刘一峰;张寿武;张伟 A\（p\）-adic Waldspurger公式。 （英语） Zbl 1444.11143号 杜克大学数学。J。 167，编号4，743-833（2018）. 本文的第一个目的是（定理3.2.10），对于任何固定有理素数（p），构造一个（p）-adic（L）-函数（mathcal{L}（a）），该函数插值与阿贝尔变种（a{/F}）相关的经典函数（L（s，rho_a^{（iota）}）的某些扭曲的中心值可通过Shimura曲线（X）进行参数化。这里\（F\）是一个完全实数字段，它带有固定的嵌入\（F\hookrightarrow\mathbb{C} （p）\)，并且\（\iota\）是任何嵌入\（\oota\colon\mathrm{End}（A）\hookrightarrow\mathbb{C}\）。此外，所考虑的\（L（s，\rho_A^{（\iota）}）\）的扭曲由字符给出\[\chi\\colon\E^\times\反斜杠（\mathbb{A} _E（_E）^\infty）^\times\to\mathbb{C} （p）^\次，\]其中，（E）是（F）的任何固定全虚二次扩张，其关键性质（假设1.8.1）是素理想{O} _F（F）\)与嵌入\（F\hookrightarrow\mathbb关联{C} （p）\)在\（E\）中拆分。特别注意，对于任何同构（mathbb{C}\cong\mathbb），（p）-adic（L）-函数的插值性质都起作用{C} （p）\)，它的选择是通过这样的字符\（\chi\）扭曲\（L（s，\rho_A^{（\iota）}）\所必需的。本文的另一个主要结果是经典Waldspurger公式的基本类比（定理1.1.1）。这个基本公式（定理3.3.2）将（mathcal{L}（A））的值与Shimura曲线（X）上定义的某些循环（称为Heegner循环）的基本对数联系起来。从定理3.3.2也可以很容易地导出某些函数的（p）-adic（L）-函数值和（p）-adic周期值之间的关系（定理3.4.4）{C} （p）)\to\mathbb{C} （p）\)，称为\（p\）-adic Maass函数（定义3.4.1）。在前面的讨论中，（X）是一条无限级的Shimura曲线，与有理数环上给定的完全确定的非相干四元数代数相关（mathbb{a}:=mathbb{答}_\mathbb{Q}\）。在无限水平上工作，允许本文作者使用以下结果构造任何给定稳定收敛模形式的全局梅林变换（定理2.3.17）：P.施耐德和J.泰特尔鲍姆[数学博士.6447-481（2001；Zbl 1028.11069号)]. 该梅林变换是某一分布代数的一个元素（定义3.2.5），它在权重空间的经典点插值Atkin-Serre算子（方程2.18）的迭代作用。该全局梅林变换用于定义泛根环面周期（定义4.2.5），它是同一分布代数的一个元素。然后，将（p\）-adic\（L\）-函数定义为局部周期分布（定义4.1.7）中这个普适（p~）-adic环面周期的商（第815页）。这种局部周期分布也是梅林变换所在的同一分布代数的一个元素，它插值了复杂Waldspurger公式（定理1.1.1）中出现的扭曲矩阵系数积分（定义4.1.4）。为了证明\（p\）-adic\（L\）-函数的定义是适定的，特别是对于足够多的测试向量，局部周期分布是非零的，作者使用了J.B.隧道【《美国数学杂志》105、1277–1307（1983；Zbl 0532.12015号)]和H.斋藤【《数学写作》85，第1期，99–108（1993；Zbl 0795.2209号)]. 然后，作者通过将泛根环面周期的值与Heegner循环的根对数联系起来，证明了定理3.3.2（命题4.3.6）。命题4.3.6的证明使用了附录A的结果，该结果概括了R.F.科尔曼[数学年鉴（2）121111-168（1985；Zbl 0578.14038号)]. 最后，附录B的主要结果是对Kodaira-Spencer映射的描述（定理B.2.3），该映射与某些被赋予有限扩张的整数环作用的可分群相关{Q} （p）\)根据Serre-Tate坐标（定理B.1.1）。此描述概括了N.卡茨在[曲面代数，Semin.de geometrie algebrique，Orsay 1976-78，Lect.Notes Math.868138-202（1981；Zbl 0477.14007号)].我们在前面几段中概述了所审查文件的主要结果，概括了以下几点所证明的结果M.贝尔托里尼,H.达蒙和K.普拉桑纳《杜克数学杂志》第162卷第6期，第1033–1148页（2013年；Zbl 1302.11043号)]. 正在审查的论文也与专著《Shimura曲线上的Gross-Zagier公式》密切相关。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2013；Zbl 1272.11082号)]，作者：X.元以及该论文的第二和第三作者。评审员认为，被评审的论文是一项重大技术成果，结合L.蔡,J.舒和Y.Tian先生【代数数论8，第10期，2523-2572（2014；Zbl 1311.11054号)]（L）函数中心值的Birch e Swinnerton-Dyer（BSD）和Bloch-Kato猜想的研究将很快取得新的有趣进展。审核人：里卡多·彭戈（科本哈文） 引用于19文件 MSC公司： 11国40 \（L）-品种在全球范围内的功能；Birch-Swinnerton-Dyer猜想 第11页第67页 自同构\（L\）-级数的特殊值，自同构形式的周期，上同调，模符号 11克18 模块和Shimura变种的算术方面 11J95型 涉及阿贝尔品种的结果 关键词：\（p\）-adic Waldspurger公式;\（p\）-adic\（L\）-函数 引文：Zbl 1028.11069号;Zbl 0532.12015号;Zbl 0795.2209号;Zbl 0578.14038号;Zbl 0477.14007号;Zbl 1302.11043号;Zbl 1272.11082号;Zbl 1311.11054号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Liu}等人，杜克数学。J.167，第4号，743--833（2018；Zbl 1444.11143） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] M.Bertolini、H.Darmon和K.Prasanna，《广义Heegner循环和（p）-adic Rankin（L）系列》，以及B.Conrad，Duke Math的附录。J.162（2013），1033-1148·Zbl 1302.11043号 [2] S.Bosch、U.Güntzer和R.Remmert，《非阿基米德分析》，格兰德伦数学。威斯。261，施普林格，柏林，1984年·Zbl 0539.14017号 [3] N.Bourbaki，李群和李代数，第1-3章，1975年版再版，Elem。数学。（柏林），施普林格，柏林，1989年·Zbl 0672.22001 [4] E.H.Brooks，《广义Heegner循环、Shimura曲线和（p）-adic（L）-函数的特殊值》，密歇根大学博士论文，密歇歇根州安阿伯市，2013年。 [5] D.Bump，自形形式和表示，剑桥高级数学研究生。55，剑桥大学出版社，剑桥，1997年·Zbl 0911.11022号 [6] L.Cai、J.Shu和Y.Tian，显式Gross Zagier和Waldsburger公式，代数数论8（2014），2523-2572·兹比尔1311.11054 [7] H.Carayol，Sor la mauvaise réduction des courbes de Shimura，作曲。数学。59 (1986), 151-230. ·Zbl 0607.14021号 [8] R.F.Coleman，曲线上的扭点和p-adic阿贝尔积分，数学年鉴。(2) 121 (1985), 111-168. ·Zbl 0578.14038号 [9] F.Diamond和R.Taylor，模（l）模表示的非最优水平，发明。数学。115 (1994), 435-462. ·Zbl 0847.11025号 [10] M.Emerton，局部p-adic解析群表示中的局部解析向量，Mem。阿默尔。数学。Soc.248（2017），第1175号·Zbl 1430.22020年 [11] G.Faltings，具有严格作用的群方案，Mosc。数学。J.2（2002），249-279·Zbl 1013.11079号 [12] B.H.Gross和D.B.Zagier，Heegner点和L系列导数，发明。数学。84 (1986), 225-320. ·Zbl 0608.14019号 [13] P.L.Kassaei，全实域上Shimura曲线上的（mathcal{P}）-adic模形式，Compos。数学。140 (2004), 359-395. ·Zbl 1052.11037号 [14] N.M.Katz，《德沃克之旅》（Travaux de Dwork），塞米纳伊尔·布尔巴吉（Séminaire Bourbaki）1971/1972年第400-417期，数学课堂笔记。柏林施普林格317号，1973年，167-200年。 [15] N.M.Katz，模块形式之间的更高同余，数学年鉴。(2) 101 (1975), 332-367. ·Zbl 0356.10020号 [16] N.M.Katz，（p\）-adic\（L\）-CM字段的函数，发明。数学。49 (1978), 199-297. ·Zbl 0417.12003号 [17] N.M.Katz，《代数曲面中的Serre-Tate局部模》（Orsay，1976-78），数学课堂讲稿。柏林施普林格868号，1981年，138-202年·Zbl 0477.14007号 [18] C.Khare和J.-P.Wintenberger，《Serre的模块性猜想》，I，《发明》。数学。178 (2009), 485-504; 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