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窦新源;任广斌;伊琳·萨巴迪尼

切片正则函数在非轴对称域中的扩张定理和表示公式。 （英语） Zbl 07755545号

《欧洲数学杂志》。社会（JEMS） 25，第9号，3665-3694（2023）。
这项工作是切片-规则四元数函数，由G.龙胆和D.C.斯特拉帕[C.R.，数学，巴黎科学院342，No.10，741-744（2006；Zbl 1105.30037号)]. 这一发展涉及到一个已知的扩展现象，并始于前两位作者的论文[“四元数上的黎曼切片域I”，Preprint，arXiv公司：1808.06994].
让\（mathbb{H}=\mathbb}R}+i\mathbb2{R}+j\mathbb{R}+k\mathbp{R}\）表示四元数的实代数，让\（\Omega\substeq\mathba{H}\）。在（Omega）的适当假设下，切片正则函数（f:Omega to mathbb{H}）在许多方面类似于一个复变量的全纯复函数，但由于非交换设置而表现出一些特殊性。该理论最初是在\（\Omega\）是一个（适当定义）的情况下发展起来的切片域并且相对于实轴（mathbb{R}）具有轴对称性。由于一个已知的扩展公式，大约十年来，对称性假设被错误地认为不是限制性的。换句话说，通常认为片域（\Omega）上的正则函数会自动扩展到对称完成\（\Omega）的（\widetilde\Omega\），即到\（\mathbb{H}\）的最小对称子集，包括\（\Omega\）。
在[loc.cit.，§2]中，前两位作者构建了切片域（\Omega）和正则函数（f:\Omega\to\mathbb{H}）的聪明示例，使得（f\）不能扩展到（\widetilde\Omeca）。这是正则函数理论一个新阶段的开始，该阶段的重点是利用扩展公式，同时考虑到这个反例所揭示的微妙之处。在这一新阶段，一些文献在没有对称假设的情况下研究了片域上的正则函数，证明了这些函数的局部扩张定理，并在\（\Omega\）上建立了保证全局扩张到\（\widetilde\Omega\）的充分条件。
在本文中，作者选择了不同的方法。他们放弃了（Omega）是（mathbb{H}=mathbb}R}^4）的开放子集的假设，并采用了切片拓扑定义见[同上，定义3.1]。该拓扑严格比欧几里德拓扑精细，也严格比\（\sigma\）-拓扑（以前是在正则函数的幂级数展开的上下文中构造的）。从某种意义上说，它是最好的拓扑结构，允许自然概括切片正则函数的概念，在[loc.cit.，Definition 4.1]中执行。在这个设置中，目前的工作证明了正则函数的一些重要性质的非常全面的版本：恒等原理、表示公式和扩张引理。为了证明最后两个结果，作者将阀杆功能和切片函数，由于[R.吉洛尼和A.佩罗蒂高级数学。226，第2期，1662-1691（2011年；Zbl 1217.30044号)]. 为了证明表示公式，作者还使用了路径片函数目前的工作包括窦和任的反例的变体。它以对切片规则域，定义类似于复函数的全形域的概念。
审核人：卡特琳娜·斯托帕托（费伦泽）

引用于三文件

MSC公司：

30G35型 超复数变量和广义变量的函数

关键词：

切片正则函数;四元数;延伸现象;表示公式

引文：

Zbl 1217.30044号;兹比尔1105.30037
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{X.Dou}等人，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）25，编号9，3665-3694（2023；Zbl 07755545）
全文： 内政部 arXiv公司

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