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马可·蒙代利;安德烈亚·蒙塔纳里

弱恢复的基本极限及其在相位恢复中的应用。 （英语） Zbl 1464.62296号

已找到。计算。数学。 19，第3号，703-773（2019）.
摘要：在相位恢复中，我们希望从形式为（y_i=|langle\mathbf）的二次测量中恢复未知信号{a} _ i，\mathbf{x}\rangle|^2+w_i\），其中\（\mathbf{a} _ i\ in \mathbb C^d \）是已知的传感矢量，\（w_i \）是测量噪声。我们提出以下问题弱恢复问题：
产生与信号正相关的估计器（mathbf{x}}（mathbf{y}））所需的最小测量次数是多少？
我们考虑高斯向量的情况。我们证明，在高维极限下，会发生急剧的相变，并且我们将阈值定位在小噪声消失的情况下。对于（n \le d-o（d）），没有任何估计器能比随机估计器做得更好，并实现严格的正相关。对于\（n \ged+o（d）\），一个简单的谱估计量实现了正相关。令人惊讶的是，使用相同的谱估计器进行的数值模拟表明，在实际传感矩阵中具有良好的性能。谱方法用于初始化相位恢复中的非凸优化算法，我们的方法也可以在这种情况下提高性能。我们的不可能性结果基于经典的信息理论论证。
谱算法计算加权经验协方差矩阵的主导特征向量。我们使用自由概率工具对该随机矩阵的谱特性进行了尖锐表征，并通过吕永民和G.李[“高维非凸估计的谱初始化的相变”，预印本，arXiv:1702.06435].
上限和下限都超越了相位恢复，推广到根据广义线性模型产生的测量值（y_i）。作为分析的副产品，我们将所提出的谱方法的阈值与消息传递算法的阈值进行了比较。

引用于15文件

MSC公司：

62甲12 多元分析中的估计
62J12型 广义线性模型（逻辑模型）
60G35型 信号检测和滤波（随机过程方面）
94甲12 信号理论（表征、重建、滤波等）

关键词：

光谱初始化;相变;相互信息;二阶矩法;相位恢复

软件：

相位最大值;相位提升;Wirter流量
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Mondelli}和\textit{A.Montanari}，已找到。计算。数学。19，第3号，703--773（2019；Zbl 1464.62296）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Arora，S.，Ge，R.，Ma，T.，Moitra，A.：稀疏编码的简单、高效和神经算法。摘自：学习理论会议（COLT），第113-149页。法国巴黎（2015）
[2] Bahmani，S.，Romberg，J.：相位检索满足统计学习理论：灵活的凸松弛。In：程序。第20届国际人工智能与统计会议（AISTATS），第252-260页。佛罗里达州劳德代尔堡（2017）·Zbl 1408.62032号
[3] Bai，Z.，Yao，J.：关于广义尖峰种群模型中的样本特征值。《多元分析杂志》106，167-177（2012）·Zbl 1301.62049号 ·doi:10.1016/j.jmva.2011.10.009
[4] Balan，R.，Casazza，P.，Edidin，D.：关于无相位信号重建。应用和计算谐波分析20（3），345-356（2006）·1090.94006兹罗提 ·doi:10.1016/j.acha.2005.07.001
[5] Bandeira，A.S.、Cahill，J.、Mixon，D.G.、Nelson，A.A.：保存阶段：阶段恢复的注入性和稳定性。应用和计算谐波分析37（1），106-125（2014）·Zbl 1305.90330号 ·doi:10.1016/j.acha.2013.10.002
[6] Barbier，J.、Krzakala，F.、Macris，N.、Miolane，L.、Zdeborová，L.：广义线性模型中的相变、最优误差和消息传递的最优性（2017）。arXiv:1708.03395·Zbl 1416.62421号
[7] Barbier，J.，Macris，N.，Dia，M.，Krzakala，F.：随机线性估计中近似消息传递的互信息和最优性（2017）。arXiv:11311.2445·Zbl 1446.94018号
[8] Bayati，M.、Lelarge，M.和Montanari，A.：多面体相变和消息传递算法的普遍性。应用概率年鉴25（2），753-822（2015）·Zbl 1322.60207号 ·doi:10.1214/14-AAP1010
[9] Bayati，M.，Montanari，A.：密集图形上消息传递的动力学，以及压缩感知的应用。IEEE传输。通知。理论57664-785（2011）·Zbl 1366.94079号 ·doi:10.1109/TIT.2010.2094817
[10] Bayati，M.，Montanari，A.：高斯矩阵的LASSO风险。IEEE传输。通知。理论58（4），1997-2017（2012）·Zbl 1365.62196号 ·doi:10.1109/TIT.2011.2174612
[11] Belinschi，S.T.、Bercovici，H.、Capitaine，M.、Février，M.：大变形酉不变模型谱中的异常值（2015）。arXiv公司：1412.4916·Zbl 1412.60014号
[12] Benaych-Georges，F.，Nadakuditi，R.R.：大型随机矩阵有限低秩扰动的特征值和特征向量。数学进展227（1），494-521（2011）·Zbl 1226.15023号 ·doi:10.1016/j.aim.2011.02.007
[13] Cai，T.T.，Li，X.，Ma，Z.：通过阈值Wirtinger流进行噪声稀疏相位恢复的最佳收敛速度。《统计年鉴》44（5），2221-2251（2016）·Zbl 1349.62019号 ·doi:10.1214/16-AOS1443
[14] Candès，E.J.、Eldar，Y.C.、Strohmer，T.、Voroninski，V.：通过矩阵补全进行相位恢复。SIAM评论57（2），225-251（2015）·Zbl 1344.49057号 ·doi:10.1137/151005099
[15] Candès，E.J.，Li，X.，Soltanolkotabi，M.：编码衍射图案的相位恢复。应用和计算谐波分析39（2），277-299（2015）·Zbl 1329.78056号 ·doi:10.1016/j.acha.2014.09.004
[16] Candès，E.J.，Li，X.，Soltanolkotabi，M.：通过Wirtinger流进行相位恢复：理论和算法。IEEE传输。通知。理论61（4），1985-2007（2015）·Zbl 1359.94069号 ·doi:10.1109/TIT.2015.2399924
[17] Candès，E.J.、Strohmer，T.、Voroninski，V.：相位提升：通过凸规划从幅度测量中准确稳定地恢复信号。《纯粹数学与应用数学交流》66（8），1241-1274（2013）·Zbl 1335.94013号 ·doi:10.1002/第21432页
[18] Chen，Y.，Candès，E.J.：求解随机二次方程组几乎和求解线性方程组一样容易。在：《神经信息处理系统的进展》，第739-747页（2015）
[19] Chen，Y.，Candès，E.J.：投影功率法：基于两两差异的联合对齐高效算法（2016）。arXiv:1609.05820·Zbl 1480.90199号
[20] Chen，Y.，Candès，E.J.：求解随机二次方程组几乎与求解线性系统一样容易。纯数学与应用数学交流70，0822-0883（2017）·Zbl 1379.90024号 ·doi:10.1002/cpa.21638
[21] Conca，A.，Edidin，D.，Hering，M.，Vinzant，C.：相位反演中内射性的代数表征。应用和计算谐波分析38（2），346-356（2015）·Zbl 1354.42003年 ·doi:10.1016/j.acha.2014.06.005
[22] 科尔贝特，J.V.：泡利问题、国家重建和量化数字。数学物理报告57（1），53-68（2006）·Zbl 1110.81007号 ·doi:10.1016/S0034-4877（06）80008-X
[23] Davis，C.，Kahan，W.M.：特征向量的扰动旋转。三、 SIAM数值分析杂志7（1），1-46（1970）·Zbl 0198.47201号 ·doi:10.1137/0707001
[24] Decelle，A.，Krzakala，F.，Moore，C.，Zdeborová，L.：模块化网络随机块模型的渐近分析及其算法应用。《物理评论》E 84（6），066106（2011）·doi:10.1103/PhysRevE.84.066106
[25] Demanet，L.，Jugnon，V.：干涉测量的凸恢复。IEEE传输。计算成像3（2），282-295（2017）·doi:10.1109/TCI.2017.2688923
[26] Deshpande，Y.，Montanari，A.：在近似线性时间内发现大小为[sqrt{N/e}\sqrt{N/e}]的隐藏团。计算数学基础第1-60页（2013年）·Zbl 1347.05227号
[27] Dhifallah，O.，Lu，Y.M.：PhaseMax对相位检索的基本限制：副本分析（2017）。arXiv:1708.03355
[28] Dhifallah，O.，Thrampoulidis，C.，Lu，Y.M.：通过线性规划进行相位恢复：基本限制和算法改进。收录：第55届Allerton通信、控制和计算年会（2017年）。arXiv:1710.05234
[29] Donoho，D.L.，Javanmard，A.，Montanari，A.：信息——通过空间耦合和近似消息传递实现理论上最优的压缩感知。IEEE传输。通知。理论59（11），7434-7464（2013）·Zbl 1364.94120号 ·doi:10.1109/TIT.2013.2274513
[30] Donoho，D.L.，Maleki，A.，Montanari，A.：压缩传感的消息传递算法。美国国家科学院院刊10618914-18919（2009）·doi:10.1073/pnas.0909892106
[31] Donoho，D.L.，Maleki，A.，Montanari，A.：压缩传感中的噪声敏感性相变。IEEE传输。通知。理论57（10），6920-6941（2011）·Zbl 1365.94094号 ·doi:10.1109/TIT.2011.2165823
[32] Donoho，D.L.，Montanari，A.：高维稳健M估计：通过近似消息传递的渐近方差。概率论及相关领域166（3-4），935-969（2016）·Zbl 1357.62220号 ·doi:10.1007/s00440-015-0675-z
[33] Duchi，J.C.，Ruan，F.：求解（大多数）一组二次方程：稳健相位恢复的复合优化（2017）。arXiv:1705.02356·Zbl 1478.90084号
[34] Fienup，J.R.：相位恢复算法：比较。应用光学21（15），2758-2769（1982）·doi:10.1364/AO.21.002758
[35] Fienup，J.R.，Dainty，J.C.：天文学的相位检索和图像重建。图像恢复：理论与应用第231-275页（1987年）
[36] Gerchberg，R.W.：从图像和衍射平面图像确定相位的实用算法。Optik 35，237-246（1972）
[37] Goldstein，T.，Studer，C.：Phasemax:通过基追踪的凸相位恢复（2016）。arXiv:1610.07531·Zbl 1390.94194号
[38] Harrison，R.W.：结晶学中的相位问题。《美国光学学会期刊》A 10（5），1046-1055（1993）·doi:10.1364/JOSAA.10.01046
[39] Horn，R.A.，Johnson，C.R.：矩阵分析。剑桥大学出版社（2012）
[40] Jain，P.、Netrapalli，P.和Sanghavi，S.：使用交替最小化完成低秩矩阵。In：程序。第45届ACM交响乐团。关于计算理论（STOC），第665-674页。ACM，加利福尼亚州帕洛阿尔托（2013）·Zbl 1293.65073号
[41] Javanmard，A.，Montanari，A.：一般近似消息传递算法的状态演化，以及空间耦合应用。信息和推断第115-144页（2013年）·Zbl 1335.94015号
[42] Kabashima，Y.、Krzakala，F.、Mézard，M.、Sakata，A.、Zdeborová，L.：贝叶斯最优矩阵因式分解中的相变和样本复杂性。IEEE传输。通知。理论62（7），4228-4265（2016）·兹比尔1359.94109 ·doi:10.1109/TIT.2016.2556702
[43] Karoui，N.E.：非规则和脊规则高维稳健回归估计量的渐近行为：严格结果（2013年）。arXiv:1311.2445
[44] Keshavan，R.H.，Montanari，A.，Oh，S.：从几个条目中完成矩阵。IEEE传输。通知。理论56（6），2980-2998（2010）·Zbl 1366.62111号 ·doi:10.10109/TIT.2010.2046205
[45] Krzakala，F.，Mézard，M.，Zdeborová，L.：盲校准和字典学习的相图和近似信息传递。In：程序。IEEE国际信息研讨会。理论（ISIT），第659-663页。土耳其伊斯坦布尔（2013）
[46] Lee，K.，Li，Y.，Junge，M.，Bresler，Y.：从次采样卷积中盲恢复稀疏信号。IEEE传输。通知。理论63（2），802-821（2017）·Zbl 1364.94261号 ·doi:10.1109/TIT.2016.2636204
[47] Li，G.，Gu，Y.，Lu，Y.M.：使用迭代投影进行相位恢复：大系统中的动力学极限。In：程序。第53届社区Allerton年会。，控制与计算（Allerton），第1114-1118页。伊利诺伊州蒙蒂塞洛（2015）
[48] Li，X.，Ling，S.，Strohmer，T.，Wei，K.：通过非凸优化实现快速、稳健和可靠的盲反褶积（2016）。arXiv公司：1606.04933·Zbl 1422.94013号
[49] Lu，Y.M.，Li，G.：高维非凸估计谱初始化的相变（2017）。arXiv:1702.06435
[50] Marčenko，V.A.，Pastur，L.A.：某些随机矩阵集合中特征值的分布。Mat.Sb.（N.S.）72，457-483（俄语）（1967年）·Zbl 0162.22501号
[51] Miao，J.，Ishikawa，T.，Shen，Q.，Earnest，T.：扩展X射线结晶学，以允许非晶体材料、细胞和单蛋白复合物的成像。每年。物理版。化学。59, 387-410 (2008) ·doi:10.1146/annurev.physchem.59.032607.093642
[52] Millane，R.P.：晶体学和光学中的相位恢复。《美国光学学会期刊》A 7（3），394-411（1990）·doi:10.1364/JOSAA.7.00394
[53] Montanari，A.，Richard，E.：非负主成分分析：消息传递算法和尖锐渐近。IEEE传输。通知。理论62（3），1458-1484（2016）·Zbl 1359.62224号 ·doi:10.10109/TIT.2015.2457942
[54] Montanari，A.，Venkataramanan，R.：通过近似消息传递对低秩矩阵的估计（2017）。arXiv:1711.01682·Zbl 1461.62070号
[55] Mossel，E.、Neeman，J.、Sly，A.：块模型的信念传播、稳健重建和最佳恢复。摘自：学习理论会议（COLT），第356-370页。西班牙巴塞罗那（2014）·Zbl 1350.05154号
[56] Mossel，E.，Xu，J.：度相关随机块体模型中的密度演化。摘自：学习理论会议（COLT），第1319-1356页。纽约州纽约市（2016年）
[57] Netrapalli，P.、Jain，P.和Sanghavi，S.：使用交替最小化进行相位恢复。摘自：《神经信息处理系统进展》，第2796-2804页（2013年）·Zbl 1394.94421号
[58] Neykov，M.，Wang，Z.，Liu，H.：错误指定的相位恢复模型的不确定性估计。摘自：《神经信息处理系统进展》，第4089-4097页（2016年）
[59] Oymak，S.，Thrampoulidis，C.，Hassibi，B.：广义LASSO的平方误差：精确分析。In：程序。第51届社区Allerton年会。，控制与计算（Allerton），第1002-1009页。伊利诺伊州蒙蒂塞洛（2013）
[60] Plan，Y.，Vershynin，R.：具有非线性观测的广义套索。IEEE信息理论汇刊62（3），1528-1537（2016）·Zbl 1359.94153号 ·doi:10.1109/TIT.2016.2517008
[61] Rangan，S.：随机线性混合估计的广义近似消息传递。In：程序。IEEE国际信息研讨会。理论（ISIT），第2168-2172页。圣彼得堡（2011）
[62] Rangan，S.，Goyal，V.K.：有界噪声下的递归一致性估计。IEEE传输。通知。理论47（1），457-464（2001）·Zbl 1002.94517号 ·doi:10.1109/18.904562
[63] Reeves，G.，Pfister，H.D.：使用高斯矩阵进行压缩传感的复制对称预测是准确的。In：程序。IEEE国际信息研讨会。理论（ISIT），第665-669页。西班牙巴塞罗那（2016）
[64] Schniter，P.，Rangan，S.：通过广义近似消息传递进行压缩相位恢复。IEEE信号处理汇刊63（4），1043-1055（2015）·Zbl 1394.94506号 ·doi:10.1109/TSP.2014.2386294
[65] Shechtman，Y.、Eldar，Y.C.、Cohen，O.、Chapman，H.N.、Miao，J.、Segev，M.：相位检索及其在光学成像中的应用：当代综述。IEEE信号处理杂志32（3），87-109（2015）·doi:10.1109/MSP.2014.2352673
[66] Silverstein，J.W.，Bai，Z.：大维随机矩阵的谱分析\[(2^{nd}2\]第二版）施普林格（2010）·Zbl 1301.60002号
[67] Silverstein，J.W.，Choi，S.I.：大维随机矩阵极限谱分布的分析。多元分析杂志54（2），295-309（1995）·Zbl 0872.60013号 ·doi:10.1006/jmva.1995.1058
[68] Soltanolkotabi，M.：从二次测量中恢复结构化信号：通过非凸优化打破样本复杂性障碍（2017）。arXiv:1702.06175·Zbl 1431.94025号
[69] Speicher，R.：自由卷积和矩阵的随机和。出版物。Res.Inst.数学。科学。29, 731-744 (1993) ·Zbl 0795.46048号 ·doi:10.2977/prims/1195166573
[70] Su，W.，Candès，E.J.：斜率适应未知稀疏性和渐近最小值。《统计年鉴》44（3），1038-1068（2016）·Zbl 1338.62032号 ·doi:10.1214/15-AOS1397
[71] Thrampoulidis，C.，Abbasi，E.，Hassibi，B.：具有非线性测量值的拉索等效于具有线性测量值的拉索。摘自：《神经信息处理系统进展》，第3420-3428页（2015年）
[72] Unser，M.，Eden，M.：泊松过程线性信号参数的最大似然估计。IEEE传输。灰尘。，语音和信号处理。36(6), 942-945 (1988) ·Zbl 0651.93063号 ·doi:10.1109/29.1613
[73] Venkataramanan，R.，Johnson，O.：高维估计的强逆界（2017）。arXiv公司：1706.04410·Zbl 1473.62113号
[74] Voiculescu，D.：随机矩阵和自由积的极限定律。《数学发明》104，201-220（1991）·Zbl 0736.60007号 ·doi:10.1007/BF01245072
[75] Waldspurger，I.，d'Aspremont，A.，Mallat，S.：相位恢复，最大割和复杂半定规划。数学规划149（1-2），47-81（2015）·Zbl 1329.94018号 ·doi:10.1007/s10107-013-0738-9
[76] Walther，A.：光学中的相位恢复问题。《现代光学杂志》10（1），41-49（1963）
[77] Wang，G.，Giannakis，G.B.：通过截断广义梯度流求解随机二次方程组。摘自：《神经信息处理系统进展》，第568-576页（2016年）
[78] Wang，G.，Giannakis，G.B.，Eldar，Y.C.：通过截断振幅流求解随机二次方程组（2016）。arXiv:1605.08285·Zbl 1390.90451号
[79] Wang，G.，Giannakis，G.B.，Saad，Y.，Chen，J.：求解几乎所有随机二次方程组（2017）。arXiv公司：1705.10407
[80] Wei，K.：通过Kaczmarz方法求解无相方程组：概念验证研究。反问题31（12）（2015）·Zbl 1332.65045号
[81] Yang，F.，Lu，Y.M.，Sbaiz，L.，Vetterli，M.：光子比特：使用二进制泊松统计进行过采样图像采集。IEEE传输。图像处理。21(4), 1421-1436 (2012) ·Zbl 1373.94849号 ·doi:10.1109/TIP.2011.2179306
[82] Zdeborová，L.，Krzakala，F.：推理的统计物理：阈值和算法。物理学进展65（5），453-552（2016）·doi:10.1080/00018732.2016.1211393
[83] Zhang，H.，Liang，Y.：用于求解二次方程组的重塑Wirtinger流。摘自：《神经信息处理系统进展》，第2622-2630页（2016年）
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