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叶卡捷琳娜·舒尔曼

关于集值次可加函数的度量稳定性。 （英语） Zbl 1532.39013号

Aequationes数学。 97，编号5-6，909-917（2023）.
设（G）是群，（X）是任意集。映射\（F:G\到2^X\）被称为次加法，如果\[F（gh）\子集F（g）\杯F（h），\]对于所有\（g，h\ in g\）。
设（M（Omega，mu）是测度空间的可测子集的（sigma）-代数。对于M（\Omega，\mu）中的\（A，B\），如果\（\mu（B\set-nus A）=0\），我们写\（A\set-B\）。在这个意义上，必须理解映射（F:G到M（Omega，mu））的次可加性条件。作者在她的论文中证明了[J.Funct.Anal.263，No.5，1468-1484（2012；Zbl 1259.39018号)]以下结果：
定理1。设（G\）是一个群，（F:G\ to M（Omega，mu）是一个子可加映射。如果\（\mu（F（g））\le a\），对于某些\（a>0\）和所有\（g\ in g\），则存在\（a\ in M（\Omega，\mu）\），使得\（\mu（a）\le 4a\）和\（F（g）\子集a\）对于所有\（g\ in g\）。
一个映射（F:G\到M（\Omega，\mu）\）被称为\（\delta\）-次加法，对于给定的\（\delta>0\），如果\（F（gh）\子集\ delta（F（G）\杯F（h））\）对于所有\（G，\cup F（h。
定理2。设（F:G\to M（\Omega，\mu）\）是群\（G\）上的一个（delta\）-次可加函数，并且对于所有\（G\in G\），（\mu（F（G））<a\）。假设\（delta<a/3）。然后有一个集合（K\subset\Omega），即（mu（K）\le6a\）和（F（g）\subset8\delta K\）。
在这篇漂亮的论文中，作者考虑了从群到度量空间的集值映射，并证明了稳定性的度量版本。
设\（X，d）为度量空间。对于\（Y\子集X\）和\（delta>0\），用\（O_{delta}（Y）\）表示X:d（X，Y）<\delta\}\）中\（O_{delta{）-邻域：。如果（F（gh）子集O_delta（F（G）cup F（h）））对G中的所有（G，h）都是映射（F:G到2^X），则称之为（delta）-次加法。
主要结果由以下定理给出：
定理。对于任何\（n \ in \ mathbb{n}）和\（\varepsilon>0），都有一个\（delta=delta（n，\varepsilon）\），这样如果\（F:G\ to 2^X\）是\（delta \）-次可加的和\（\ sup{G\ in G}|F（G）|len（X\）和\（|P|\le n（n+3）/2\）。此外，可以取\（\delta=\varepsilon/（3\cdot 6^{n-1}-1)\).
审核人：吉安·路易吉·福蒂（米兰）

MSC公司：

39B52号 具有更一般域和/或范围的函数的函数方程
39B62码 函数不等式，包括次可加性、凸性等。
54C60个 一般拓扑中的集值映射

关键词：

群上的集值映射;次可加性;度量空间;稳定性;群覆盖

引文：

Zbl 1259.39018号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{E.Shulman}，Aequationes数学。97，编号5--6，909--917（2023；Zbl 1532.39013）
全文： 内政部
OA许可证

参考文献：

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