米查·谢里尔;亚当·谢弗;约书亚·扎尔 改进了点和圆之间的关联边界。 （英语） Zbl 1371.52016年 梳子。普罗巴伯。计算。 24，第3期，490-520（2015）. 小结：我们建立了三维中（m）点和（n）圆之间发生次数的改进上界。先前最著名的界，最初是为平面情况建立的，后来扩展到任何维度2，是（O^*（m^{2/3}n^{2/3++m^{6/11}n^}9/11}+m+n），其中，\（O^*（\cdot）\）符号隐藏了多对数因子。由于所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球体）上，如果不先在平面中改进边界，就不可能改进（mathbb{R}^3）中的边界。然而，我们表明，如果圆集要求是“真正三维的”，即任何球体或平面都不包含超过（q）个圆，那么对于某些（qll n），则对于任何（epsilon>0），界限可以改进为\[O\bigl（m^{3/7+\epsilon}n^{6/7}+m^{2/3+\epsilen}n^}1/2}q^{1/6}+m_{6/11+\epsilon}n_{15/22}q_{3/22}+m+n\bigr）。\]对于各种参数范围（例如，}，当\（m=Theta（n）\）和\（q=o（n^{7/9}）\）），这个界限小于在二维中保持的下限\（Omega^*（m^{2/3}n^{2/3}+m+n）\。我们给出了新界的几个推广和应用。{（i）}对于所有圆都具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界（O（m^{5/11+\epsilon}n^{9/11}+m^{2/3+\epsilen}n^}1/2}q^{1/6}+m+n）。｛（ii）｝我们提出了一种改进的分析，该分析在任何固定的\（\ε＞0\）的\（m=O（n^｛3/2-\ε｝）\）时从界中删除了子多项式因子。{（iii）}我们使用我们的结果获得了由（mathbb{R}^3）中任意一组点决定的相互相似三角形数的改进界（O（{m}^{15/7}）。我们的结果是通过应用Guth和Katz的多项式分割技术，使用恒阶分割多项式得到的（Solymosi和Tao最近也使用过这种方法）。我们还依赖于分析、代数和组合几何中的各种其他工具。 引用于1审查引用于7文件 MSC公司： 52立方厘米 离散几何的埃尔德问题及相关主题 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Sharir}等人，库姆。普罗巴伯。计算。24，第3号，490--520（2015；Zbl 1371.52016） 全文： 内政部 参考文献： [1] Agarwal，P.K.、Apfelbaum，R.、Purdy，G.和Sharir，M.（2007）d日-维度点集。在程序。第23届ACM计算几何研讨会第232-238页·Zbl 1218.52021号 [2] Agarwal，P.K.，Matoušek，J.和Sharir，M.（2013）关于半代数集的范围搜索II。SIAM J.计算422039-2062。doi:10.1137/1208908553123833·Zbl 1285.68192号 [3] Agarwal，P.、Nevo，E.、Pach，J.、Pinchai，R.、Sharir，M.和Smorodinsky，S.（2004）《伪圆排列中的透镜及其应用》。J.协会计算。51139-186马赫。数字对象标识代码：10.1145/972639.972641·Zbl 1317.52031号 [4] Akutsu，T.、Tamaki，H.和Tokuyama，T.（1998）点集中距离和三角形的分布以及计算最大公共点集的算法。离散计算。地质20307-331。doi:10.1007/PL000093881649775·兹比尔0910.68216 [5] Alon，N.（1995）《高等代数工具》。《组合数学手册》第1卷、第2卷，爱思唯尔出版社，第1749-1783页·Zbl 0848.05073号 [6] Apfelbaum，R.和Sharir，M.（2011）三维非简并球体。组合概率。计算：20503-512。doi:10.1017/S0963548483110000102805394·Zbl 1222.52023号 [7] Aronov，B.、Koltun，V.和Sharir，M.（2005）三维及更高维中点和圆之间的发病率，离散计算。地质图33185-206。doi:10.1007/s00454-004-1111-92121292·兹比尔1080.68102 [8] Aronov，B.和Sharir，M.（2002）将圆圈切割成伪分段，并改进了发生率的界限。离散计算。几何28475-490。doi:10.1007/s00454-001-0084-11949895·Zbl 1050.68143号 [9] Basu，S.和Sombra，M.关于变量和四维点超曲面发生率的多项式分割。arXiv:1406.2144·Zbl 1332.13017号 [10] Beauville，A.（1996）《复代数曲面》，第二版，第34卷伦敦数学协会学生文本剑桥大学出版社·Zbl 0849.14014号 [11] Bochnak，J.、Coste，M.和Roy，M.（1998）《实代数几何》，施普林格出版社·Zbl 0912.14023号 [12] Brass，P.，模式识别中的组合几何问题。，离散计算。地理。，28, 495-510, (2002) ·Zbl 1011.68117号 ·doi:10.1007/s00454-002-2884-3 [13] Chazelle，B.、Edelsbrunner，H.、Guibas，L.J.、Sharir，M.和Stolfi，J.（1996）《空间中的线：组合数学和算法》。算法15428-447。doi:10.1007/BF019550431379151·Zbl 0846.68098号 [14] Cox，D.、Little，J.和O'Shea，D.（2004）《使用代数几何》，第二版，施普林格出版社。 [15] Cox，D.、Little，J.和O'Shea，D.（2007）《理想、多样性和算法：计算代数几何和交换代数导论》，第三版，Springer.2290010·Zbl 1118.13001号 [16] Elekes，G.、Kaplan，H.和Sharir，M.（2011）《三维线上、关节和发病率》。J.组合理论系列。A118962-977。doi:10.1016/j.jcta.2010.11.0082763049·Zbl 1232.05041号 [17] Elekes，G.和Sharir，M.（2011）平面中三维和不同距离的发病率。组合概率。计算20571-608。网址：10.1017/S0963548311001372805398·Zbl 1222.52016年 [18] Erdős，P.，关于n个点。，阿默尔。数学。月刊，53248-250，（1946）·Zbl 0060.34805号 ·doi:10.2307/2305092 [19] Fox，J.、Pach，J.，Sheffer，A.、Suk，A.和Zahl，J.扎兰基维奇问题的半代数版本，arXiv:1407.5705. ·Zbl 1362.05066号 [20] Fuchs，D.和Tabachnikov，S.（2007）《数学综合：古典数学三十讲》，AMS.2350979·Zbl 1318.00004号 [21] Fulton，W.，交集理论，（1998），Springer·Zbl 0885.14002号 [22] Guth，L.不同距离估计和低阶多项式分割。arXiv:1404.2321·Zbl 1317.52021号 [23] Guth，L.和Katz，N.H.（2010）Kakeya问题离散类似物中的代数方法。高级数学2252828-2839。doi:10.1016/j.aim.2010.05.0152680185·Zbl 1202.52022号 [24] Guth，L.和Katz，N.H.关于Erd在飞机上的不同距离问题。数学年鉴。，以显示。arXiv:1011.4105·Zbl 1310.52019年 [25] Harris，J.，《代数几何：第一课程》（1992年），施普林格出版社·Zbl 0779.14001号 [26] Hartshorne，R.，《代数几何》（1983），施普林格·Zbl 0532.14001号 [27] Hartshorne，R.，《几何：欧几里德及其后》，（2000），施普林格·Zbl 0954.51001号 [28] Hwang，J.M.，通过射影簇的一般点的给定次数曲线数的界。，合成数学。，141, 703-712, (2005) ·Zbl 1083.14062号 ·doi:10.1112/S0010437X0500117X [29] Kaplan，H.、Matoušek，J.、Safernová，Z.和Sharir，M.（2012）《三维单位距离》。组合概率。计算21597-610。doi:10.1017/S09635483120001442942731·Zbl 1250.52010年 [30] Kaplan，H.、Matoušek，J.和Sharir，M.（2012）通过Guth-Katz多项式分割技术对离散几何中经典定理的简单证明。离散计算。几何48499-517。doi:10.1007/s00454-012-9443-3·Zbl 1259.52008年 [31] Kaplan，H.、Sharir，M.和Shustin，E.（2010）《关于线路和接头》。离散计算。地质图44838-843。doi:10.1007/s00454-010-9246-32728035·Zbl 1250.52012年 [32] Landsberg，J.M.，线性空间包含在子流形中吗？关于需要计算的导数的数量。，J.Reine Angew。数学。，508, 53-60, (1999) ·Zbl 1067.14514号 [33] Landsberg，J.M.，《投影变种的线》。，J.Reine Angew。数学。，562, 1-3, (2003) ·Zbl 1041.51011号 [34] Marcus，A.和Tardos，G.（2006）《交叉口反向序列和几何应用》。J.组合理论系列。A113675-691。doi:10.1016/j.jcta.2005.07.0022216460·Zbl 1140.05022号 [35] Matoušek，J.，《离散几何讲座》（2002年），施普林格出版社·Zbl 0999.52006号 [36] Milnor，J.，《关于实际品种的Betti数》。，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，第15期，第275-280页，（1964年）·Zbl 0123.38302号 ·doi:10.1090/S0002-9939-1964-0161339-9 [37] Miranda，R.（1995）代数曲线和黎曼曲面，第5卷，共页数学研究生课程，AMS·Zbl 0820.14022号 [38] Nilov，F.和Skopenkov，M.（2013）包含通过每个点的线和圆的曲面是二次曲面。地理。迪卡塔163301-310。doi:10.1007/s10711-012-9750-03032696·Zbl 1273.14077号 [39] Pach，J.和Sharir，M.（2004）几何发病率。《走向几何图形理论》（Pach，J.，ed.），第342卷当代数学，AMS，第185-223页。doi:10.1090/conm/342/06151·兹比尔1072.52012 [40] 基洛德兰，R.，关节问题卢比.，SIAM J.离散数学。，23, 2211-2213, (2010) ·Zbl 1228.05106号 ·doi:10.1137/090763160 [41] Roy，M.-F.和Vorobjov，N.（2002）半代数集的复杂性和程度。数学。字239131-142。doi:10.1007/s0020901002871879332·Zbl 1056.14079号 [42] Salmon，G.（1915）《三维解析几何论》，第二卷，第五版，Hodges，Figgis and Co.Ltd.，都柏林。 [43] Sard，A.，可微映射临界值的度量。，牛市。阿默尔。数学。社会，48883-890，（1942）·Zbl 0063.06720号 ·doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 [44] Sharir，M.和Solomon，N.（2014）四个维度中点和线之间的发病率。在程序。第30届ACM计算几何研讨会, 189-197. ·Zbl 1395.51005号 [45] Solymosi，J.和Tao，T.（2012）高维中的一个关联定理。离散计算。几何48255-280。doi:10.1007/s00454-012-9420-x2946447·Zbl 1253.51004号 [46] Székely，L.，离散几何中的交叉数和硬Erdős问题。，组合概率。计算。，6, 353-358, (1997) ·Zbl 0882.52007号 ·doi:10.1017/S0963548397002976 [47] Thom，R.（1965）《各种代数同系物的研究》。《微分和组合拓扑》（Cairns，S.S.编辑），普林斯顿大学出版社，第255-265页·Zbl 0137.42503号 [48] Warren，H.E.，非线性流形逼近的下限。，事务处理。阿默尔。数学。《社会学杂志》，133167-178，（1968）·Zbl 0174.35403号 ·doi:10.1090/S0002-9947-1968-0226281-1 [49] Whitney，H.，实代数簇的基本结构。，数学年鉴。，66, 545-556, (1957) ·Zbl 0078.13403号 ·doi:10.2307/1969908 [50] Zahl，J.，三维点-面入射数的改进界。，控制离散数学。，8, 100-121, (2013) ·Zbl 1317.52022号 [51] Zahl，J.《ℝ4.arXiv:1203.4600》中的Szemerédi-Trotter型定理·Zbl 1329.52016年 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。