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萨玛·阿比纳什

关于9-和27-规则分区的3-divisibility。 （英语） Zbl 1501.11097号

拉马努扬J。 57，第3期，1193-1207（2022）.
作者对有关（m）-正则分区同余的文献进行了贡献。在这里，他们研究了9个规则分区和27个规则分区；用（b9（n）和（b{27}（n）分别表示（n）的9个正则分区或27个正则分区的数目。然后，作者分别根据\（3n+1\）或\（12n+13\）的因子分解，给出了它们被3整除的完整分类。
用\（\mathrm表示{字}p（n） 因子分解中素数的指数。本文的第一个主要定理是，对于非负整数：
定理。我们有一个\（b_9（n）\equiv0\pmod{3}\）当且仅当下列至少一个成立：存在一个素数\（p\equiv 2\pmod{3}\），这样\（\mathrm{字}p（3n+1）是奇数，或者有一个素数（p\equiv1\pmod{3}），这样\（\mathrm{字}p（3n+1）等于2\pmod{3}）。
第二个定理给出了（b_{27}（n））可被3整除的条件。这些条件虽然仍然可以用（12n+13）的素因式分解来定义，但其数量更多，表述也更复杂。它们需要（如果更容易的条件失败）确定（p=1\pmod{4}）素数的唯一表示（p=x_p^2+y_p^2）中的平方，如果明显比前面的定理更复杂，那么这在算法上是有效的。第二个主要定理是：
定理。对于非负整数，当且仅当下列条件中至少有一个成立时：
1
\（12n+13）是一个正方形，其素因子都与模12的11同余；
2
有一个原理\（p\equiv3\pmod{4}\），这样\（\mathrm{字}p（12n+13）\）为奇数；
三。
素数集（T）的基数{字}p（12n+13）\）是奇数，既不是0也不是2；
4
\（\#T=2\），对于所有\（T\中的p\），\（9\vert（x_p+y_p）\）；
5
\（T=2\），（3\vert\vert（x_p+y_p）\）表示所有（T\中的p\），并且有一些素数（p\equiv1\pmod{12}\），其中（\mathrm｛单词｝_ p（12n+13）\equiv 2\pmod｛3｝\）；或
6
\（\#T=0\），条件成立，需要进一步定义几个数量。

正如人们从这些陈述中所料，到目前为止，论文的大部分内容是对后一个定理的证明。
这些证明是通过（CM）型模形式理论进行的，并且比这一领域中通常的论文要代数化得多，这依赖于对数字域中素数的研究（mathbb{Q}（sqrt{-3}））。读者需要熟悉赫克特征形式和这些二次数域的算法。如果一位研究人员发现这篇论文很有趣，那么将其与X.熊《国际数论》第12卷，第5期，1195-1208（2016；Zbl 1372.11099号)]描述过分割函数模16的特征，以及Merca的后续研究，其中给出了类似风格的定理，依赖于用平方和计算n的表示。可能会有更多与这些想法相关的结果。
审核人：威廉·J·基思（霍顿）

引用于1文件

MSC公司：

第11页83 分区；同余与同余限制

关键词：

\（\ell\）-常规分区;赫克特征形式

引文：

Zbl 1372.11099号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Abinash}，Ramanujan J.57，第3期，1193-1207（2022年；Zbl 1501.11097）
全文： 内政部 arXiv公司

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