朱兴文;胡晓哲;孙鹏涛 用于求解动态两相界面问题的基于物理的神经网络。 （英语） Zbl 1528.35105号 SIAM J.科学。计算。 45，编号6，A2912-A2944（2023）. 摘要：本文基于物理信息神经网络（PINNs）框架，发展了一种基于深度神经网络的无网格方法，用于求解两类由不同动态偏微分方程控制的两相界面问题，该界面位于具有跳跃系数和高对比度系数的稳态界面两侧。第一类两相界面问题是流体-流体（两相流）界面问题，由界面上具有高对比度物理参数的Navier-Stokes方程建模。第二个是由界面一侧的Navier-Stokes方程和另一侧的结构方程模拟的流体-结构相互作用问题，其中流体和结构通过界面的运动学和动力学界面条件相互作用。遵循PINNs框架，针对两类两相界面问题，分别提出了DNN/无网格方法，即在不同的子域中使用不同的DNN结构近似解，并将界面问题转化为基于时空采样点集（作为训练数据集）的最小二乘最小化问题。数学上，对这两个接口问题进行了近似误差分析，揭示了有效采样点以提高精度的内在策略。此外，与传统的离散化方法（如有限元/体积/差分方法）相比，所提出的DNN/无网格方法及其误差分析技术可以顺利地推广到许多其他具有固定界面的动态界面问题。数值实验证明了该方法对所提出的两相界面问题的准确性，并通过两个数值算例在一定程度上验证了理论结果。 MSC公司： 35第30季度 Navier-Stokes方程 65N99型 偏微分方程边值问题的数值方法 6500万06 含偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法 65K10码 数值优化和变分技术 65岁15岁 涉及PDE的初值和初边值问题的误差界 68T07型 人工神经网络与深度学习 68问题32 计算学习理论 74层10 流固相互作用（包括气动和水弹性、孔隙度等） 76D05型 不可压缩粘性流体的Navier-Stokes方程 76T06型 液-液双组分流动 82立方32 神经网络在含时统计力学问题中的应用 关键词：深度神经网络;物理信息神经网络;两相流界面问题;流体-结构相互作用问题（FSI）;无网格法;最小二乘损失函数;近似精度 软件：XPIN编号;PIN码NTK码;VarNet公司;hp虚拟专用网络;切割FEM;PyTorch公司;深XDE;TensorFlow公司;DGM公司;亚当 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{X.Zhu}等人，SIAM J.Sci。计算。45，编号6，A2912--A2944（2023；Zbl 1528.35105） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abadi，M.，Agarwal，A.，Barham，P.，Brevdo，E.，Chen，Z.，Citro，C.，Corrado，G.S.，Davis，A.，Dean，J.，Devin，M.版本，I.、Talwar，K.、Tucker，P.、Vanhoucke，V.、Vasudevan，V.，Viégas，F.、Vinyals，O.、Warden，P.，Wattenberg，M.、Wicke，M..、Yu，Y.和Zheng，X.，TensorFlow:异构系统上的大规模机器学习，2015，https://www.tensorflow.org。 [2] Babuška，I.，《不连续系数椭圆方程的有限元法》，《计算》，5（1970），第207-213页·Zbl 0199.50603号 [3] Bochev，P.B.和Gunzburg，M.D.，最小二乘有限元方法，施普林格科学与商业媒体，纽约，2009年·Zbl 1168.65067号 [4] Bramble，J.H.和King，J.T.，《光滑边界和界面域中界面问题的有限元方法》，高级计算。数学。，6（1996），第109-138页·Zbl 0868.65081号 [5] Burman，E.、Claus，S.、Hansbo，P.、Larson，M.G.和Massing，A.，《有限元切割：离散几何和偏微分方程》，国际。J.数字。方法工程，104（2015），第472-501页·兹比尔1352.65604 [6] Cai，Z.，Chen，J.，Liu，M.，and Liu，X.，深最小二乘法：求解椭圆偏微分方程的无监督学习数值方法，https://arxiv.org/abs/1911.02109, 2019. ·兹伯利07506625 [7] Cai，Z.，Ye，X.，and Zhang，S.，界面问题的间断Galerkin有限元方法：先验和后验误差估计，SIAM J.Numer。分析。，49（2011），第1761-1787页·Zbl 1232.65142号 [8] Chakrabarti，S.K.，《流体-结构相互作用的数值模型》，WIT出版社，英国南安普敦，2005年·Zbl 1070.76002号 [9] Chen，L.，Wei，H.和Wen，M.，椭圆界面问题的界面填充网格生成器和虚拟元方法，J.Compute。物理。，334（2017），第327-348页·Zbl 1380.65400号 [10] Chen，Y.、Lu，L.、Karniadakis，G.E.和Dal Negro，L.，纳米光学和超材料反问题的物理信息神经网络，Opt。快报，28（2020），第11618-11633页。 [11] Chen，Z.和Zou，J.，椭圆和抛物线界面问题的有限元方法及其收敛性，数值。数学。，79（1988），第175-202页·兹比尔0909.65085 [12] Daxini，S.和Prajapati，J.，《无网格方法对结构和断裂力学应用的最新贡献综述》，《科学世界杂志》，2014年（2014年）。 [13] De Ryck，T.、Jagtap，A.D.和Mishra，S.，《物理信息神经网络逼近Navier-Stokes方程的误差估计》，预印本，arXiv:2203.093462022。 [14] Dissanayake，M.和Phan-Thien，N.，解偏微分方程的基于神经网络的近似，Commun。数字。方法工程，10（1994），第195-201页·Zbl 0802.65102号 [15] Dowell，E.H.和Hall，K.C.，《流体-结构相互作用建模》，年。流体力学版次。，33（2001年），第445-490页·Zbl 1052.76059号 [16] E、 W.和Yu，B.，《Deep Ritz方法：求解变分问题的基于深度学习的数值算法》，https://arxiv.org/abs/1710.00211, 2017. [17] Fries，T.-P.和Belytschko，T.，《扩展/广义有限元方法：方法及其应用概述》，国际。J.数字。方法工程，84（2010），第253-304页·Zbl 1202.74169号 [18] Garg，S.和Pant，M.，《无网格方法：应用的综合综述》，Int.J.Comput。方法，15（2018），1830001·Zbl 1404.74199号 [19] Han，J.，Jentzen，A.和E，W.，《利用深度学习求解高维偏微分方程》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，115（2018），第8505-8510页·Zbl 1416.35137号 [20] Hansbo，A.和Hansbo（P.），基于Nitsche方法的椭圆界面问题不合适的有限元方法，计算。方法应用。机械。工程，191（2002），第5537-552页·Zbl 1035.65125号 [21] He，C.，Hu，X.和Mu，L.，使用分段深度神经网络解决椭圆界面问题的无网格方法，J.Comput。申请。数学。，412 (2022), 114358. ·Zbl 1491.65158号 [22] He，J.，Li，L.，Xu，J.和Zheng，C.，ReLU深度神经网络和线性有限元，https://arxiv.org/abs/1807.03973, 2018. ·Zbl 1463.68072号 [23] He，Q.、Barajas-Solano，D.、Tartakovsky，G.和Tartakowsky，A.M.，《应用于地下运输的多物理数据同化的物理信息神经网络》，《高级水资源》。，141 (2020), 103610. [24] Hu，W.，Guo，G.，Hu，X.，Negrut，D.，Xu，Z.，and Pan，W..，用于流体-结构相互作用的一致空间自适应平滑粒子流体动力学方法，计算。方法应用。机械。工程，347（2019），第402-424页·兹比尔1440.76111 [25] Hu，W.，Trask，N.，Hu，X.，and Pan，W..，用于流体-结构相互作用的空间自适应高阶无网格方法，计算。方法应用。机械。工程，355（2019），第67-93页·Zbl 1441.76061号 [26] Hu，Z.、Jagtap，A.D.、Karniadakis，G.E.和Kawaguchi，K.，扩展物理信息神经网络（XPINN）何时能提高泛化能力？，SIAM J.科学。计算。，44（2022年），第A3158-A3182页·Zbl 1498.65183号 [27] Jagtap，A.和Karniadakis，G.E.，激活功能在回归和分类中的重要性如何？调查、性能比较和未来方向，J.Mach。学习。模型。计算。，4（2023年），第21-75页。 [28] Jagtap，A.D.和Karniadakis，G.E.，《扩展物理信息神经网络（xPINNs）：基于广义时空域分解的非线性偏微分方程深度学习框架》，Commun。计算。物理。，28（2020），第2002-2041页·Zbl 07419158号 [29] Jagtap，A.D.、Kawaguchi，K.和Em Karniadakis，G.，深度和物理信息神经网络的斜率恢复局部自适应激活函数，Proc。A、 476（2020），20200334·Zbl 1472.68175号 [30] Jagtap，A.D.、Kawaguchi，K.和Karniadakis，G.E.，自适应激活函数加速了深度和物理信息神经网络的收敛，J.Compute。物理。，404 (2020), 109136. ·Zbl 1453.68165号 [31] Jagtap，A.D.、Kharazmi，E.和Karniadakis，G.E.，守恒定律离散域上的保守物理信息神经网络：正问题和反问题的应用，计算。方法应用。机械。工程，365（2020），113028·Zbl 1442.92002号 [32] Jagtap，A.D.、Mao，Z.、Adams，N.和Karniadakis，G.E.，超音速流动反问题的物理信息神经网络，J.Compute。物理。，466 (2022), 111402. ·兹伯利07561079 [33] Jagtap，A.D.、Mitsotakis，D.和Karniadakis，G.E.，使用多保真数据深度学习逆水波问题：Serre-Green-Naghdi方程的应用，海洋工程，248（2022），110775。 [34] Jagtap，A.D.、Shin，Y.、Kawaguchi，K.和Karniadakis，G.E.，《Deep Kronecker神经网络：具有自适应激活功能的神经网络的一般框架》，《神经计算》，468（2022），第165-180页。 [35] Kandilarov，J.D.、Koleva，M.N.和Vulkov，L.G.，《椭圆界面问题的二阶笛卡尔网格有限体积技术》，载于《大尺度科学计算》，Lirkov，I.、Margenov，S.和Wa si niewski，J.编辑，柏林斯普林格出版社，2008年，第679-687页·Zbl 1229.65155号 [36] Karniadakis，G.E.、Kevrekidis，I.G.、Lu，L.、Perdikaris，P.、Wang，S.和Yang，L.，《基于物理的机器学习》，《自然评论物理》。，3（2021），第422-440页。 [37] Kharazmi，E.，Zhang，Z.和Karniadakis，G.E.，《用于求解偏微分方程的变分物理信息神经网络》，预印本，arXiv:1912.008732019年。 [38] Kharazmi，E.，Zhang，and Karniadakis，G.E.，hp-VPINNs:带区域分解的变分物理信息神经网络，计算。方法应用。机械。工程，374（2021），113547·Zbl 1506.68105号 [39] Khodayi-Mehr，R.和Zavlanos，M.，VarNet:偏微分方程解的变分神经网络，摘自《动力学与控制学习》，PMLR，2020年，第298-307页。 [40] Khoei，A.R.，《扩展有限元方法：理论与应用》，John Wiley&Sons，纽约，2014年·Zbl 1315.74001号 [41] Kingma，D.P.和Ba，J.，Adam：随机优化方法，arXiv:1412.69802014。 [42] Krishnapriyan，A.、Gholami，A.、Zhe，S.、Kirby，R.和Mahoney，M.W.，表征物理信息神经网络中可能的故障模式，高级神经网络过程。系统。，34 (2021). [43] LeVeque，R.J.和Li，Z.，具有间断系数和奇异源的椭圆方程的浸入界面法，SIAM J.Numer。分析。，31（1994），第1019-1044页·Zbl 0811.65083号 [44] 李，Z.，浸入式界面方法及其应用概述，台湾数学杂志。，7（2003），第1-49页·Zbl 1028.65108号 [45] Li，Z.和Lai，M.-C.，具有奇异力的Navier-Stokes方程的浸没界面法，J.Compute。物理。，171（2001），第822-842页·Zbl 1065.76568号 [46] Lin，T.、Lin，Y.和Zhang，X.，椭圆界面问题的部分惩罚浸入式有限元方法，SIAM J.Numer。分析。，53（2015），第1121-1144页·Zbl 1316.65104号 [47] Liu，G.，《无网格方法概述：计算固体力学》，国际计算杂志。方法，13（2016），1630001·Zbl 1359.74388号 [48] Liu，X.-D.，Fedkiw，R.P.和Kang，M.，不规则区域上泊松方程的边界条件捕捉方法，J.Compute。物理。，160（2000），第151-178页·Zbl 0958.65105号 [49] Loon，V.R.，《模拟心脏瓣膜流体-结构相互作用的3D方法》，科技大学，埃因霍温，2005年，doi:10.6100/IR594604。 [50] Lu，L.，Meng，X.，Mao，Z.和Karniadakis，G.E.，DeepXDE:求解微分方程的深度学习库，SIAM Rev.，63（2021），第208-228页·Zbl 1459.65002号 [51] Massing，A.、Larson，M.、Logg，A.和Rognes，M.，用于流体-结构相互作用问题的基于Nitsche的切割有限元方法，Commun。申请。数学。计算。科学。，10（2015），第97-120页·Zbl 1326.74122号 [52] Massjung，R.，应用于椭圆界面问题的不适配间断伽辽金方法，SIAM J.Numer。分析。，50（2012年），第3134-3162页·Zbl 1262.65178号 [53] Mazhar，F.、Javed，A.、Xing，J.T.、Shahzad，A.，Mansoor，M.、Maqsood，A.、Shah，S.I.A.和Asim，K.，《关于流体-结构相互作用问题的无网格粒子方法》，《工程分析》。已绑定。元素。，124（2021年），第14-40页·Zbl 1464.76150号 [54] McClenny，L.和Braga Neto，U.，《使用软注意机制的自适应物理知情神经网络》，arXiv:2009.045442020·Zbl 07640528号 [55] Mishra，S.和Molinaro，R.，《物理信息神经网络用于近似PDE的泛化误差估计》，IMA J.Numer。分析。，(2022). ·Zbl 07524707号 [56] Mu，L.，Wang，J.，Wei，G.，Ye，X.和Zhao，S.，二阶椭圆界面问题的弱Galerkin方法，J.Compute。物理。，250（2013），第106-125页·Zbl 1349.65472号 [57] Oevermann，M.、Scharfenberg，C.和Klein，R.，笛卡尔网格上椭圆方程的锐界面有限体积法，J.Compute。物理。，228（2009），第5184-5206页·Zbl 1169.65343号 [58] Paszke，A.、Gross，S.、Massa，F.、Lerer，A.、Bradbury，J.、Chanan，G.、Killeen，T.、Lin，Z.、Gimelshein，N.、Antiga，L.、Desmaison，A.、Kopf，A.，Yang，E.、DeVito，Z.，Raison，M.、Tejani，A.、Chilamkurthy，S.，Steiner，B.、Fang，L.，Bai，J.和Chintala，S.《PyTorch：命令式，高性能深度学习库》，《神经信息处理系统进展》32，Wallach，H.、Larochelle，H.，Beygelzimer，A.、d’Alché-Buc，F.、Fox，E.和Garnett，R.编辑，Curran Associates，2019年，第8024-8035页。 [59] Peskin，C.S.，浸没边界法，数值学报。，11（2002），第479-517页·Zbl 1123.74309号 [60] Raissi，M.、Perdikaris，P.和Karniadakis，G.E.，《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378（2019），第686-707页·Zbl 1415.68175号 [61] Robbins，H.和Monro，S.，《随机近似方法》，《数学年鉴》。《统计》，22（1951），第400-407页·Zbl 0054.05901号 [62] Samaniego，E.、Anitescu，C.、Goswami，S.、Nguyen-Thanh，V.M.、Guo，H.、Hamdia，K.、Zhuang，X.和Rabczuk，T.，通过机器学习解决计算力学中偏微分方程的能量方法：概念、实现和应用，计算。方法应用。机械。工程，362（2020），112790·Zbl 1439.74466号 [63] Seo，J.H.、Vedula，V.、Abraham，T.和Mittal，R.，《心流量和虚拟心电图的多物理计算模型》，《国际数值杂志》。方法生物识别。《工程》，29（2013），第850-869页。 [64] Shukla，K.、Jagtap，A.D.、Blackshire，J.L.、Sparkman，D.和Karniadakis，G.E.，《利用超声波数据量化多晶镍微观结构特性的基于物理的神经网络：解决反问题的一种有前途的方法》，IEEE信号处理。Mag.，39（2021），第68-77页。 [65] Shukla，K.、Jagtap，A.D.和Karniadakis，G.E.，通过区域分解的并行物理信息神经网络，J.Compute。物理。，447 (2021), 110683. ·Zbl 07516435号 [66] Shukla，K.、Xu，M.、Trask，N.和Karniadakis，G.E.，《物理信息神经网络和图形网络的可缩放算法》，arXiv:2205.083322022年。 [67] Sirignano，J.和Spiliopoulos，K.，DGM：解偏微分方程的深度学习算法，J.Compute。物理。，375（2018），第1339-1364页·Zbl 1416.65394号 [68] Takizawa，K.、Henicke，B.、Tezduyar，T.、Hsu，M.和Bazilevs，Y.，风力涡轮机转子空气动力学的稳定时空计算，计算机。机械。，48（2011），第333-344页·Zbl 1398.76127号 [69] Tran，T.、Hamilton，A.、McKay，M.B.、Quiring，B.和Vassilevski，P.S.，《非线性有限元方程的DNN近似》，https://arxiv.org/abs/1911.05240, 2019. [70] Turek，S.和Hron，J.，弹性物体和层流不可压缩流之间流体-结构相互作用的数值基准建议，Springer，纽约，2006年·兹比尔1323.76049 [71] Turek，S.、Hron，J.、Mádlík，M.、Razzaq，M.，Wobker，H.和Acker，J.F.，流体-结构相互作用问题的整体多重网格解算器的数值模拟和基准测试，应用于血流动力学，收录于《流体-结构交互作用II》，Bungartz，H.-J.、Mehl，M.和Schäfer，M，编辑，施普林格，柏林，2010年，第193-220页·Zbl 1210.76118号 [72] Wang，S.和Perdikaris，P.，自由边界和Stefan问题的深度学习，J.Compute。物理。，428 (2021), 109914. ·Zbl 07511408号 [73] Wang，S.、Teng，Y.和Perdikaris，P.，《理解和缓解物理信息神经网络中的梯度流病理学》，SIAM J.Sci。计算。，43（2021），第A3055-A3081页·Zbl 1530.68232号 [74] Wang，S.，Yu，X.和Perdikaris，P.，PINN训练失败的时间和原因：神经切线内核视角，J.Comput。物理。，449 (2022), 110768. ·Zbl 07524768号 [75] Wang，Z.和Zhang，Z.，使用深度学习方法解决界面问题的无网格方法，J.Compute。物理。，400 (2020), 108963. ·Zbl 1454.65173号 [76] Yang，K.、Sun，P.、Wang，L.、Xu，J.和Zhang，L.，《旋转结构物相互作用的建模与模拟》，计算。方法应用。机械。工程，311（2016），第788-814页·Zbl 1439.74119号 [77] Zhou，Y.，Zhao，S.，Feig，M.和Wei，G.，不连续系数和奇异源椭圆方程的高阶匹配界面和边界方法，J.Compute。物理。，213（2006），第1-30页·Zbl 1089.65117号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。