兰世伟;李树毅;巴巴克·沙巴巴 使用深度神经网络对反问题进行贝叶斯不确定性量化。 （英语） Zbl 1514.62009年 SIAM/ASA J.不确定性。数量。 10, 1684-1713 (2022). 摘要：由于不确定性量化（UQ）的重要性，贝叶斯反问题方法最近在应用数学、物理和工程中得到了普及。然而，基于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）的传统贝叶斯推理方法对于这种高维问题，往往需要大量计算且效率低下。为了解决这个问题，已经提出了几种基于代理模型的方法来加快推理过程。更具体地说，校准模拟采样（CES）方案已被证明在大维UQ问题中是成功的。在这项工作中，我们提出了一种新的基于仿真阶段的深度神经网络模型的贝叶斯推理CES方法。由此产生的算法计算效率更高，对训练集中的变化更具鲁棒性。此外，通过使用自动编码器（AE）进行降维，我们能够将贝叶斯推理方法的速度提高到三个数量级。总的来说，我们的方法此后称为降维仿真自动编码器蒙特卡罗（DREAMC）算法能够将贝叶斯UQ缩放到数千维以用于反问题。利用两个低维（线性和非线性）反问题，我们证明了该方法的有效性。接下来，我们将我们的方法应用于两个高维数值示例（椭圆和对流扩散），以证明其相对于现有算法的计算优势。 引用于2文件 MSC公司： 62-08 统计问题的计算方法 65亿75 涉及偏微分方程的初值和初边值问题的概率方法、粒子方法等 68T07型 人工神经网络与深度学习 关键词：贝叶斯反问题;集合卡尔曼方法;仿真;卷积神经网络;尺寸缩减;自动编码器 软件：hIPPYlib基因;网格CNN;AlexNet公司;达奇;ImageNet公司;合卡尔曼滤波 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Lan}等人，SIAM/ASA J.不确定性。数量。101684-1713（2022年；Zbl 1514.62009年） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Aanonsen，S.I.、Naevdal，G.、Oliver，D.S.、Reynolds，A.C.和Valles，B.，《水库工程中的集合卡尔曼滤波器——综述》，Soc.Pet。工程，14（2009），SPE-117274-PA。 [2] Barron，A.R.，《神经网络近似》，耶鲁大学自适应和学习系统第七届耶鲁研讨会，康涅狄格州纽黑文，1992年。 [3] Bengio，Y.，《学习人工智能的深层架构》，Found。趋势马赫数。学习。，2（2009），第1-127页，doi:10.1561/2200000006·Zbl 1192.68503号 [4] Beskos，A.，高维稳定流形MCMC方法，Stat.Probab。莱特。，90（2014年），第46-52页·Zbl 1296.60194号 [5] Beskos，A.、Girolma，M.、Lan，S.、Farrell，P.E.和Stuart，A.M.，《无限维反问题的几何MCMC》，J.Compute。物理。，335（2017），第327-351页，doi:10.1016/j.jcp.2016.12.041·Zbl 1375.35627号 [6] Beskos，A.、Pinski，F.J.、Sanz-Serna，J.M.和Stuart，A.M.，《希尔伯特空间上的混合蒙特卡罗，随机过程》。申请。，121（2011），第2201-2230页·Zbl 1235.60091号 [7] Beskos，A.、Roberts，G.和Stuart，A.，《地方大都市的最优规模——高维度非产品目标上的哈斯廷斯链》，Ann.Appl。可能性。，19（2009），第863-898页，doi:10.1214/08-aap563·Zbl 1172.60328号 [8] Beskos，A.、Roberts，G.、Stuart，A.和Voss，J.，扩散桥MCMC方法，斯托克。动态。，8（2008），第319-350页·Zbl 1159.65007号 [9] Bottou，L.，在线学习和随机近似，摘自《神经网络在线学习》，剑桥大学出版社，英国剑桥，1999年，第9-42页，doi:10.1017/cbo9780511569920.003。 [10] Bottou，L.和Cun，Y.，《大规模在线学习，神经信息处理系统进展》，第16卷，Thrun，S.，Saul，L.K.，Schölkopf，B.，eds.，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，2004年，https://proceedings.neurips.cc/paper/2003/file/9fb7b048c96d44a0337f049e0a61ff06-paper.pdf。 [11] Chada，N.K.、Stuart，A.M.和Tong，X.T.《集成卡尔曼反演中的Tikhonov正则化》，预印本，arXiv:1901.103822019年。 [12] Chen，Y.和Oliver，D.S.，作为迭代集成平滑器的集成随机最大似然方法，数学。地质科学。，44（2011），第1-26页，doi:10.1007/s11004-011-9376-z。 [13] Chicco，D.、Sadowski，P.和Baldi，P.，用于基因本体注释预测的深度自动编码器神经网络，载于《第五届美国医学会生物信息学、计算生物学和健康信息学会议论文集》，美国医学会，纽约，2014年，doi:10.1145/2649387.2649442。 [14] Cirešan，D.，Meier，U.，Masci，J.和Schmidhuber，J.，交通标志分类的多列深层神经网络，神经网络。，32（2012），第333-338页，doi:10.1016/j.neunet.2012.02.23。 [15] Cleary，E.、Garbuno Inigo，A.、Lan，S.、Schneider，T.和Stuart，A.M.，校准、模拟、样品、预印本，arXiv:2001.036892020。 [16] Constantine，P.、Kent，C.和Bui-Thanh，T.，《利用有源子空间加速马尔可夫链蒙特卡罗》，SIAM J.Sci。计算。，38（2016），第A2779-A2805页，doi:10.1137/15M1042127·Zbl 1348.65010号 [17] Cotter，S.L.、Roberts，G.O.、Stuart，A.和White，D.，《函数的MCMC方法：修改旧算法使其更快》，《统计科学》。，28（2013），第424-446页·Zbl 1331.62132号 [18] Cressie，N.和Wikle，C.，《时空数据统计》，新泽西州霍博肯威利，2011年，https://books.google.com/books？id=-kOC6D0DiNYC公司·Zbl 1273.62017年 [19] Cui，T.、Law，J.和Marzouk，Y.M.，《与维度无关的信息》，MCMC，J.Compute。物理。，304（2016），第109-137页·Zbl 1349.65009号 [20] Cybenko，G.，通过sigmoid函数的叠加进行逼近，数学。控制信号系统。，2（1989），第303-314页，doi:10.1007/bf02551274·Zbl 0679.94019号 [21] Dashti，M.和Stuart，A.M.，《逆向问题的贝叶斯方法》，载于《不确定性量化手册》第1卷，第2卷，Springer，Cham，2017年，第311-428页，doi:10.1007/978-319-12385-1_7。 [22] de Wiljes，J.、Reich，S.和Stannat，W.，针对完全观测过程和小测量噪声的集合Kalman-Bucy滤波器的长期稳定性和准确性，SIAM J.Appl。动态。系统。，17（2018），第1152-1181页，doi:10.1137/17M1119056·Zbl 1391.93265号 [23] Emerick，A.A.和Reynolds，A.C.，《基于集合方法的简单水库模型采样性能研究》，计算。地质科学。，17（2013），第325-350页，doi:10.1007/s10596-012-9333-z·Zbl 1382.86018号 [24] Evensen，G.，《使用蒙特卡罗方法预测误差统计的非线性准营养模型的序贯数据同化》，J.Geophys。Res.，99（1994），第10143页，doi:10.1029/94jc00572。 [25] Evensen，G.，《集合卡尔曼滤波器：理论公式和实际实现》，海洋动力学。，53（2003），第343-367页，doi:10.1007/s10236-003-0036-9。 [26] Evensen，G.，《数据同化：集合卡尔曼滤波器》，第二版，施普林格-弗拉格出版社，柏林，海德堡，2009年。 [27] Evensen，G.，求解逆问题的迭代集合平滑器分析，计算。地质科学。，22（2018），第885-908页，doi:10.1007/s10596-018-9731-y·Zbl 1405.86018号 [28] Evensen，G.和van Leeuwen，P.J.，使用集合卡尔曼滤波器和准地转模型对Agulhas洋流的地卫星高度计数据进行同化，周一。《天气评论》，124（1996），第85-96页，doi:10.1175/1520-0493（1996）124<0085:aogadf>2.0.co；2 [29] Fukushima，K.，Neocognitron：不受位置变化影响的模式识别机制的自组织神经网络模型，Biol。网络。，36（1980），第193-202页，doi:10.1007/BF00344251·Zbl 0419.92009号 [30] Garbuno-Inigo，A.、Hoffmann，F.、Li，W.和Stuart，A.M.，《相互作用的朗之万扩散：梯度结构和集合卡尔曼采样器》，SIAM J.Appl。动态。系统。，19（2020年），第412-441页，doi:10.1137/19M1251655·Zbl 1447.65119号 [31] Garbuno-Inigo，A.、Nüsken，N.和Reich，S.，贝叶斯推理的仿射不变交互Langevin动力学，SIAM J.Appl。动态。系统。，19（2020），第1633-1658页，doi:10.1137/19m1304891·Zbl 1472.65118号 [32] Gers，F.和Schmidhuber，E.，LSTM递归网络学习简单的无上下文和上下文敏感语言，IEEE Trans。神经网络。，12（2001），第1333-1340页，doi:10.1109/72.9963769。 [33] Goodfellow，I.、Bengio，Y.和Courville，A.，《深度学习》，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，2016年，http://www.deeplearningbook.org。 ·兹比尔1373.68009 [34] Graves，A.、Eck，D.、Beringer，N.和Schmidhuber，J.，《使用LSTM神经网络进行生物似是而非的语音识别》，收录于《高级信息技术的生物启发方法》，施普林格，柏林，海德堡，2004年，第127-136页，doi:10.1007/978-3-540-27835-1-10。 [35] Guo，X.，Liu，X.、Zhu，E.和Yin，J.，用卷积自动编码器进行深度聚类，收录于《神经信息处理2017》，Springer，Cham，2017年，第373-382页，doi:10.1007/978-319-70096-0-39。 [36] Hanocka，R.、Hertz，A.、Fish，N.、Giryes，R.、Fleishman，S.和Cohen Or，D.，MeshCNN:一个有优势的网络，ACM Trans。Graphics，38（2019），90，doi:10.1145/3306346.3322959。 [37] Hensman，J.、Matthews，A.和Ghahramani，Z，《可缩放变分高斯过程分类》，载于《第十八届国际人工智能与统计会议论文集》（加利福尼亚州圣地亚哥），黎巴嫩，G.和Vishwanathan，S.V.N.编辑，PMLR，2015年，第351-360页，https://proceedings.mlr.press/v38/hensman15.html。 [38] Higdon，D.、Kennedy，M.、Cavendish，J.C.、Cafeo，J.A.和Ryne，R.D.，结合现场数据和计算机模拟进行校准和预测，SIAM J.Sci。计算。，26（2004），第448-466页，doi:10.1137/S1064827503426693·兹比尔1072.62018 [39] Hinton，G.和Salakhutdinov，R.，《用神经网络降低数据的维数》，《科学》，313（2006），第504-507页·Zbl 1226.68083号 [40] Hinton，G.E.、Osindero，S.和Teh，Y.-W.，深度信念网络的快速学习算法，神经计算。，18（2006），第1527-1554页，doi:10.1162/neco.2006.18.7.1527·Zbl 1106.68094号 [41] Hochreiter，S.和Schmidhuber，J.，长短期记忆，神经计算。，9（1997），第1735-1780页，doi:10.1162/neco.1997.9.8.1735。 [42] Houtekamer，P.L.和Mitchell，H.L.，用于大气数据同化的序贯集合卡尔曼滤波器，孟买。《天气评论》，129（2001），第123-137页，doi:10.1175/1520-0493（2001）129<0123:ASEKFF>2.0.CO；2 [43] Houtekamer，P.L.和Zhang，F.，用于大气数据同化的集合卡尔曼滤波器综述，周一。《天气评论》，144（2016），第4489-4532页，doi:10.1175/MWR-D-15-0440.1。 [44] Iglesias，M.A.，PDE约束反问题的正则化迭代集合Kalman方法，反问题。，32（2016），025002，doi:10.1088/0266-5611/32/2/025002·Zbl 1334.65110号 [45] Iglesias，M.A.，Law，K.J.H.和Stuart，A.M.，反问题的集合卡尔曼方法，反问题。，29（2013），045001，doi:10.1088/0266-5611/29/4/045001·Zbl 1311.65064号 [46] Jin，K.H.、McCann，M.T.、Froustey，E.和Unser，M.，成像逆问题的深度卷积神经网络，IEEE Trans。图像处理。，26（2017），第4509-4522页，doi:10.10109/TIP.2017.21713099·Zbl 1409.94275号 [47] Jurek，M.和Katzfush，M.，《海量时空数据的多分辨率过滤器》，J.Compute。图表。Stat.，30（2021），第1095-1110页，doi:10.1080/10618600.2021.1886938·Zbl 07499939号 [48] Kalman，R.E.，《线性滤波和预测问题的新方法》，《基础工程杂志》，82（1960），第35-45页，doi:10.1115/1.3662552。 [49] Kalnay，E.，《大气建模、数据同化和可预测性》，剑桥大学出版社，英国剑桥，2002年，doi:10.1017/cbo9780511802270。 [50] Katzfush，M.、Stroud，J.R.和Wikle，C.K.，高维分层动态时空模型的集成卡尔曼方法，J.Amer。统计师。协会，115（2020），第866-885页，doi:10.1080/01621459.2019.1592753·Zbl 1445.62246号 [51] Kennedy，M.C.和O'Hagan，A.，《计算机模型的贝叶斯校准》，J.R.Stat.Soc.Ser。B统计方法。，63（2001年），第425-464页·Zbl 1007.62021号 [52] Kingma，D.P.和Welling，M..自动编码变分贝叶斯，载于第二届学习表征国际会议论文集，ICLR 2014，Banff，AB，加拿大，2014。 [53] Kingma，D.P.和Welling，M.，《可变自动编码器简介》，Found。趋势马赫数。学习。，12（2019），第307-392页，doi:10.1561/220000056·Zbl 1431.68002号 [54] Law，K.、Stuart，A.和Zygalakis，K.，《数据同化：数学导论》，Springer International Publishing，Cham，2015年·兹比尔1353.60002 [55] Krizhevsky，A.、Sutskever，I.和Hinton，G.E.，《深度卷积神经网络的Imagenet分类》，摘自《神经信息处理系统进展》25，Pereira，F.、Burges，C.J.、Bottou，L.、Weinberger，K.Q.编辑，Curran Associates，Red Hook，NY，2012年，第1097-1105页，https://proceedings.neurips.cc/paper/2012/file/c399862d3b9d6b76c8436e924a68c45b-paper.pdf。 [56] Lan，S.，《加速无限维几何马尔可夫链蒙特卡罗的自适应降维》，J.Compute。物理。，392（2019），第71-95页，doi:10.1016/j.jcp.2019.04.043·Zbl 1452.65007号 [57] Lan，S.，Bui-Thanh，T.，Christie，M.和Girolma，M.，贝叶斯反问题流形蒙特卡罗方法中高阶张量的仿真，J.Compute。物理。，308（2016），第81-101页·Zbl 1352.65010号 [58] Lan，S.、Stathopoulos，V.、Shahbaba，B.和Girolma，M.，《拉格朗日动力学的马尔可夫链蒙特卡罗》，J.Compute。图表。《统计》，24（2015），第357-378页。 [59] Lan，S.，Zhou，B.和Shahbaba，B.，约束目标分布的球面哈密顿蒙特卡罗，第31届机器学习国际会议论文集，中国北京，2014年，第629-637页。 [60] Law，K.，《加快功能空间MCMC的提案》，J.Compute。申请。数学。，262（2014），第127-138页·Zbl 1301.65004号 [61] LeCun，Y.、Bengio，Y.和Hinton，G.，《深度学习》，《自然》，521（2015），第436-444页，doi:10.1038/nature14539。 [62] LeCun，Y.、Boser，B.、Denker，J.S.、Henderson，D.、Howard，R.E.、Hubbard，W.和Jackel，L.D.，应用于手写邮政编码识别的反向传播，神经计算。，1（1989），第541-551页，doi:10.1162/neco.1989.1.4.541。 [63] Lee，J.、Sohl-dickstein，J.和Pennington，J.，Novak，R.、Schoenholz，S.和Bahri，Y.，《作为高斯过程的深层神经网络》，《2018年国际学习代表大会论文集》，https://openreview.net/forum？id=B1EA-M-0Z。 [64] Lu，Z.，Pu，H.，Wang，F.，Hu，Z.and Wang，L.，《神经网络的表达能力：从宽度看》，摘自《神经信息处理系统的进展》30，Guyon，I.，Von Luxburg，U.，Bengio，S.，Wallach，H.、Fergus，R.，Vishwanathan，S.、Garnett，R.编辑，Curran Associates，Red Hook，NY，2017年，第6231-6239页，https://proceedings.neurips.cc/paper/2017/file/32cbf687880eb1674a07bf717761dd3a-paper.pdf。 [65] McCann，M.T.、Jin，K.H.和Unser，M.，成像逆问题的卷积神经网络：综述，IEEE信号处理。Mag.，34（2017），第85-95页，doi:10.10109/MSP.2017.2739299。 [66] Mesnil，G.、Dauphin，Y.、Yao，K.、Bengio，Y.，Deng，L.、Hakkani-Tur，D.、He，X.、Heck，L.，Tur，G.，Yu，D.和Zweig，G.《使用递归神经网络填充口语理解的时隙》，IEEE/ACM Trans。语音语言处理。，23（2015），第530-539页，doi:10.1109/TASLP.2014.2338614。 [67] Nalisnick，E.T.，《贝叶斯神经网络先验》，博士论文。加州大学埃尔文分校，2018年。 [68] Neal，R.M.，神经网络的贝叶斯学习，Springer，纽约，1996，doi:10.1007/978-1-4612-0745-0·Zbl 0888.62021号 [69] Neal，R.M.，MCMC使用哈密顿动力学，摘自《马尔可夫链蒙特卡罗手册》，Brooks，S.，Gelman，A.，Jones，G.L.，Meng，X-L.，eds.，Chapman&Hall/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2010年。 [70] Oakley，J.和O'Hagan，A.，计算机模型输出不确定性分布的贝叶斯推断，Biometrika，89（2002），第769-784页，doi:10.1093/biomet/89.4.769。 [71] Oakley，J.E.和O'Hagan，A.，《复杂模型的概率敏感性分析：贝叶斯方法》，J.R.Stat.Soc.Ser。B统计方法。，66（2004），第751-769页，doi:10.1111/j.1467-9686.2004.05304.x·Zbl 1046.62027号 [72] O'Hagan，A.，《计算机代码输出的贝叶斯分析：教程》，Reliab。工程系统。安全。，91（2006），第1290-1300页，doi:10.1016/j.ress.2005.11.025。 [73] Oliver，D.S.、Reynolds，A.C.和Liu，N.，《油藏描述和历史拟合的反演理论》，剑桥大学出版社，英国剑桥，2008年，doi:10.1017/cbo9780511535642。 [74] Opper，M.和Archambeau，C.，重新审视变分高斯近似，神经计算。，21（2009），第786-792页，doi:10.1162/neco.2008.08-07-592·Zbl 1178.68450号 [75] Petra，N.和Stadler，G.，偏微分方程控制的模型变分反问题，技术报告，德克萨斯州奥斯汀市德克萨斯大学计算工程与科学研究所，2011年。 [76] Pinkus，A.，神经网络中MLP模型的近似理论，《数值学报》。，8（1999），第143-195页，doi:10.1017/s0962492900002919·Zbl 0959.68109号 [77] Ribeiro，M.、Lazzaretti，A.E.和Lopes，H.S.，视频中异常检测的深度卷积自动编码器研究，模式识别。莱特。，105（2018），第13-22页，doi:10.1016/j.patrec.2017.07.016。 [78] Roberts，G.O.，Gelman，A.和Gilks，W.R.，《随机游走都市算法的弱收敛性和最优缩放》，《Ann.Appl》。可能性。，7（1997），第110-120页·Zbl 0876.60015号 [79] Roberts，G.O.和Rosenthal，J.S.，《Langevin扩散离散近似的最佳缩放》，J.R.Stat.Soc.Ser。B统计方法。，60（1998），第255-268页，doi:10.1111/1467-9868.00123·Zbl 0913.60060号 [80] Rumelhart，D.E.、Hinton，G.E.和Williams，R.J.，《通过反向传播错误学习表征》，《自然》，323（1986），第533-536页，doi:10.1038/323533a0·Zbl 1369.68284号 [81] Sacks，J.、Welch，W.J.、Mitchell，T.J.和Wynn，H.P.，《计算机实验的设计与分析》，《统计科学》。，4（1989），第409-423页，doi:10.1214/ss/1177012413。 [82] Santner，T.J.、Williams，B.J.和Notz，W.，《计算机实验的设计与分析》，Springer，纽约，2003年·Zbl 1041.62068号 [83] Schillings，C.和Stuart，A.M.，《反问题的集合卡尔曼滤波器分析》，SIAM J.Numer。分析。，55（2017），第1264-1290页，doi:10.1137/16M105959X·Zbl 1366.65101号 [84] Schillings，C.和Stuart，A.M.，《集合卡尔曼反演的收敛分析：线性、噪声情况》，应用。分析。，97（2017），第107-123页，doi:10.1080/00036811.2017.1386784·兹比尔1448.65209 [85] Schmidhuber，J.，《神经网络中的深度学习：概述》，神经网络。，61（2015），第85-117页，doi:10.1016/j.neunet.2014.09.003。 [86] Senior，A.W.、Evans，R.、Jumper，J.、Kirkpatrick，J.，Sifre，L.、Green，T.、Qin，C.、Zhiídek，A.、Nelson，A.W.R.、Bridgeland，A.、Penedones，H.、Petersen，S.、Simonyan，K.、Crossan，S.，Kohli，P.、Jones，D.T.、Silver，D.、Kavukcuoglu，K.and Hassabis，D.，《利用深度学习潜能改进蛋白质结构预测》，《自然》，577（2020），第706-710页，doi:10.1038/s41586-019-1923-7。 [87] Shahbaba，B.、Lomeli，L.M.、Chen，T.和Lan，S.，深度马尔可夫链蒙特卡罗，预印本，arXiv:1910.056922019。 [88] Silver，D.，Huang，A.，Maddison，C.J.，Guez，A.，Sifre，L.，van den Driessche，G.，Schrittwieser，J.，Antonoglou，I.，Panneershelvam，V.，Lanctot，M.，Dieleman，S.，Grewe。，《掌握深度神经网络和树搜索的游戏》，《自然》，529（2016），第484-489页，doi:10.1038/nature16961。 [89] Silver，D.、Schrittwieser，J.、Simonyan，K.、Antonoglou，I.、Huang，A.、Guez，A.、Hubert，T.、Baker，L.、Lai，M.、Bolton，A.、Chen，Y.、Lillicrap，T.，Hui，F.、Sifre，L.，van den Driessche，G.、Graepel，T.和Hassabis，D.，《掌握无人类知识的围棋游戏》，《自然》，550（2017），第354-359页，doi:10.1038/nature24270。 [90] Stephenson，G.，《在计算机模型的统计分析中使用衍生信息》，博士论文，英国南安普敦南安普顿大学，2010年。 [91] Stuart，A.M.，《逆向问题：贝叶斯观点》，《数值学报》。，19（2010年），第451-559页·Zbl 1242.65142号 [92] Verlet，L.，经典流体的计算机“实验”。I.Lennard-Jones分子的热力学性质，Phys。修订版，159（1967），第98-103页。 [93] Villa，U.、Petra，N.和Ghattas，O.，hIPPYlib：PDE控制的大规模反问题的可扩展软件框架；第一部分：确定性反演和线性化贝叶斯推断，预印本，arXiv:1909.039482020。 [94] Wang，F.、Eljarrat，A.、Müller，J.、Henninen，T.R.、Erni，R.和Koch，C.T.，反问题的多分辨率卷积神经网络，科学。众议员，10（2020），5730，doi:10.1038/s41598-020-62484-z。 [95] Wang，Y.和Li，W.，《信息牛顿流：概率空间中的二阶优化方法》，预印本，arXiv:2001.043412020。 [96] 王毅，李伟，加速信息梯度流，科学学报。计算。，90（2022），11，doi:10.1007/s10915-021-01709-3·Zbl 1484.90059号 [97] Welling，M.和Teh，Y.W.，《通过随机梯度Langevin动力学进行贝叶斯学习》，《机器学习国际会议论文集》，华盛顿州贝尔维尤，2011年，第681-688页。 [98] Zammit-Mangion，A.和Wikle，C.K.，时空预测的深度积分-差分方程模型，Spat。《统计》，37（2020），100408，doi:10.1016/j.spasta.2020.100408。 [99] 周德兴，深度卷积神经网络的普遍性，应用。计算。哈蒙。分析。，48（2020），第787-794页，doi:10.1016/j.acha.2019.06.004·Zbl 1434.68531号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。