托马斯·舒尔特·赫尔布吕根;Steffen J.格拉泽。;Gunther主任;乌韦·赫尔姆克 用于量子信息和量子动力学优化的梯度流：基础和应用。 （英语） Zbl 1208.49001号 数学复习。物理学。 22，第6期，597-667（2010）. 当问题的复杂性从经典变为量子时，控制量子系统为执行计算任务或模拟其他量子系统或经典系统的行为提供了巨大的潜力。在量子模拟和量子技术进步所需的通用工具中，量子控制起着重要作用。量子信息和量子控制从有限维量子系统上的约束优化问题开始。这些约束来自这样一个事实，即量子动态状态空间是自然光滑的流形，或者各个量子系统的动力学可能被限制为整个状态空间的适当子集。在数学上，任何一种情况都可以通过对底层控制系统的可达集进行约束优化来处理。因此，无论何时可达集形成光滑流形，黎曼优化方法都适用。在这篇综述中，作者全面介绍了黎曼流形上梯度流的基础，包括在量子信息和量子动力学中的新应用。作者在一个通用的框架中处理量子动力学系统的各种优化任务，即通过光滑流形上的梯度流。设\（M\）表示光滑流形，例如，与初始态\（X_0\）相关的所有量子态的酉轨道。对于所有状态（M\中的X\）和时间（mathbb R\中的t，tau\），连续时间动力系统或流是一个光滑映射（Phi:mathbb R乘以M\到M\），即（Phi（0，X）=X\），（Phi，tau，Phi（t，X））=Phi（t+tau，X）。由于\（Phi_\tau\circ\Phi_t=\Phi_{\tau+t}\），流充当一个单参数群，对于正时间\（t，\tau\geq0\）作为\（M\）上微分同态的单参数半群。现在，用动力系统优化光滑流形（M）上标量质量函数的一般思想是：对于光滑质量函数（f:M\ to mathbb R\），（f \）的微分是（M \）到其余切丛的映射（Df:M\to T^*M\），而梯度向量场是映射（\text{grad}\，f:M\\to TM\）到其切线束。\（M\）中的标量乘积或\（M\）中的黎曼度量允许确定\（\text｛grad｝\，f（X）\），并用\（TM\）识别\（T^*M\）。由常微分方程（dot X=text{grad}，f（X））确定的流量（Phi:mathbb R乘以M到M）称为梯度流。作者提供了基于梯度流的算法的流形设置，如最速下降、共轭梯度、Jacobi型、牛顿方法、可达性和可控性。虽然基础的主要部分可以在其他文献中找到，但在这里作者添加了黎曼几何、李群和约化齐次空间之间相互作用的综合概述。给出了紧致李群及其闭子群上梯度流的例子。鉴于进一步的发展，作者讨论了可约化齐次空间上的梯度流，包括对Cartan-like情形以及自然可约化均匀空间的特化。特别是，双括号流在自然约化均匀空间上表现为梯度流。本文的一部分专门讨论量子信息和量子控制的具体应用。作者证明了量子比特中局部单位（SU_{text{loc}}（2^n））子群上的梯度流不仅在见证优化中提供了有价值的工具，而且与广义奇异值分解（即张量奇异值分解）有关。梯度流为高阶张量的最佳秩（1）近似提供了一种通用算法的替代方法。（SU_{text{loc}}（2^n））上的流也可以作为一个方便的工具来决定哈密顿相互作用是否可以通过局部幺正操作完全时间反转。具有附加外部约束的优化任务通过在各自子群上定制梯度流或通过辅助惩罚方法来处理。通过包括实际应用和工作示例，作者说明了流形上的梯度流可以提供有价值的解决方案的大量问题。审核人：安德鲁·巴基（爱德蒙） 引用于16文件 MSC公司： 49-02 关于变分法和最优控制的研究说明（专著、调查文章） 49卢比 算子特征值的变分方法 20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题 53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章） 53C20美元 全球黎曼几何，包括收缩 65K10码 数值优化和变分技术 81V70型 多体理论；量子霍尔效应 90立方 非线性规划 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 15A69号 多线性代数，张量演算 81问题93 量子控制 关键词：量子系统中的约束优化;黎曼优化;黎曼梯度流及其算法;双支架流量;量子控制;张量的低阶逼近;张量SVD 软件：L-BFGS公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Schulte-Herbrüggen}等人，《数学评论》。物理学。22，第6号，597--667（2010；Zbl 1208.49001） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] DOI:10.1007/BF02650179·doi:10.1007/BF02601079文件 [2] 费曼R.P.，费曼计算讲座（1996） [3] 数字对象标识码：10.1090/gsm/047·doi:10.1090/gsm/047 [4] 内政部：10.1137/S009753979529393172·Zbl 1005.11065号 ·doi:10.1137/S009753979529393172 [5] DOI:10.1098/rspa.1998.0163·Zbl 0915.68049号 ·doi:10.1098/rspa.1998.0163 [6] DOI:10.1098/rspa.1998.0164·Zbl 0915.68050号 ·doi:10.1098/rspa.1998.0164 [7] DOI:10.1016/j.ipl.2004.01.024·Zbl 1178.68268号 ·doi:10.1016/j.ipl.2004.01.024 [8] DOI:10.1103/PhysRevLett.79.325·doi:10.1103/PhysRevLett.79.325 [9] Papadimitriou C.H.，计算复杂性（1995）·Zbl 0557.68033号 [10] Sachdev S.，《量子相变》（1999）·Zbl 1233.82003年 [11] JanéE.，Quant（数量）。信息计算3第15页- [12] 内政部：10.1103/PhysRevLett.922.7901·doi:10.1103/PhysRevLett.92.207901 [13] 内政部：10.1098/rsta.2003.1227·doi:10.1098/rsta.2003.1227 [14] DOI:10.1017/CBO9780511813948·Zbl 1350.81004号 ·doi:10.1017/CBO9780511813948 [15] 布洛克·R.W.，林·阿尔法。申请。122页761– [16] S.T.Smith，《哈密尔顿和梯度流，算法和控制》，菲尔德研究所通信（美国数学学会，普罗维登斯，1994年）pp。113–136. 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