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加布里埃尔·弗里登

格拉斯曼晶体上的仿射型几何晶体。 （英语） Zbl 1467.17016号

J.库姆。理论，Ser。A类 167, 499-563 (2019).
晶体是组合框架，它形式化了Kac-Moody李代数或量子群的表示。它们首先由Kashiwara和Lussigi在研究量子群上可积模的正则基（称为晶体基）时引入。晶体基是量子群或Kac-Moody李代数的生成元所作用的规范基。它们可以被视为Kac-Moody李代数表示的组合骨架。本文讨论了Grassmannians（Gr（k，n））上（A{n-1}^{（1）}）型几何晶体与上述组合晶体的联系。几何晶体与组合学之间的关系是通过热带几何和热带化函子实现的。作者考虑了Grassmannians（Gr（k，n））的某些参数化，这些参数化可以通过有理函数拉回，其中得到的地图可以进行热带化。优点是它们可以用晶体算符的普吕克坐标表示某些公式[G.弗里登，“A类仿射晶体的几何R矩阵”，预印本，arXiv：1710.07243;G.弗里登，摘自：《第28届正式幂级数和代数组合学国际会议论文集》，FPSAC 2016，加拿大温哥华，2016年7月4-8日。南希：协会。离散数学与理论计算机科学（DMTCS）。503–514 (2020;Zbl 1440.05216号);S.-J.康等，《作曲》。数学。92，第3期，299-325（1994年；Zbl 0808.17007号);S.-J.康等，《国际期刊》修订版。物理学。A 7449–484（1992年；Zbl 0925.17005号);M.卡西瓦拉、Commun。数学。物理学。133，第2期，249-260（1990年；Zbl 0724.17009号);M.卡西瓦拉杜克大学数学系。J.63，第2期，465–516（1991年；Zbl 0739.17005号);M.卡西瓦拉等，Trans。美国数学。Soc.360，第7期，3645–3686（2008年；Zbl 1219.17010号);M.卡西瓦拉等，代表。理论14，446–509（2010；Zbl 1220.17006号);G.卢斯提格，程序。数学。123, 531–568 (1994;Zbl 0845.20034号)].
一个（组合）晶体由一组（B）和一组映射给出
●
\（\widetilde{\gamma}:B\to（\mathbb{Z}（Z）_{\geq 0}）^n\）
●
\（\widetilde{\epsilon}_i:B\to\mathbb{Z}（Z）_｛\geq 0｝，\i\in\mathbb｛Z｝/n\）。
●
\（\widetilde{e} _ i，\宽波浪号{f} _ i：B\到（\mathbb{Z}（Z）_{\geq 0}）^n，\i\in\mathbb{Z}/n）。
称为满足特定条件列表（1–5）[第2.1节]的晶体运算符，
(1)
\（\widetilde{e} _ i（b） 当且仅当\（\widetilde{\epsilon}_i（b）>0\），并且当\（e_i（b）\）被定义时，\{e} _ i（b） ）=\widetilde{\epsilon}_i（b）-1\）；
(2)
\（\widetilde{f} _ i（b） 当且仅当\（\widetilde{\phi}_i（b）>0\），以及当\（\ widetilde{f} _ i（b） 定义了\），\（\widetilde{\phi}_i（\widestilde{f} _ i（b） ）=\widetilde{\phi}_i（b）-1\）；
(3)
\（\widetilde{e} _ i\)和\（\widetilde{f} _ i\)是部分倒数，即如果{e} _ i（b） 定义了\），然后是\（\widetilde{f} _ i（\widetilde{e} _ i（b） ）=b\），并且如果\（\widetilde{f} _ i（b） \）定义，然后\（\widetilde{e} _ i（\widetilde{f} _ i（b） ）=b\）；
(4)
\（\widetilde｛\phi｝_i（b）-\widetilde｛\epsilon｝_i（b）=\widetilde｛\alpha｝_i（\widetilde｛\gamma｝（b））\），其中\（\widetilde｛\alpha｝_i（a_1，\dots，a_n）=a_i-au｛i+1｝\）；
(5)
如果\（\widetilde{e} _ i（b） \）定义，则\（\widetilde｛\gamma｝（\widetilde{e} _ i（b） ）=\widetilde｛\gamma｝（b）+\widetilde｛\alpha｝_i^｛\vee｝（1）\），如果\（\widetilde{f} _ i（b） 定义了\），然后是\（\widetilde{\gamma}（\wide tilde{f} _ i（b） ）=\widetilde{\gamma}（b）+\widetelde{\alpha}_i^{\vee}（-1）），其中\（\widetailde{\alpha}_i ^{\ve}（m）=m（E_i-E_{i+1}），带\（E_i\）第（i）-个标准基向量。
（A{n-1}）型晶体与（A{n-1}^{（1）}型晶体包含相同的数据，但没有与（i=0）相关的映射。这些运算符可以在Young Tableaux和分区上定义或与之相关[D.碰撞和A.先令，水晶底座。表示和组合。新泽西州哈肯萨克：《世界科学》（2017；Zbl 1440.17001号);W.富尔顿《年轻的舞台》。应用于表示理论和几何学。剑桥：剑桥大学出版社（1997；Zbl 0878.14034号);B.罗兹，J.Comb。理论，Ser。A 117，第1期，38–76页（2010年；Zbl 1230.05289号);M.P.Schützenberger先生，离散数学。2, 73–94 (1972;Zbl 0279.06001号)]. 它还导致定义
●
促销（widetilde{pr}=widetilder{sigma}1\dots\widetilde{sigma}{n-1}）和
●
Schutzenberger对合（S=（widetilde{\sigma}_1）
其中，\（widetilde{\sigma}_i）是交换半标准杨表（SSYT）中的\（i）-th和\（i-1）-th数的对合[见第2.2.1]。我们考虑文本中的以下符号
●
Gelfand-Tsetlin模式是一个三角形（（A{ij}）{1\leqi\leqj\leqn}），这样（A{i，j+1}\geqA{ij}\geq A{i+1，j+1）。我们将Tableaux（T\）与Gelfand-Tsetlin模式相关联，这样在\（T\_{ij}-A_｛i，j-1｝\）。
●
\（R_k=\{（i，j）|1\leqi\leqk，i\leq j\leqn-k\}，\widetilde{\mathbb{T}}_k=\tathbb{Z}^{R_k}\times\mathbb{Z}\）中的元素用\（（B_ij}，L）\）表示\。给定\（（B_{ij}，L）\），让我们定义\[A_｛ij｝=\开始{案例}B_｛ij｝，\qquad\\\（i，j）\在R_k中\\A_{ij}=L\qquad j\geq i+n-k\\A_{ij}=0\qquad j<i\end{cases}\]将\（B^k\）设置为\（（B_{ij}，L）\），以便\（（A_{ij}）\）定义Gelfand-Tsetlin模式。一个有\[B^k=\bigsqup_k B^{k，L}\]
●
定义\（\widetilde{rot}:B^k\到B^k，\widetelde{rot}（B_{ij}，L）=（C_{ij}，i）\）其中\（C_}ij}=L-B_{k-i+1，n-j}\），和\（\widetilde}ref}:B_k\到B ^k，\ widetilderde{refl}（B _{ij{，L}=L-B_{j-i+1，j}\）。
这些图之间的关系在命题2.15中给出，\开始{align*}\widetilde公司{e} _ i=\widetilde{rot}\circ\widetelde{f}_{n-i}\circ\widetilde{rot}\\\帽子{e} _ i=\widetilde{refl}\circ\widetaile{f}_{i} \circ\widetilde{ref}\结束{align*}类型\（A{n-1}^{（1）}\）的几何预晶体是一个元组\（（X，gamma，\phi_i，\epsilon_i，e_i）\），其中\（X）是一个代数变体\（gamma:X\ to（mathbb{C}^{times}）^n \）。是有理映射，\（\phi_i，\epsilon_i:X\ to \mathbb{C}^{times}\）是非等式零映射，并且\（e_i:\mathbb{C}^{times}\ times X\ to X\）是有理单位作用，\（i\ in \mathbb2{Z}/n\）。这些地图必须满足以下条件
●
\（\epsilon_i（x）=\phi_i（x）\alpha_i（\gamma（x））\）其中\（\alpha_ i（z_1，\dots，z_n）=z_i/z_{i+1}\）。
●
\（\gamma（e_i^c（x））=\alpha_i^{\vee}（c）\gamma（x）\）其中\（\alpha_ i^{\fee}（1，\dots，c，c^{-1}，\dotes，1）\），其中\（c）位于\（i）-第个组件\（\mod n）中。
●
\（\phi_i（e_i^c（x））=c^{-1}\phi_i（x），\epsilon_i（_i^c（x））=c \epsilen_i（x）\）。
几何晶体是操作（e_i^c）满足Serre关系的预晶体[定义3.5]。也就是说，如果\（n\geq3），那么对于每对不同的\（i，j\in\mathbb{Z}/n\），操作\（e_i，e_j\）满足\开始{align*}电子墨水^{c1}ej^{c2}&=e_j^{c2{e_i^{c1}\qquad\qquad i-j\equiv\pm 1\mod n\\电子墨水^{c1}ej^{c1c2}ei^{c2}&=e_j^{c2{e_i^{c1c2}e_j_{c1}\qquad i-j\equiv\pm 1\mod n\结束{align*}对于所有\（c1，c2\in\mathbb{c}^{times}\），这样两边都定义了。此外，几何晶体可能配备有装饰函数（f:X\tomathbb{C}^{times}），沿着（e_i^C）的作用满足以下方程[定义3.6]\[f（e_i^c（x））=f（x）+\frac｛c-1｝｛\phi_i（x）｝+\frac｛c^{-1}-1}{\epsilon_i（x）}\]在\（X=\mathbb的情况下{十} k（_k）=Gr（k，n）\times\mathbb｛C｝^｛\times｝\）映射\（\gamma，\epsilon_i，\phi_i，f\）可以根据Plucker坐标给出。我们将Gr（k，n）中的点（M）表示为（满秩）矩阵（M'）的列跨度，因此（P_J（M））是使用\（J\）中的行的\（M'\）的最大次项。我们列出了晶体图的定义如下，[见定义3.7]
●
\开始{align*}\γ&：\mathbb{十} k（_k）\ to（\mathbb{C}^{times}）^n，\\gamma（M，t）=（\gamma_1，\dots，\gamma_n）\\\gamma_i&=\begin{cases}\dfrac{P_{[i-k+1，i]}（M）}{P_[i-k，i-1]}[M）}，\qquad\\1\leqi\leqk\\t.\dfrac{P_{[i-k+1，i]}（M）}{P_[i-k，i-1]}\结束{align*}
●
\开始{align*}\phi_i，\epsilon_i\\&：\mathbb{十} k（_k）\longrightarrow\mathbb{C}^{times}\\\phi_i（M，t）&=t^{\delta_{i，0}}\frac{P_{[i-k+1，i-1]\cup\{i+1\}}（M）}{P_[i-k+1,i]}（M）}\\\epsilon_i（M，t）&=t^{-\delta_{i，k}}\frac{P_{[i-k+1，i-1]\cup\{i+1\}}（M）P_{[i-k+1,i]}\结束{align*}
●
\开始{align*}e_i^c&：\mathbb{十} k（_k）\to\mathbb{十} k（_k），\\e_i^c（M，t）=（M'，t）\\M'&=\开始{案例}xi\左（\dfrac{c-1}{\phi_i（M，t）}\右）M，\qquad\qquad i\ne 0\\x0\左（\dfrac{（-1）^{k-1}}{t}。\dfrac{c-1}{\phi_0（M，t）}\右）M\\qquad i=0\结束{cases}\\x_i（a）&=i+aE_{i，i+1}，[n-1]中的iquad\\x_0（a）&=I+aE_{n1}\结束{align*}
●
\[f（M，t）=\sum_{i\nek}\frac{P_{{i-k}\cup[i-k+2，i]}\]
第3节的主要定理表明：{十} k（_k），\gamma，\phi_i，\epsilon_i，e_i，f）\）形成装饰的几何晶体。在这种情况下，映射集\（\phi_i\）和\（\epsilon_i\）可以通过移位操作\（PR:\mathbb{十} k（_k）\to\mathbb{X} 确定（_k）\)由\（PR（M，t）=（M'，t）\）定义，其中\（M'）是通过将行下移\（1（mod）\），然后将按\（（-1）新建第一行^{k-1}吨\). 结果出现在引理3.11中，
●
\（\phi_i\circ PR=\phi_{i-1}）和，（\epsilon_i\circ PR=\epsilen_{i-1}）。
●
\（PR^{-1}\circe_i^c\circ PR=e_{i-1}^c\）。
●
如果\（\gamma=（\gamma_1，\dots，\gamma_n）\），则\（\gamma\circ PR=（\gamma_n，\gamma_1，\ dots，\ gamma_{n-1}）\。
●
\（f\circ PR=f\）。
在第4节中，作者考虑了\（\mathbb的参数化{十} k（_k）\). 表示\（\mathbb{T} k（_k）=（\mathbb{C}^{times}）^{R_k}\times\mathbb{C}^{times}\），其中我们用\（（X_{ij}，t）\）表示点。还设置\（x_{ij}=x_{ij}/x_{i，j-1}\）。然后定义\开始{align*}\Phi_{n-k}\&：\mathbb{T}（T）_{n-k}\右箭头GL_n\\\Phi_{n-k}（X_{ij}，t）&=\prod_{i=n-k}^l M_{[i，i+k]}（X_{i}，X_{i，i+1}，\点，X_}i，i+k}）\结束{align*}哪里\[M_{[a，b]}（z_a，\dots，z_b）=\sum_{i\ in[a，b]}z_iE_{i}+\sum_{i\in[n]\setminus[a，b]}[a+1，b]}中的E_{i}+\sum_{i\，\]对于\（1\leqa，b\leqn，z_j\in\mathbb{C}^{times}\）。它们定义了参数化\（Theta_{n-k}:\mathbb{T}（T）_{n-k}\to\mathbb{十} k（_k）\)通过发送\（（X_{ij}，t）\）到\（（M，t）），其中\（M）是\（Phi_{n-k}（X__{ij}，t）\）的第一个（k）列跨越的子空间。命题4.3根据普鲁克坐标计算（Theta_k）的倒数\（（M，t）\mapsto（X_{ij}，t）\），其中\[X_{ij}=\dfrac{P_{[i，j]\杯[n-k+j-i+2，n]}\]第4节中的一个基本定义是基本普鲁克坐标（P_{J_{i，J}}），其中定义4.17中给出了（J_{i，J}=[i，J]\cup[n-k+J-i+2，n]\）。引理4.18指出，开放（U_k\子集Gr（k，n）\）中所有坐标都非零的元素都是由它们的基本Plucker坐标唯一确定的。根据推论4.19，每个Plucker坐标都可以在具有非负整数系数的基本Plucker坐标。
如前所述，几何晶体和组合晶体之间的关系是通过热带几何和热带化函子[A.贝伦斯坦等，高级数学。122，第1号，49-149（1996年；Zbl 0966.17011号);A.贝伦斯坦和A.泽列文斯基杜克大学数学系。J.82，第3期，473–502（1996年；Zbl 0898.17006号); 发明。数学。143，第1期，77–128（2001年；Zbl 1061.17006号);A.N.基里洛夫，in：物理学和组合学。2000年8月21日至26日，日本名古屋，名古屋2000年第二届国际研讨会会议记录。新加坡：世界科学。82–150 (2001;Zbl 0989.05127号)]. 参数化\（\Theta_r \）可以由\（\mathbb）上的函数组成{十} k（_k）\)或者他们之间的地图。如果这些函数的坐标分量是无减法的（即它们的系数位于热带半区），则可以将其热带化。定义\（\widehat{\gamma}=Trop（\gamma^{\Theta}），\wideheat{\phi}_i=Trop。定理5.4和5.7是第5节的主要结果，说明
●
\（\widehat{\gamma}_i=\widetilde{\gama}_i\），
●
\（\widehat{\phi}_i=-\widetilde{\phi{_i\）和，（\wide hat{\ epsilon}_i=-\wide tilde{\ epsilon}_i \），
●
\（\widehat{e} _ i（1，b）=widetilde{e} _ i\)和\(\widehat{\epsilon}_i（-1，b）=\widetilde{f} _ i\)，其中\（\widehat{e} _ i当定义了所有操作时，=Trop（\Theta_{n-k}^{-1}\circe_i^c\circ\Theta_{n-k{）。
●
\（\widehat{PR}=\widetilde{PR}\）其中\（\wide hat{PR}=Trop（\Theta_{n-k}^{-1}\circ-PR\circ\Theta_{n-k{）\）。

第7节讨论晶体算符的对称性和二重性。它的简要目的是通过热带化使对称性从几何情形下降到组合情形。对称性也与格拉斯曼二重性自然兼容。假设\（S:\mathbb{十} k（_k）\to\mathbb{X} 确定（_k）\)由[定义7.1]给出，\[S（M，t）=（M'，t），\quad M'=\pi_t^k\circ fl\circ g_t（M）。\]其中，第7.1节定义了（pi_t ^k）和（fl），第6.7节给出了（g_t[A.贝伦斯坦和D.卡日丹，单位：GAFA 2000。数学展望——走向2000年。会议记录，以色列特拉维夫，1999年8月25日至9月3日。第一部分巴塞尔协议：Birkhäuser。188–236 (2000;Zbl 1044.17006号); 竞争。数学。433, 13–88 (2007;Zbl 1154.14035号)]. 设（Q_{w_0}）是对应于（S_n）最长元素的置换矩阵。通过（T_{w_0}（M）=Q_{w_0}定义\（T_{w_0}:Gr（k，n）\至Gr（k，n）。M\）。然后定义几何逆对偶映射\（D:\mathbb{十} k（_k）\to\mathbb{X}（X）_{n-k}\）由\（D（M，t）=S（t_{w_0}（M^{\perp}），t）[见第7.2节中的定义7.6]。结论7.4和7.9中提到了以下身份列表。
●
\（S^2=id\）和\（S\circ PR=PR\cic S\）。
●
\（\phi_i\circ S=\epsilon_{n-i}）和\（\epsilen_i\circ S=\phi_{n-i}）。
●
\（圆圈e_i^c=e_{n-i}^{c^{-1}}\圆圈S\）
●
\（S环D=D环S）和（PR环D=D\环PR）。
●
\（\phi_i\circ D=\epsilon_i\）和，\（\epsilen_i\circ D=\phi_i \）。
●
\（e_i^c\circ D=D\circe_i^{c^{-1}}）。
一种是热带类似物\（S）和\（D）定义为\开始{align*}\widehat{S}&=Trop（\Theta_{n-k}^{-1}\circ S\circ\Theta{n-k{）：\widetilde{\mathbb{T}}_k\to\widetelde{\mathbb{T}}_k\\\widehat{D}&=Trop（\Theta_{k}^{-1}\circ D\circ\Theta{n-k}）：\widetilde{\mathbb{T}}_k\to\widetelde{\mathbb{T}}_nk}\结束{align*}根据定理7.10
●
\（\widehat{S}=\widetilde{rot}\），
●
\（\宽帽子｛D｝=\宽波浪号｛refl｝\）。
审核人：穆罕默德·雷扎·拉赫马蒂（莱昂）

引用于1审查
引用于7文件

MSC公司：

17B67号 Kac-Moody（超）代数；扩展仿射李代数；环形李代数
2010年5月 表征理论的组合方面
14月15日 格拉斯曼流形、舒伯特流形、旗流形

关键词：

Kirillov-Reshetikhin晶体;几何晶体;促销;格拉斯曼学派;热带化

引文：

Zbl 1440.05216号;Zbl 0808.17007号;Zbl 0925.17005号;Zbl 0724.17009号;Zbl 0739.17005号;Zbl 1219.17010号;Zbl 1220.17006号;Zbl 0845.20034号;Zbl 1440.17001号;Zbl 0878.14034号;Zbl 1230.05289号;Zbl 0279.06001号;Zbl 0966.17011号;Zbl 0898.17006号;Zbl 1061.17006号;Zbl 0989.05127号;Zbl 1044.17006号;Zbl 1154.14035号
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\textit{G.Frieden}，J.Comb。理论，Ser。A 167，499--563（2019年；Zbl 1467.17016）
全文： 内政部 arXiv公司

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