_n\）是它的共轭数。分圆整数是单位根的和；将其长度\（\ell（\alpha）\）定义为最小数\（\ell\），使得\（\alpha\）可以写成单位的\（\ell\）根的和。对于任何正整数（n），都有一个整数（kN），使得带有（A（alpha）len/2）的（mathbb{Q}^{mathrm{ab}}）中的任何整数都有（ell（alpha）lekN）；可以取\（kn=n！2^{pi（n^2+n-2）}\），其中\（pi（x）\）表示小于或等于\（x）的素数。证明是基于分圆扩张作为扩张塔的结构进行归纳的。
主要结果的证明使用了两个组合引理。从[Stan和Zaherescu，loc.cit.]来看，如果（k\ge4）是一个整数，（p>6^{k/2}）是素数，并且（a_1，\ldots，a_k）是（\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}）的不同元素，那么至少一个差异（a_i-a_j（1\lei\nej\lek）只出现一次。另一个成分是Kedlaya未发表手稿的结果的一个（p）元扩展（参见[Stan和Zaharescu，loc.cit.]）：如果（a_1，\ldots，a_n）是在\（\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\）中互不相同的整数，那么\[\max_｛i，j｝\min_｛（k，l）\ne（i，j）｝|（a_i-auj）-（a_k-aul）|_p\ge 6^｛-（n-1）/2｝文中给出的证明是一个巧妙的线性代数。
这些准备工作允许构造一个有限集（T_m），该集由分圆（m）-Weil数和（|T_m|\）上的显式界（m）组成，使得（T_m\mu_infty）是所有分圆（m\）-Weir数的集。假设\（β\）是\（mathbb{Q}（zeta_Q）\）中的分圆\（m \）-Weil数，其中\（泽塔_Q）表示单位的本原\（Q \）th根。对于最简单的情况，假设\（p\）是一个素数，\（p\nmid q \）。写入\（beta=a_1\zeta_p^{j_1}+\ldots+a_k\zeta_p^{j_k}\）其中\（0\le j_1<\cdots<j_k\le p-1\）和\（a_j\in\mathbb{Z}[\zeta_{q/p}]\）为非零，可以显示\（k\le 2m\）。如果（p>6^m），则存在一对，即（j_1，j_2），因此差异（j_1-j_2）只出现一次。展开\（m=\beta\上划线{\beta}=（a_1\zeta_p^{j_1}+\ldots+a_k\zeta_p^{j_k}）。这个矛盾给出了界限。类似的参数适用于案例\（p^2\mid-q\）。使用Kedlaya引理和一个类似但更复杂的参数可以得到指数\（r）的\（m）的界，其中\（p^r\nmid q）。把这些碎片放在一起就得到了\（|T_m|\）的界限。
审核人：约翰·洛克斯顿（格林威治）

引用于1文件

MSC公司：

11兰特 分圆扩展
2006年11月 PV数和概括；其他特殊代数数；马勒测量

关键词：

威尔数;单位根之和

引文：

Zbl 1322.11109号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.N.Beli}等人，Glasg。数学。J.60，第1号，97--110（2018；Zbl 1456.11208）
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参考文献：

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