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Lee，Yoonjin先生;哟，金珠

有理函数域上Kummer扩张的除数类数的不可见性。 （英语） Zbl 1415.11163号

J.数论 192270-292（2018）.
设（K）是度为（ell）的有理函数域（K={mathbbF}_q（T））上的Kummer扩张，其中（{mathbb F}_q\）是阶为（q）的有限域，（ell是（q-1）的素除数。在本文的定理1.1和1.2中，作者分别获得了关于（K）的除数类数（h_K）在两种情况下不可分性的结果。
在第一种情况下，他们假设\（k）的无穷素数分支于\（k），并证明\（h_k）不可被\（ell）整除当且仅当存在\（k。此外，当\（h_K\）不能被\（\ell\）整除时，则为\（h.K\equiv 1\pmod\ell）。等价地，\（K\）的除数类数\（h_K\）可被\（\ell\）整除，当且仅当\（K\）存在至少两个在\（K\）中分支的有限素数。
在第二种情况下，假设\（k）的无穷素数在\（k）中是非族的。在这种情况下，作者证明了（h_K\）不可被\（\ell\）整除当且仅当\（K\）的分支在\（K\）中的有限素数最多为2，并且下列三种情况之一成立：
（i）
\（K\）是\（K\）上的未分类扩展；
（ii）
如果在\（k\）中分支的\（k\）只有一个有限素数，那么\（k~）的亏格可以被\（ell\）整除;
（iii）
如果正好有两个阶分别为（d_1）和（d_2）的有限素数\（P_1）和\（P_2），它们分支在\（k）中，那么\（i=\text{1}\）或\（i=\text{2}\）的\（d_i\不等于0\pmod\ell\）。
在所有三种情况下（i）、（ii）和（iii），我们都有（h_K\equiv 1\pmod\ell）。
利用上述不可分性准则，作者在定理1.3中获得了最大实分圆函数域的无穷族，其除数类数可被\（\ ell\）整除，其中\（\ ll\）是\（q-1）的素除数。更准确地说，对于{mathbb F}_q[T]中的不可约一元多项式（P（T）），let（k（Lambda{P}）和（k（Lambda{P}）^+）分别表示第（P）个分圆函数域及其最大实子域。设\（d）是一个偶数整数，使得\（q^{d/2}+1）是无平方的，并且\（4；|；d）if\（ell=2\）。设{mathbb F}_q[T]\中的（P_0（T）是可被（ell）整除的度为（d）的不可约一元多项式。设（alpha）是（{mathbbF}_q\）的代数闭包（上划线{mathbb F}_q）中（P_0（T）的根，设（q=q^d）。然后存在一个满足以下条件的素数\（m\）：
（i）
\（阿尔法不在（{mathbb F}_Q）^m\中）;
（ii）
\（m；|；Q-1）。
现在，对于一个非负整数，设（P_n（T）=P_0（T^{m^n}），并且设（K_n=K（sqrt[\ell]{P_n。然后，对于每个\（n\），\（K_n\）的除数类数可以除以\（\ell\）。此外，对于每个\（n），\（k（\Lambda_{P_n}）^+\）都有可被\（ell\）整除的除数类数。
在论文的最后部分，作者给出了一些示例来说明他们的结果。
审核人：詹姆斯·卡特（查尔斯顿）

引用于三文件

MSC公司：

11兰特29 类号、类群、判别式
11卢比 代数函数域的算术理论

关键词：

Kummer延伸段;类别编号;分圆函数场;全局函数字段
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.Lee}和textit{J.Yoo}，J.数论192，270--292（2018；Zbl 1415.11163）
全文： 内政部

参考文献：

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