罗德·唐尼;诺姆·格林伯格;埃伦·哈马特 可计算枚举度的层次结构。二： 一些最新发展和新方向。 （英文） Zbl 07402067号 N.Z.J.数学。 52, 175-231 (2021). 摘要：在可计算性理论中，使用c.e.集的图灵度超限层次来校准结构族的动力学，并得到自然可定义的结果。我们回顾了该区域的主要结果，并讨论了c.e.度的分裂，以及在上锥中找到最大度。 MSC公司： 03年XX月 数学逻辑和基础 2016年XX月 结合环与代数 关键词：不溶性程度;可还原性;层次结构 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Downey}等人，N.Z.J.数学。52、175--231（2021；Zbl 07402067） 全文： 内政部 OA许可证 参考文献： [1] 有界。现在假设p是µ的锚，是η的女儿，而p“acs pµq是无限多个阶段的锚。现在根据引理7.12，只有有限多的追随者被指定，而p是锚。设q为指定的最后一个跟随者，设t为指定的阶段q。然后，如果∆θpA，W，pqrss在第sąt阶段定义，则其用途定义为θs pqq。θs pqq有界使用，因为θpA，Wq是总和。因此，∆θpA，W，pq对所有p都有一定的用途；因此，∆θpA，W q为总和。 [2] 引理7.31。设τ为满足要求PΨ的节点。如果ΨpA，W，Qq是总的，τ在真路径上，那么ΓΨpA.，Wq是总。 [3] 证明。由于ΨpA、W、Qq是总的，因此存在无穷多的τ-膨胀阶段。在每个τ-膨胀阶段，我们定义了ΓΨpA，W q的一个较长的初始段，因此lim-sup s domΓψp a，W，qrss趋于无穷大。如果z最终不是τ的任何子项的任何x的跟踪器，那么ΓΨpA，W，zq定义为使用0，因此此类z的使用是有界的。现在考虑z，它是无穷多个阶段中τρ的某个子元素x的跟踪器。假设有一个阶段t，对于所有sąt，pρ，xq在阶段s不受攻击。在阶段sਲ਼t定义的计算ΓΨpA，W，zq是使用ψρs pI s pρ、xqq定义的。由于z从未被取消，ρ的初始化次数有限，因此根据引理7.11，区间Ipxq必须稳定。 [4] ΨpA，W，Qq是总的，因此对每个x 1 P Ipxq使用ψs px 1 q是有界的；因此ΓΨpA，W，zq的使用对于这样的z是有界的。所以现在考虑不存在这样的阶段t，那么根据引理7.16，一定存在一些从未完成的攻击。在攻击过程中，在每个ρ-展开阶段将一个数枚举到a中，然后根据引理7.17，存在有限多个ρ-膨胀阶段。所以让t是最后一个ρ-展开阶段。现在pro s pρ，xq仅在pρ、xq枚举A之后重新定义，但在阶段t之后没有ρ-展开阶段；因此，对于所有的s，rāt，pro s pρ，xq“pro r pρ，xq。现在，对于pρ，xq p pro s pρ。那么pρ，xq的跟踪器只在有限的频率下变化；设ẑ为最后一个跟踪器。ρˆ8也可以无限频繁地访问；因此，对于所有pρ、xq p pro s pρ，xq，ΓρpA，Wq是ω2-c.a.，因此计算Γρ的pρa，W，tr s pπ，xqq经常发生有限的变化。对于每个pρ，xq p pro s pρ、xq、ẑ是最后一个跟踪器，sox是永远不会被腐蚀的，而\7825'是跟踪器。然后，由于某些protectedx有限频繁地未被破坏，因此使用量被定义为较大。因此，存在一个阶段r，在每个阶段sąr中，我们定义计算ΓΨpA，W，zqrss，我们使用γr pzq定义它。因此，对于所有z，ΓΨpA，W，zq的使用是有界的，因此ΓψpA和Wq是总的。 [5] 备注7.32。如果真路径上没有满足需求PΨ的节点，那么在真路径上有一些节点α满足需求Pψ或R∈，这样α的每个子节点都被分配到了真路径上的一个节点。回想一下，我们说父母在女儿的无限结果或儿子的不同结果之下是封闭的。还记得，一旦父节点关闭，我们就不再在树上放置子节点。那么，如果α在真路径上有无限多的子和子，那么α的每个子的有限结果和α的每个儿子的收敛结果都在真路径中。在不损失通用性的情况下，让α成为满足要求PΨ的节点。然后得出ΨpA，W，Qq是总的。然后根据引理7.31，ΓΨpA，Wq是总的。由于α的每个子项的有限结果都在真路径上，ΓΨpA，Wq不是ω2-c.a。；则A'W不完全是ω2-c.A.参考 [6] 巴哈勒·阿夫沙里（Bahareh Afshari）、乔治·巴姆帕利亚斯（George Barmpalias）、巴里·库珀（S.Barry Cooper）和弗兰克·斯蒂芬（Frank Stephan）。Post针对Ershov层级的计划。逻辑计算杂志。，17(6):1025-1040, 2007. ·Zbl 1136.03028号 [7] 克劳斯·安博斯·斯皮斯（Klaus Ambos-Spies）、罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和马丁·莫纳斯（Martin Monath）。关于sacks分裂定理和近似计算。正在准备中。 [8] 克劳斯·安布罗斯·斯皮斯（Klaus Ambos-Spies）、南芳（Nan Fang）、纳丁·洛赛特（Nadine Losert）、沃尔夫冈·默克尔（Wolfgang Merkle）和马丁·莫纳斯（Martin Monath）。阵列不可竞争性：模块化方法。正在准备中。 [9] 克劳斯·安布罗斯·斯皮斯（Klaus Ambos-Spies）、卡尔·G·乔库什（Carl G.Jockusch，Jr.）、理查德·肖尔（Richard A.Shore）和罗伯特·索尔（Robert I.Soare）。递归可枚举度的代数分解以及几个度类与即时简单度的重合。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，281（1）：109-1281984年·Zbl 0539.03020号 [10] 克劳斯·安布罗斯·斯皮斯和纳丁·洛塞特。普遍数组不可竞争集。正在准备中。 [11] 凯瑟琳·亚瑟。α-c.a.度的最大值。2016年，威灵顿维多利亚大学硕士论文。 [12] 凯瑟琳·阿瑟（Katherine Arthur）、罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）、诺姆·格林伯格（Noam Greenberg）和丹尼尔·特雷茨基（Daniel Turetsky）。最大值在整个α-c.a度中的分布。提交。 [13] 乔治·巴姆帕利亚斯（George Barmpalias）。弱真值表度中的超简单性和半可计算性。架构（architecture）。数学。逻辑，44（8）：1045-10652005·Zbl 1077.03026号 [14] 乔治·巴姆帕利亚斯（George Barmpalias）、罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和诺姆·格林伯格（Noam Greenberg）。使用完全ω-ce.以上的强可约性和数组可计算度。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，362（2）：777-8132010年·Zbl 1192.03014号 [15] 马克·比克福德和克里斯·米尔斯。r.e.集的低阶性质。手稿，华盛顿大学麦迪逊分校，1982年。 [16] Paul Brodhead、Rod Downey和Keng Meng Ng。有界随机性。《计算、物理及其他》，《计算讲义》第7160卷。科学。，第59-70页。施普林格，海德堡，2012年·Zbl 1353.03045号 [17] 约翰·奇肖姆（John Chisholm）、詹妮弗·查伯（Jennifer Chubb）、瓦伦蒂娜·哈利桑诺夫（Valentina S.Harizanov）、丹尼斯·赫施费尔特（Denis R.Hirschfeldt）、小卡尔·G·约库什（Carl G.Jockusch，Jr.）、蒂莫西·。∏0 1类与强度谱的关系。符号逻辑杂志，72（3）：1003-10182007·Zbl 1123.03025号 [18] P.Cholak、R.Downey、L.Fortnow、E.Gasarch、W.Kinber、M.Kummer、S.Kurtz和T.Slaman。可推断程度。《计算学习理论会议》，第180-192页，1992年。 [19] 彼得·乔拉克（Peter Cholak）、罗德尼·唐尼（Rodney Downey）和迈克尔·斯托布（Michael Stob）。递归可枚举集的lat-time的自同构：快速简单集。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，332:555-5701992年·Zbl 0769.03024号 [20] 彼得·乔拉克（Peter Cholak）、罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和斯蒂芬·沃克（Stephen Walk）。最大连续度数。符号逻辑杂志，67（1）：409-4372002·Zbl 1007.03041号 [21] G.Downey、Rodgey和Noam Greenberg。可计算的工程图灵度的层次结构。牛市。符号。日志。，24:53-89, 2018. ·Zbl 1522.03155号 [22] 罗德尼·唐尼和理查德·肖。低2递归可枚举集的度理论定义。符号逻辑期刊，60:727-7561995·Zbl 0841.03024号 [23] 罗德尼·G·唐尼。关于btt-degrees的注释。都灵理工大学Rendiconti Matematico Seminario Dell’Universita e Del Politecnico di Torino，58:449-4562000·Zbl 1176.03018号 [24] 罗德尼·G·唐尼。一些可计算性——实数和随机性的理论方面。在《圣母院讲座》中，《逻辑课堂笔记》，第97-146页。符号逻辑协会，2005年·Zbl 1075.03020号 [25] 罗德尼·G·唐尼和小卡尔·乔库什。t度、跳跃类和强可约性。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，301:103-1361987年·Zbl 0638.03039号 [26] 罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和诺姆·格林伯格（Noam Greenberg）。完全ωω可计算可枚举和最高m度。《计算模型的理论与应用》，《计算机课堂讲稿》第3959卷。科学。，第46-60页。施普林格，柏林，2006年·Zbl 1109.03039号 [27] 罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和诺姆·格林伯格（Noam Greenberg），《图灵学位的等级体系》（A Hierarchy of Turing Degrees）。数学研究年鉴。普林斯顿大学出版社，2020年·Zbl 07178475号 [28] 罗德尼·G·唐尼、诺姆·格林伯格和丽贝卡·韦伯。完全ω-可计算的可枚举度和边界临界三元组。数学杂志。日志。，7(2):145-171, 2007. ·Zbl 1149.03032号 [29] 罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和丹尼斯·赫施费尔特（Denis R.Hirschfeldt）。算法的随机性和复杂性。可计算性理论与应用。施普林格，纽约，2010年·Zbl 1221.68005号 [30] Rodney G.Downey、Denis R.Hirschfeldt、AndréNies和Frank Stephan。琐碎的现实。《第七届和第八届亚洲逻辑会议论文集》，第103-131页，新加坡，2003年。新加坡大学出版社·Zbl 1044.03027号 [31] 罗德尼·G·唐尼、小卡尔·G·乔库施和迈克尔·斯托布。数组非递归集和多个允许参数。在《递归理论周》（Oberwolfach，1989）中，数学课堂笔记第1432卷。，第141-173页。柏林施普林格，1990年·Zbl 0713.03020号 [32] 罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）、卡尔·G·乔库什（Carl G.Jockusch，Jr.）和迈克尔·斯托布（Michael Stob）。数组非递归度和泛型。《可计算性、可枚举性、不可解性》，伦敦数学第224卷。Soc.课堂讲稿Ser。，第93-104页。剑桥大学出版社，剑桥，1996年·兹比尔0849.03029 [33] Rodney G.Downey和Steffen Lempp。可枚举图灵度中的连续性和分配性。J.塞姆。逻辑，62（4）：1215-12401997·Zbl 0897.03047号 [34] 罗德尼·G·唐尼（Rodney G.Downey）和肯·孟·吴（Keng Meng Ng）。分裂成低竞争强度的等级。《纯粹逻辑与应用逻辑年鉴》，169:803-8342018年·Zbl 1469.03117号 [35] 罗格尼·唐尼。递归可枚举的格非嵌入和初始段。安.Pure和Appl。《逻辑学》，49:97-1191990年·Zbl 0723.03025号 [36] Y埃尔肖夫。正等价。《逻辑代数》，10:620-6501971年。 [37] 尤里·埃尔肖夫（Yuri L.Ershov）。集合的特定层次结构。《逻辑代数》，7（1）：47-741968年·Zbl 0216.00901号 [38] 尤里·埃尔肖夫（Yuri L.Ershov）。集合的特定层次结构。二、。代数i罗技卡，7（4）：15-471968·Zbl 0216.00902号 [39] 尤里·埃尔肖夫（Yuri L.Ershov）。集合的特定层次结构。三、 《逻辑代数》，9:34-511970年。 [40] Richard Friedberg。两个递归可枚举的不可解度集合。程序。国家。阿卡德。科学。美国，43:236-2381957·Zbl 0080.24302号 [41] 诺姆·格林伯格和丹·特雷茨基。《符号逻辑公报》，24:147-1642018·Zbl 1522.03157号 [42] 利奥·哈林顿和罗伯特·索尔。Post的程序和不完整的递归可枚举集。程序。美国国家科学院。科学。美国，88（22）：10242-102461991·Zbl 0767.03022号 [43] 李凌科。博士论文。 [44] 马丁·库默和马库斯·谢弗。简单集和超简单集的杯形性。《圣母院形式逻辑杂志》，48:349-3692007年·Zbl 1132.03017号 [45] 斯图亚特·库尔茨（Stuart A.Kurtz）。弱泛型的概念。《符号逻辑杂志》，48:764-7701983年9月·Zbl 0549.03042号 [46] A.H.拉克伦。将非分布格嵌入到递归可枚举度中。《数学逻辑会议》编辑威尔弗雷德·霍奇斯（Wilfred Hodges），第255卷《数学讲义》，第149-177页。施普林格·弗拉格，1972年·Zbl 0256.02021号 [47] A.H.拉克伦。关于递归可数集的多个一阶的两个定理。《逻辑代数》，11:216-2291972年·Zbl 0309.02046号 [48] Alistair H.Lachlan和Robert I.Soare。并不是每个有限格都可以嵌入递归可枚举度。数学高级。，37(1):74-82, 1980. ·兹伯利0439.03024 [49] 斯特芬·伦普（Steffen Lempp）和曼努埃尔·勒曼（Manuel Lerman）。没有关键三元组的有限格，不能嵌入到可枚举的图灵度中。Ann.纯粹应用。逻辑，87（2）：167-1851997。1995年海法逻辑学术讨论会·兹伯利0883.03025 [50] Steffen Lempp、Manuel Lerman和D.Reed Solomon。将有限时间嵌入到可计算的可枚举度中——状态调查。在Lect的第27卷《逻辑Col-loquium’02》中。注释日志。，第206-229页。关联符号。《逻辑》，加利福尼亚州拉霍拉，2006年·Zbl 1107.03046号 [51] M.勒曼。不溶性程度。数理逻辑透视。斯普林格·弗拉格，海德堡，1983年。307页·Zbl 0542.03023号 [52] 唐纳德·马丁。递归可枚举集的类和不可解度。Z.数学。Logik Grundlagen数学。，12:295-310, 1966. ·Zbl 0181.30504号 [53] 迈克尔·麦金纳尼。算法随机性和可计算性理论主题。2016年，惠灵顿维多利亚大学博士论文。 [54] Michael McInerney和Keng Meng Ng。分离弱α-变化泛型和α-改变泛型。已提交·Zbl 1418.03150号 [55] 迈克尔·麦金纳尼（McInerney Michael）和吴敬明（Keng Meng Ng）。多重一般性i：限制有序度和向下密度。以色列J.数学。，页面已接受。 [56] 马丁·莫纳斯。关于数组的不可计算度、最大对和Sim-plicity属性。海德堡大学博士论文，2020年。 [57] A.A.穆奇尼克。关于算法理论中可约性问题的不可解性。N.S.108:194-1971956年·Zbl 0070.24701号 [58] 安德烈·尼斯（AndréNies）。低级属性和随机性。高级数学。，197(1):274-305, 2005. ·Zbl 1141.03017号 [59] 安德烈·尼斯（AndréNies）。计算很少的实数。在2002年逻辑学术讨论会上，Lect第27卷。注释日志。，第261-275页。关联符号。《逻辑》，加利福尼亚州拉霍拉，2006年·Zbl 1107.03047号 [60] 安德烈·涅斯、理查德·A·肖尔和西奥多·A·斯拉曼。递归可枚举度的可解释性和可定义性。程序。伦敦数学。Soc.（3），77（2）：241-2911998·Zbl 0904.03028号 [61] 安德烈·尼斯（AndréNies）、弗兰克·斯蒂芬（Frank Stephan）和塞巴斯蒂安·特维恩（Sebastian A.Terwijn）。随机性、相对时间化和图灵度。符号逻辑杂志，70（2）：515-5352005·Zbl 1090.03013号 [62] 埃米尔·L·波斯特。正整数的递归可枚举集及其决策问题。牛市。阿默尔。数学。《社会》，50:284-31161944年·Zbl 0063.06328号 [63] 约瑟夫·肖恩菲尔德（Joseph R.Shoenfield）。数学逻辑。符号逻辑协会，伊利诺伊州乌尔巴纳，2001年。1973年第二次印刷的重印·Zbl 0965.03001号 [64] 理查德·肖尔（Richard A.Shore）。学位结构中的自然可定义性。《可计算性理论及其应用》（Boulder，CO，1999），Contemp第257卷。数学。，第255-271页。阿默尔。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2000年·兹伯利0962.03036 [65] R.I.索尔。无限伤害优先法。符号逻辑杂志，41:513-5301976·Zbl 0329.02019 [66] R.I.苏亚雷。递归可枚举集和度数。施普林格，纽约，1985年·Zbl 0401.03018号 [67] 罗伯特·索尔。递归可数集格的自同构I:极大集。数学年鉴。，100:80-120, 1974. ·Zbl 0253.02040号 [68] Alan Mathison Turing，关于可计算数字及其在Entscheidungs问题中的应用。程序。伦敦。数学。Soc.（2），42:230-2651936年。A对照，43:544-546·兹宝利0016.09701 [69] 王永革。随机性和复杂性。海德堡大学博士论文，1996年·Zbl 0858.03041号 [70] 巴里·温斯坦（Barry Weinstein）。关于将格1-3-1嵌入到递归可积度中。加州大学伯克利分校博士论文，1988年。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。