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安吉拉·皮斯托亚;卡洛斯·罗曼

具有指定标量曲率的大型共形度量。 （英语） Zbl 1402.35117号

J.差异。方程 263，编号9，5902-5938（2017）。
给定一个（n）维紧致黎曼流形（（M，g），）（n，geq 3，），给定的标量曲率问题（具有共形变换的度量）要求找到一个与（g，）共形的度量，使得（tilde{g}）的标量弯曲等于（M）上给定的函数（h）。这个问题等价于找到一个解（u）至\[-\增量u+c（n）R_gu=c（n）hu^p，\quad u>0\；\文本{on}\；M、，\]其中\（\Delta_g=\text{div}_g\nabla_g\）是Laplace-Beltrami算子，\（c（n）=frac{n-2}{4（n-1）}，\）\（p=frac}n+2}{n-2{）和\（R_g\
本文讨论了求共形度量（g_\lambda=u_\lampda^{\frac{4}{n-2}}g）的问题，该共形度量的标量曲率是具有小参数（lambda，）的规定函数（h_\lambeda=\lambda ^2+h，），其中（h）是具有临界点（M中的xi）的（M）上的光滑函数，使得（h（xi）=0，\)并且满足适当的平面度假设。
在标量曲率（R_g）严格为正的情况下，作者发现了一系列“冒泡”度量（g_\lambda\），其中（u_\lampda\）在点\（xi\）处爆炸，并接近0，远离\（xi）as \（lambda\to0.\）
在一般情况下，另外假设存在标量曲率等于（h，）的非退化共形度量（g_0=u_0^{frac{4}{n-2}}g），证明了存在共形度量的有界族（g_0，lambda}=u{0，lambda}^{frac{4}}{n-2}}g，），其中（u_{0，lambda}>0，）在这种情况下，作者构建了第二组“冒泡”度量（g_\lambda，），其中（u_\lampda）在\（xi\）处爆炸，并接近\（u_0\），远离\（xi）为\（lambda\ to0.）。这特别表明，所考虑的问题可以有多个解决方案。
这些证明依赖于Lyapunov-Schmidt约化和精细爆破分析。
审核人：Dian K.Palagachev（巴里）

MSC公司：

35立方英尺60英寸 非线性椭圆方程
58J60型 PDE与特殊流形结构（黎曼、芬斯勒等）的关系
53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制

关键词：

紧致黎曼流形;Laplace-Beltrami运算符;规定的标量曲率
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Pistoia}和\textit{C.Román}，J.Differ。方程式263，No.9，5902--5938（2017；Zbl 1402.35117）
全文： 内政部 arXiv公司

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