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亚伦·伯杰;阿什温·萨赫;梅塔布·索尼;乔纳森·提多尔（Jonathan Tidor）

矩阵模式的常见差异。 （英文） Zbl 1507.11015号

事务处理。美国数学。Soc公司。 375，第4号，2677-2704（2022）.
众所周知，使用P.瓦尔纳维德斯[J.Lond.Math.Soc.34358-360（1959年；Zbl 0088.25702号)]Roth定理[K.F.罗斯，J.Lond。数学。《社会学杂志》28、104–109（1953年；Zbl 0050.04002号)]可以加强三项算术级数，以保证在一个大小为（αN）的集合中至少有（c{α}N^2）个算术级数。已知常数\（c_{\alpha}\）在\（\alpha\）中不是多项式；特别是，修改了F.A.贝伦德[美国国家科学院院刊32，331–332（1946；Zbl 0060.10302号)]允许用\（alpha^{c\log（\frac1{alpha}）}N^2）三项算术级数构造集合。B.绿色【地理功能分析15，第2期，340–376（2005；Zbl 1160.11314号)]结果表明，一个人有一个“流行”的差异\（d\neq 0\），即一个值\（d\in[N]\），使得\（\#\{a:a，a+d，a+2d\inA\}\geq（\alpha^3-o（1））N\）。
人们可能会问更普遍的模式的流行程度，例如\（\｛0，1，2，4 \｝\），也就是说，模式是\（（a，a+d，a+2d，a+4d）\）。证明B.绿色和陶哲轩【Bolyai Soc.Math.Stud.21，261-334（2010；Zbl 1222.11015号)]（和[B.绿色，in：加法组合。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。69–102 (2007;Zbl 1138.43001号)]在有限域上）立即扩展到形式为（{0，k1，k2，k1+k2）和（k1k2（k1+K2）\neq0）的“平行四边形”图案。的工作A.Sah公司等人【离散分析2021，第8号论文，第30页（2021；Zbl 1497.11032号)]显示两点、三点和这些特定的“平行四边形”四点模式是\（\mathbb{Z}\）上唯一流行的模式。
许多作者也研究了高维模式的流行性。如果一个三点模式可以用\（overrightarrow{x}，\ overrightarrow{x}+M_1\ overright arrow}+d}，\overrightarrow{x-}+M_2\ overrghtarrow\d}）和\（overlightarrow{x}，\ overlightArrow{d}，k\）维向量的形式来表示，其中\（M_1，M_2）是可逆的\（k\乘以k\）矩阵，\（M_1-M_2）也是可逆的，则它是满秩的。
本文作者证明的第一个结果是关于满秩三点模式的，其表述如下：设（M_1，M_2）是（k乘k）整数矩阵，使（M_1-M_2）可逆。对于任何\（\alpha，\varepsilon>0\），都存在\（N_0（\alfa，\valepsilon，M_1，M_2）\），因此如下所示。如果\（N\geq N_0\），那么对于任何\（A\substeq[N]^k，|A|\geq\alpha N^k），都有一个普遍的差异\-\varepsilon）N^k\）。
四点模式在遍历理论工作中自然出现E.阿克斯伯格等【离散分析2021，论文编号18，91 p.（2021；Zbl 07471818号)]. 在矩阵的四点模式中，作者考虑了全秩模式，即形式为\（overrightarrow{x}，\ overrightarrow{x}+M_1\ overright arrow}d}，\overrightarrow{x}+M_2\ overrghtarrow[d}），其中\（M_3=M_1+M_2）和所有\（k\乘以k\）矩阵\（M_1，M_2，M_1+M2\）的模式是可逆的。人们可能会猜测，矩阵上的这些条件（满秩条件）足以保证常见的差异。本文作者通过证明图案上附加光谱条件的必要性，证明了这种猜测是不正确的。利用这一点，他们回答了一个关于E.阿克斯伯格等【离散分析2021，论文编号18，91 p.（2021；Zbl 07471818号)]对于有限阿贝尔群一般为假。他们的第二个结果如下。
修正（k\geq1）和（p\）一个奇素数。设（M_1，M_2）是系数为（mathbb）的（k乘k）矩阵{F} （p）\)这样，（M_1，M_2，M_1-M_2）和（M_1+M_2）是可逆的，并且没有（M_1M_2^{-1}）的一对特征值（从代数闭包上看{F} （p）}\))彼此都是消极的。对于\（\alpha，\varepsilon>0\），存在\（n_0（\alfa，\valepsilon，p）\），如下所示。如果\（n\geq n_0\），则对于任何\（A\subseteq（\mathbb{F} （p）^n） ^k，|A|\geq\alpha p^{nk}\），有一个常见的区别\（\overrightarrow{d}\neq 0\），因此\（\#\{overrightarrow{x}\ in（\mathbb{F} （p）^n） ^k:\overrightarrow｛x｝，\overrightarrow｛x｝+M_1\overrightarrow｛d｝，\overrightarrow｛x｝+M_2\overrightarrow｛d｝，\overrightarrow｛x｝+（M_1+M_2）\overrightarrow｛d｝\在A\｝\geq（\alpha^4-\varepsilon）p^｛nk｝\）中。事实上，存在\（\overrightarrow｛d｝\）的\（\Omega_｛\alpha，\varepsilon，p｝（p^｛nk｝）\）值。
第二个结果中的谱条件不能完全消除，因为作者证明了以下定理。有一个绝对常数（c>0），如下所示。如果\（α\ in（0，c）\），那么对于所有足够大的\（n）（取决于\（α{F} _5个^n） ^2）在A\}\leq（1-c）\alpha^45^{2n}中满足（|A|\geq\alpha5^{2n}）和（max_{（A，b）\neq0}\#{（x，y）：（x，y），（x+A，y+b），（x+b，y-A），（x+A+b，y+b-A）。
这与作者处理所有紧阿贝尔群且不需要额外谱条件的三点模式形成了令人惊讶的对比。
审核人：C.P.Anil Kumar（安得拉邦）

引用于1审查
引用于三文件

MSC公司：

11B30型 算术组合学；高度均匀性
99年5月 极值组合学
11对25 算术级数

引文：

Zbl 0088.25702号;Zbl 0050.04002号;兹比尔0060.10302;Zbl 1160.11314号;Zbl 1222.11015号;Zbl 1138.43001号;Zbl 1497.11032号;Zbl 07471818号
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\textit{A.Berger}等人，翻译。美国数学。Soc.375，No.4，2677--2704（2022；Zbl 1507.11015）
全文： 内政部 arXiv公司

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