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库列夫，G.F。;V.N.纳西布扎德。

将声学逆问题简化为最优控制问题及其研究。 （俄语。英文摘要） Zbl 1506.35278号

维斯特。托木斯克。戈斯。马特·梅赫大学。 2018年第54期，5-16（2018）.
小结：本文考虑一维声波方程的系数反问题。这个问题被归结为一个最优控制问题。在新问题中，证明了存在定理，导出了最优性的必要条件，证明了泛函的可微性，并提出了基于梯度投影法的最优控制问题求解的迭代算法。
我们考虑在约束条件下确定一对函数（（u（x，t），upsilon（x））的问题\【\frac｛\partial ^2u｝｛\partial t^2｝-\frac｛\partial ^2u｝｛\partial x^2｝+\upsilon（x）\frac｛\partial u｝｛\partial x｝=f（x，t），\quad（x，t）\in\mathcal｛Q｝\equiv（0，\ell）\times（0，t），\tag｛1｝\] \[ u（x，0）=u0（x），\分数{\部分u（x、0）}{\部分t}=u1（x）\] \[ \frac{\partial u}{\parial x}\mid_{x=0}=0，\frac{\ partial u}{\perial x}\mie_{x=ell}=0、\quad 0\le-t\le-t、\u（x，t）=g（x）、\ quad 0\ le-x\le-ell、\tag{3}\] 这里，给出了L_2（mathcal{Q}）中的f，W_2^1[0，\ell]中的u_0，L_2（0，\ell）中u_1，W_2_^1[0,\ell]\中的g的函数。
这个问题归结为以下最优控制问题：寻找属于集合的函数\[ V=\left\{\upsilon（x）\in\overset{0}{W_2^1}[0，\ell]：|\upsillon（x）|\le M_1，|\upssilon'（x）| \le M_2\text{a.e.on}[0，\ell]\right\}，\tag{4}\] 并最小化功能\[ J（\upsilon）=\frac12\int_0^\ell[u（x，T；\upsillon）-g（x）]^2\，dx\tag{5}\] 在约束条件（1）-（3）下，其中\（u（x，t；\upsilon）\）是问题（1）-（3）在给定\（\upsilon（x）\）下的解，称为控制。证明了问题（1）–（3），（4），（5）的可解性。
然后，计算泛函的微分，并证明以下定理。
定理。在上述条件下，不等式\[ \int_{mathcal{Q}}\frac{\partialu_*（x，t）}{\particalx}\psi_*（x，t）（\upsilon（x）-\upsilin_*（z））\，dx\，dt\ge 0\] 其中，\（\psi_*（x，t）\）是对应于控件\（\upsilon_*=\upsilin_*（x）\）的伴随问题的解：\[ \压裂{部分^2\psi}{部分t^2}-\frac{部分x^2\psi}{\partial x^2}-\frac{\partic}{\部分x}（\upsilon\psi）=0，\quad（x，t）\in\mathcal{Q}，\] \[\psi\vert_{t=t}=0，\quad\frac{\partial\psi}{\parial t}\mid_{t=t}=u（x，t；\upsilon）-g（x），\quad 0\le x\le\ell，\\frac{\ partial\ psi}{\partic x}\mid_{x=0}=0\] 是问题（1）-（3），（4），（5）的控制（upsilon_*=upsilon_（x））的最优的必要条件，如果它对所有（V\ in V\）都满足。

引用于1文件

MSC公司：

35兰特 PDE的反问题
35K20码 二阶抛物型方程的初边值问题
49公里45 随机问题的最优性条件

关键词：

系数反问题;最优控制;必要条件;泛函梯度
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛G.F.Kuliev｝和\textit｛V.N.Nasibzade｝，维斯顿。托木斯克。戈斯。马特·梅赫大学。2018年第54号、第5--16号（2018；Zbl 1506.35278）
全文： 内政部 MNR公司

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