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布鲁斯·雷兹尼克;内里曼·托克坎

具有三种不同相对等级的二进制形式。 （英语） Zbl 1400.11093号

程序。美国数学。Soc公司。 145，第12号，5169-5177（2017）.
设（f（x，y）是度（d）的二元形式，系数在域（K\subset\mathbb C\）中。这个\（K\）-长度或\（K\）-等级of \（f），\（L_K（f）\）是最小整数\（r），其表示形式为\（f（x，y）=\sum_{j=1}^r\lambda_j（\alpha_j x+\beta_j y）^d\），带有\（\lambda_ j，\alpha_ j，\ beta_j\ in K\）。当\（K=\mathbb C\）或\（\mathbb-R\）时，这是Waring等级或实际Waring等级分别为。两种线性形式是不同的如果它们（或它们的d次幂）不成比例。表示是诚实如果和是两两不同的，即，当\（i\neq j）时，\（\lambda_i\lambda j（\alpha_i\beta j-\alpha j\beta i）\neq 0。（r=L_K（f））必须诚实的任何表示。如果\（K\subet F\subet \mathbb C\），那么\（F\在F[x，y]\中），并且\（L_F（F）\）被称为相对等级关于\（f\）的\（f\）。第一位作者之前展示过[Dev.Math.31，207–232（2013；Zbl 1295.11031号)]（φ（x，y）=3x^5-20x^3y^2+10xy^4）有三个不同的等级（在不同的字段上），并且如果（\text）{度}f\leq 4\）。本文中的主要结果是定理3.1：对于所有度（geq 5），都存在二元形式的度（d），至少有三个不同的秩（在不同的域上）。（作者不知道任何二元形式的任何程度都有三个以上的秩。）证明表明：（p{2k-1}（x，y）={2k-1\choose k}x^{k-1}年^{k-1}（x-y）的秩分别为（k，2k-1）和（k+1^{k} 年^{k} （）的秩分别为（k+1，2k）和（k+2），高于（mathbb Q（zeta{k+1}），mathbb R\）和（mathbbQ（zeta{k}）。作者将（p_5，p_6）和（p_7）表示为线性形式的幂和。证明中使用的算法包括求解定理2.1的线性系统（2.4）；解决方案定义的形式\（h）称为西尔维斯特形式相对秩可以取决于基础域的代数性质，并且作者在这方面证明了两个结果。这个食多福非实数域（F）的（s（F））是最小整数（n），使得（-1）可以写成（F）中的平方和。证明了定理4.1：（L_K（x^3y^2）=4）当且仅当；定理4.2：如果（f（x，y）=6x^5y-20x^3y^3），则（L_K（f）=4）当且仅当（s（K）\leq 2）。特别地，如果\（m\）是一个正的无平方整数并且\（m\not\equiv7（\text{mod}\，8）\），那么\（L_{mathbbQ（\sqrt{-m}）}（f）=4\）。此外，\（L_{mathbbQ（\sqrt{-7}）}（f）=5\）和\（L_{mathbb R}（f）=6\）。
审核人：M.Rafiq Omar（贝尔维尔）

引用于4文件

理学硕士：

11亿欧元 二级以上学位形式
11第05页 Waring的问题和变体
第12天15 与平方和相关的字段（形式上为实数字段、毕达哥拉斯字段等）
14N10号 代数几何中的枚举问题（组合问题）

关键词：

复数秩;实际军衔;二进制形式;权力总和;西尔维斯特形式;食多福

引文：

Zbl 1295.11031号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Reznick}和\textit{N.Tokcan}，程序。美国数学。Soc.145，编号1215169-5177（2017；兹bl 1400.11093）
全文： 内政部 arXiv公司

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