约翰·布里尔哈特;帕特里克·莫顿 二次域的类数、椭圆曲线的Hasse不变量和超奇异多项式。 （英语） Zbl 1083.11036号 J.数论 106，第1期，第79-111页（2004年）. 本文的主要发现（定理1）是检测到线性响应的数量之间的密切联系。勒让德形式椭圆曲线的Hasse不变量（W_m（X））的模二次因子\（p\），其中\（p>3\）是素数\[Y^2=X（X-1）（X-\λ）\]复二次域（{mathbbQ}（\sqrt{-p}）的类数（h（-p））。在\（W_m（X）\）中，取整数\[m=\压裂{p-1}{2}，\；\裂缝{p-1}{3}，\；\压裂｛p-2｝｛3｝，\；\裂缝{p-1}{4}，\；\裂缝{p-3}{4}，\]考虑\（p\bmod 2,3\）和\（4\），以及值\（x=\lambda\）\（W_m（X））不应与基本域（K）的Hasse不变量（gamma）模平方混淆，该不变量与（j）不变量一起表征了域上椭圆曲线的同构类[参见P.罗奎特《局部域上椭圆函数的分析理论》（Vandenhoeck&Ruprecht，Göttingen）（1970；Zbl 0194.5202号)]. 在\（W_m（X）\）和勒让德多项式\（P_m（X）\bmod P \）之间有恒等式\[W_m（X）=（1-X）^m P_m\biggl（\frac{1+X}{1-X}\biggr）。\]有些复杂的证明基本上是经典的。它引用了Hasse和Deuring的旧结果，特别是函数场的亚纯态理论。当然，也应用了较新的结果，我们只提到了Kaneko-Zagier、Elkies和N.Yui的论文，以及Husemöller和Silverman关于椭圆曲线的教科书，以及Cox关于某些素数的教科书，其中也包含关于椭圆曲线和复二次域的重要结果。总之，参考部分相当全面。附录中陈述了哈斯的书中佩莱-斯克尔伯格-沃罗诺伊（Pellet-Stocklberger-Voronoi）的一个著名定理，并将其归因于斯蒂克伯格（Stickelberger），纳基维茨（Narkiewicz）的书中的佩莱和斯蒂克伯格。出版物中应用了这个定理的一个稍微广义的版本。在本文中，Hessian椭圆曲线的Hasse不变量\[y ^2+axy+y=x ^3\]也起着重要作用。评论家评论：很有意思的是，通过从一个大类数的复二次域（{mathbbQ}（\sqrt{-p}））出发，找出定理1是否可以用来构造（{matHBbQ}\）上的高秩椭圆曲线。这一点在Jordi Quer关于Mordell椭圆曲线的论文中得到了成功的实现，Mordell的椭圆曲线不是特别被称为（{mathbb Q}）上的高秩曲线[J.奎尔，Sobra el 3-rang del cosso quadratics i la corba ellipoptica（Y^2=X^3+M）。巴塞罗那（1987）]。审核人：霍斯特·齐默（萨尔布吕肯） 引用于1审查引用于30文件 理学硕士： 11克05 全局场上的椭圆曲线 11兰特29 类号、类群、判别式 14K15型 阿贝尔变种的算术地面场 11兰特 二次扩展 14H25号 曲线的算术地面场 关键词：椭圆曲线;二次场;类别编号;哈斯不变量;勒让德形式;亚同态;超奇异的 引文：Zbl 0194.5202号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Brillhart}和\textit{P.Morton}，《数论》106，第1期，第79-111页（2004；Zbl 1083.11036） 全文： 内政部 参考文献： [1] 安德鲁斯·G。；阿斯基，R。；Roy，R.，《特殊函数》，《数学及其应用百科全书》，第71卷（1999年），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社·Zbl 0920.33001号 [2] Brualdi，R.A.，《组合数学导论》（1977年），爱思唯尔北-荷兰德：爱思唯尔北-霍兰德纽约·Zbl 0385.05001号 [3] Carlitz，L.，奇异椭圆函数的系数，数学。安纳伦，127162-169（1954）·Zbl 0055.27004 [4] Carlitz，L.，特殊椭圆函数的同余性质，Monatsh。数学。，58, 77-90 (1954) ·Zbl 0058.27305号 [5] L.Carlitz，勒让德多项式的一些算术性质，Proc。剑桥菲洛斯。Soc.，第53卷，第2部分，1957年，第265-268页。；L.Carlitz，勒让德多项式的一些算术性质，Proc。剑桥菲洛斯。Soc.，第53卷，第2部分，1957年，第265-268页·Zbl 0087.03703号 [6] Carlitz，L.，勒让德多项式的一些算术性质，阿里思学报。，4, 99-107 (1957) ·Zbl 0089.02902号 [7] Chandrasekharan，K.，椭圆函数，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften，卷281（1985），Springer:Springer Berlin·Zbl 0575.33001号 [8] Cox，D.A.，形式的素数（x^2+ny^2），费马，类场理论和复数乘法（1989），威利：威利纽约·Zbl 0701.11001号 [9] de Shalit，E.，Kronecker多项式，超奇异椭圆曲线，模曲线的（p）-adic周期，Contemp。数学。，165, 135-148 (1994) ·Zbl 0863.14015号 [10] M.Deuring，《korrespondenzen代数的算术理论》，Funktitionnkörper I，II，J.Reine Angew。数学。177 (1937) 161-191, 183 (1941) 25-36.; M.Deuring，《korrespondenzen代数的算术理论》，Funktitionnkörper I，II，J.Reine Angew。数学。177 (1937) 161-191, 183 (1941) 25-36. 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