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布鲁诺·科尔博伊斯;亚历山大·吉罗亚德;卡罗琳·戈登;大卫·谢尔

Steklov特征值问题的一些最新进展。 （英语） Zbl 1532.58004号

修订材料完成。 37，第1期，第1-161页（2024年）.
这是一篇关于黎曼流形上Steklov特征值问题的漂亮综述文章。它特别适合那些对这方面的研究感兴趣的人。
设（Omega）是具有非空边界的光滑紧致黎曼流形。Dirichlet-to-Neumann算子（mathcal D:C^ infty（\Sigma）\to-C^ inffy（\Sigma）\）由\（mathcal Df=\partial_\nu\widehat f）定义，其中\（nu\）是沿边界的向外法线，函数\（C^ infty（\ Omega）中的f\）是\（f \）到\（\Omega \）内部的唯一调和扩展。（mathcal D）的特征值为Steklov特征值（\欧米茄\）。（mathcal D）的本征函数构成了（L^2（Sigma））的正交基。如果（mathcal D f=sigma f），则（f）的调和延拓（u）是Steklov谱问题的解：\[\开始{cases}\Delta u=0&\text{in}\Omega\\\partial_\nu u=\西格玛u&\文本｛on｝\西格玛。\结束{cases}\]函数\（u\）是一个Steklov本征函数（Omega），而特征值的集合称为斯特克洛夫谱（\欧米茄\）。作者的兴趣是理解Steklov谱数据和黎曼流形（Omega）的各种几何特征之间的丰富相互作用。（本段基本上摘自文章的引言部分。）
近年来，这个问题引起了很多关注。本文重点介绍了上一篇调查文章中未涉及的最新发展[A.吉劳德和I.波特罗维奇，J.规范。理论7，第2期，321-359（2017；Zbl 1378.58026号)]并包含在作者的研究专业知识中。然而，第2节向读者介绍了这一主题，包括激励性的基本示例以及经典的结果。
第一部分（第。3–5）考虑与等周型几何不等式相关的问题，例如，根据（Omega）边界分量的亏格和个数，获得紧致黎曼曲面的第一个周长正规化Steklov特征值的上界。
第6节讨论流形离散成图以获得Steklov特征值的界。
第7-9节研究了逆谱几何的问题。一般目的是了解Steklov谱在多大程度上编码黎曼流形（或orbifold）（Omega）的几何。讨论了正负结果。积极的结果是发现从Steklov谱恢复的几何信息。一个否定的结果证明了某些几何性质不是由Steklov谱决定的，通常会发现只有一个Steklof等谱对具有这种性质。
第10节讨论了Steklov特征函数的几何，包括节点集体积的界限。
作为这本漂亮而有用的专著的锦上添花，附录B中列出了分散在特定章节中的几个悬而未决的问题，并参考了它们的原始位置。
审核人：埃米利奥·劳雷特（巴伊亚·布兰卡）

引用于1文件

MSC公司：

58立方厘米 谱理论；流形上的特征值问题
58J50型 光谱问题；光谱几何；流形上的散射理论
35P05号 偏微分方程线性谱理论的一般主题
第35页 偏微分方程背景下特征值的估计
35页20 偏微分方程背景下特征值的渐近分布
35页30 偏微分方程的非线性特征值问题和非线性谱理论
53A10号 微分几何中的极小曲面，具有规定平均曲率的曲面
53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制
58J53型 等光谱
58-02 与全球分析相关的研究展览（专著、调查文章）
53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章）

关键词：

斯特克洛夫谱;特征值界限;逆谱问题;自由边界极小曲面;Steklov特征函数;离散化

引文：

Zbl 1378.58026号
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\textit{B.Colbois}等人，修订版材料完成。37，编号1，1-161（2024；Zbl 1532.58004）
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