卡洛斯·霍本;大卫·雅各布斯;特雷维西安，维尔玛 对称矩阵特征值的定位——综述。 （英语） Zbl 07808045号 电子。J.线性代数 40, 81-139 (2024). 本文综述了对称矩阵中新出现的特征值定位问题，即：给定一个实对称矩阵（a）和一个实区间（I），确定（a）在（I）中的特征值个数。对于给定的对称矩阵（a），解决这个问题的一种方法是计算其特征分解\[A=Q^{-1}DQ,\]其中，\（D\）是对角矩阵，其条目是\（A\）的特征值。然而，对于许多类对称矩阵，可以利用矩阵（A）的基本图结构（从A的非对角非零项获得），并使用该图结构设计有效的线性时间算法来解决特征值位置问题。一般过程如下：记住矩阵（a）的惯性是三重的（（n_{+}（a），n_{-}（a），n_0}（甲））。西尔维斯特惯性定律指出，两个实对称矩阵（A）和（B）具有相同的惯性当且仅当它们是同余的，即，如果存在一个可逆矩阵（P），使得^{T} 英国石油公司\). 如果对于实对称矩阵（a）和实数（x），可以有效地找到与（a+x\mathrm{I}）（这里（mathrm}I}是单位矩阵）同余的对角线矩阵（D），则可以从（D）的惯性中很容易地得到（a+x \mathrm{I}\）的惯性，并且特征值位置问题可以很容易地解决。调查的第一部分（第2节和第3节）考虑了稀疏矩阵的情况。在第二节中，给出了一个线性时间算法，当（a）的基本图是树（a的非零项可以是任意的）时，该算法可以找到与实对称矩阵（a）同余的对角矩阵（D）。在第3节中，这被扩展到其基础图具有宽度\（k）的树分解的矩阵。调查的第二部分（第4节和第5节）考虑了密集图的情况。这里，这些结果不再适用于具有适当基础图的任意对称矩阵，而是局限于每个非对角项都位于集合（0，β）中的矩阵（注意，这类矩阵包括许多在谱图理论中研究得很好的矩阵，例如图的邻接、拉普拉斯和无符号拉普拉斯矩阵）。在第四节中，给出了{共图}特征值位置的一个有效算法（共图族的定义是它是不包含路径P_4作为诱导子图的图族）。这里利用的有向图的重要性质是，有两个顶点（u）和（v），它们在图的邻接矩阵中对应的行和列最多可以在两个位置上不同。在第五节中，使用底层图的光滑团分解给出了任意稠密图的算法。调查的第三部分（第6节和第8节）侧重于特征值定位在谱图理论问题中的应用。一个应用是限制图的谱半径的点。本文描述的其他应用包括配图的惯性和光谱表征，以及关于拉普拉斯特征值的Brouwer猜想的一些进展。特征值定位可以在谱图理论中找到进一步的应用。审核人：威廉·林茨（哥伦比亚） MSC公司： 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 47甲11 线性算子的局部谱性质 05元50分 图和线性代数（矩阵、特征值等） 关键词：特征值;对称矩阵;定位特征值;谱图理论;楔形宽度;树宽 软件：计算TW PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Hoppen}等人，《电子》。J.线性代数40，81--139（2024；Zbl 07808045） 全文： DOI程序 参考文献： [1] L.E.Allem和F.Tura。积分齿图。谨慎。申请。数学。，283:153-167, 2020. ·Zbl 1442.05123号 [2] S.Arnborg、D.G.Corneil和A.Proskurowski。在k树中查找嵌入的复杂性。SIAM J.Algebr。谨慎。方法。，8(2):277-284, 1987. ·Zbl 0611.05022号 [3] F.Belardo、M.Brunetti和V.Trevisan。非平衡单圈符号图特征值的定位。申请。数学。计算。，400:126082, 2021. ·Zbl 1508.05102号 [4] F.Belardo、M.Brunetti、V.Trevisan和J.Wang。关于无符号拉普拉斯指数不超过4.5的quipus。J.Algebr。梳。，55(4):1199-1223, 2022. ·Zbl 1489.05090号 [5] F.Belardo、E.R.Oliveira和V.Trevisan。小指数树的谱排序。线性代数应用。，575:250-272, 2019. ·Zbl 1441.05133号 [6] U.Bertelè和F.Brioschi。非串行动态编程。Elsevier，1972年·Zbl 0244.49007号 [7] T.Bıyıkoglu、S.K.Simić和Z.Stanić。关于共图谱的一些注记。阿尔斯·库姆，100:421-4342011年·Zbl 1265.05349号 [8] H.L.Bodlaender先生。一位穿过树宽的导游。网络学报。，11(1-2):1-21, 1993. ·Zbl 0804.68101号 [9] H.L.Bodlaender先生。求小树宽的树分解的线性时间算法。SIAM J.计算。，25(6):1305-1317, 1996. ·Zbl 0864.68074号 [10] H.L.Bodlaender先生。树宽有界的图的部分k-树丛。西奥。计算。科学。，209(1):1-45, 1998. ·Zbl 0912.68148号 [11] H.L.Bodlaender先生。图的树宽。纽约州纽约市施普林格，2016年，2255-2257。 [12] H.L.Bodlaender和A.M.C.A.Koster。有界树宽图的组合优化。计算。J.，51（3）：255-2692008年。 [13] H.L.Bodlaender和A.M.C.A.Koster。树宽计算i.上限。通知。计算。，208(3):259-275, 2010. ·Zbl 1186.68328号 [14] H.L.Bodlaender和A.M.C.A.Koster。树宽计算ii。下限。通知。计算。，209(7):1103-1119, 2011. ·Zbl 1220.68071号 [15] R.O.Braga、R.R.Del-Vecchio、V.M.Rodrigues和V.Trevisan。具有4或5个不同归一化拉普拉斯特征值的树。线性代数应用。，471:615-635, 2015. ·Zbl 1307.05137号 [16] R.O.Braga和V.M.Rodrigues。树的扰动拉普拉斯矩阵的特征值定位。TEMA（圣卡洛斯）巴西Soc.Appl。数学。公司。，18(3):479-491, 2017. 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