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通过等成因火山的模多项式。 (英语) Zbl 1267.11125号

摘要:对于素数(l)和任意正整数(m),我们提出了计算环(mathbb Z[X,Y]\)和((mathbbZ/m mathbbZ)[X,Y)中经典模多项式(Phi_l)的新算法。我们的方法使用(l)-等值线图来有效地计算许多适当形式的素数(p)的(Phi_l \bmod-p),然后应用中国剩余定理(CRT)。在广义黎曼假设(GRH)下,我们得到了预期的运行时间(O(l^3(\log l)^3\log\log 1)),并使用(O(l ^2(\logl)^2+l ^2 \log m))空间计算(Phi_l\bmod m)。我们使用新算法计算了(l)大于5000的(Phi_l)和(l)超过20000的(Phi _l \bmod m)。我们还考虑了几个模块函数\(g\),其中\(\Phi_l^g\)小于\(\Phi_l\),使我们能够处理\(l\)超过\(60000\)。

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11年16日 数字理论算法;复杂性
11国集团15 阿贝尔变种的复乘法和模
11G20峰会 有限域和局部域上的曲线
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参考文献:

[1] Eric Bach,素性测试和相关问题的明确界限,数学。公司。55(1990),第191、355–380号·Zbl 0701.11075号
[2] Juliana Belding、Reinier Bröker、Andreas Enge和Kristin Lauter,《计算希尔伯特类多项式》,《算法数论》,《计算讲义》。科学。,第5011卷,施普林格出版社,柏林,2008年,第282-295页·Zbl 1205.11139号 ·doi:10.1007/978-3-540-79456-1_19
[3] E.R.Berlekamp,大型有限域上的因式分解多项式,数学。公司。24 (1970), 713 – 735. ·Zbl 0247.12014号
[4] Daniel J.Bernstein和Jonathan P.Sorenson,通过显式中国余数定理进行模幂运算,数学。公司。76(2007),第257、443–454号·Zbl 1183.11080号
[5] Ingrid Biehl和Johannes Buchmann,《二元二次型约简算法分析》,《Voronoi对现代科学的影响》,基辅数学研究所,1998年,网址:http://www.cdc.informatik.tu-darmstadt。de/reports/TR/TI-97-26.ps.gz,第71-98页·Zbl 0948.11051号
[6] Gaetan Bisson和Andrew V.Sutherland,计算有限域上普通椭圆曲线的自同态环,《数论》131(2011),第5期,815-831·Zbl 1225.11085号 ·doi:10.1016/j.jnt.0911.003
[7] I.F.Blake、G.Seroussi和N.P.Smart,《密码学中的椭圆曲线》,伦敦数学学会讲义系列,第265卷,剑桥大学出版社,剑桥,2000年。重印1999年原件·Zbl 0937.94008号
[8] Ian F.Blake、János A.Csirik、Michael Rubinstein和Gadiel Seroussi,《关于椭圆曲线模多项式的计算》,技术报告,Hewlett-Packard实验室,1999年,http://www.math.uwaterloo.ca网站/mrubinst/publications/publications.html。
[9] A.Bostan、F.Morain、B.Salvy和E。肖斯特,计算椭圆曲线间等值线的快速算法,数学。公司。77(2008),编号2631755-1778·Zbl 1200.11097号
[10] Reinier Bröker,《构造规定阶的椭圆曲线》,莱顿大学博士论文,2006年·兹比尔1162.11028
[11] 雷尼尔·布洛克(Reinier Bröker),A-计算Hilbert类多项式的adic算法,Math。公司。77(2008),第264、2417–2435号·Zbl 1223.11073号
[12] -,(p\)-adic类不变量,LMS计算与数学杂志(2010),即将出版。
[13] Reinier Bröker和Andrew V.Sutherland,经典模多项式的显式高度界限,Ramanujan J.22(2010),第3期,293–313·兹比尔1245.11079 ·doi:10.1007/s11139-010-9231-8
[14] Johannes Buchmann和Ulrich Vollmer,《二进制二次型,数学中的算法和计算》,第20卷,施普林格出版社,柏林,2007年。算法方法·Zbl 1125.11028号
[15] J.J.Cannon和W.Bosma,《岩浆功能手册》,2.15版,2008年,网址:http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/magma.htm。
[16] Guilhem Castagnos和Fabien Laguillaumie,关于二次解密密码系统的安全性:最佳密码分析,密码学进展-EUROCRYPT 2009,计算机课堂讲稿。科学。,第5479卷,施普林格出版社,柏林,2009年,第260-277页·Zbl 1239.94041号 ·doi:10.1007/978-3642-001-9_15
[17] Denis Charles和Kristin Lauter,计算模多项式,LMS J.计算。数学。8 (2005), 195 – 204. ·Zbl 1119.11030号 ·doi:10.1112/S146115700000954
[18] 亨利·科恩(Henri Cohen),《计算数论的高级主题》,《数学研究生教材》,第193卷,斯普林格·弗拉格出版社,纽约,2000年·Zbl 0977.11056号
[19] Henri Cohen、Gerhard Frey、Roberto Avanzi、Christophe Doche、Tanja Lange、Kim Nguyen和Frederik Vercauteren,《椭圆和超椭圆曲线密码学手册》,《离散数学及其应用》(Boca Raton),查普曼和霍尔/CRC,佛罗里达州博卡拉顿,2006年·Zbl 1082.94001号
[20] 保拉·科恩,关于椭圆模函数的变换多项式的系数,数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.95(1984),第3期,389–402·Zbl 0541.10026号 ·doi:10.1017/S0305004100061697
[21] David A.Cox,形式的素数²+\?\²,《威利国际科学出版物》,约翰·威利父子公司,纽约,1989年。费马,类场理论和复数乘法。
[22] Noam D.Elkies,有限域上的椭圆和模曲线及相关计算问题,数论的计算观点(芝加哥,IL,1995)AMS/IP Stud.Adv.Math。,第7卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,1998年,第21-76页·Zbl 0915.11036号
[23] Andreas Enge,通过浮点近似计算类多项式的复杂性,数学。公司。78(2009),第266、1089–1107号·Zbl 1208.11136号
[24] Andreas Enge,计算准线性时间中的模多项式,数学。公司。78(2009),第267号,1809–1824·Zbl 1215.11121号
[25] Andreas Enge和Francois Morain,广义Weber函数I,2009年,http://arxiv.org/腹肌/0905.3250。
[26] Andreas Enge和Reinhard Schertz,使用双eta-商在有限域上构造椭圆曲线,J.Théor。Nombres Bordeaux 16(2004),第3期,555–568页(英文,含英文和法文摘要)·Zbl 1072.11039号
[27] 安德烈亚斯·恩格(Andreas Enge)和莱因哈德·谢尔茨(Reinhard Schertz),《复合水平的模块化曲线》(Modular curves of composite level),《阿里斯学报》(Acta Arith)。118(2005),第2期,129–141·Zbl 1158.11322号 ·doi:10.4064/aa118-2-3
[28] Andreas Enge和Andrew V.Sutherland,CRT方法的类不变量,算法数论研讨会-ANTS IX,计算机科学讲稿,第6197卷,Springer-Verlag,2010年,第142-156页·Zbl 1260.11083号
[29] 自由软件基金会,GNU编译器集合,2010年1月,版本4.4.3,可在http://gcc.gnu.org/。
[30] 米雷尔·福凯(Mireille Fouquet)和弗朗索瓦·莫林(François Morain),等成因火山和SEA算法,算法数论(Sydney,2002),计算机课堂讲稿。科学。,第2369卷,施普林格出版社,柏林,2002年,第276-291页·Zbl 1058.11041号 ·文件编号:10.1007/3-540-45455-1_23
[31] 史蒂文·加尔布雷斯(Steven D.Galbraith)、弗洛里安·赫斯(Florian Hess)和奈杰尔·斯马特(Nigel P.Smart),《扩展GHS韦尔下降攻击》(Extending the GHS Weil descent attack),密码学进展-2002年(阿姆斯特丹),计算机课堂讲稿。科学。,第2332卷,施普林格出版社,柏林,2002年,第29-44页·Zbl 1055.94013号 ·doi:10.1007/3-540-46035-73
[32] Alice Gee和Peter Stevenhagen,使用Shimura互易生成类域,算法数论(俄勒冈州波特兰市,1998年)计算讲义。科学。,第1423卷,施普林格出版社,柏林,1998年,第441-453页·Zbl 0912.11045号 ·doi:10.1007/BFb0054883
[33] Torbjörn Granlund等人,GNU多精度算术库,2010年9月,5.0.1版,网址:http://gmplib.org/。
[34] G.H.Hardy和E.M.Wright,《数论导论》,牛津,克拉伦登出版社,1954年。第3版·Zbl 0058.03301号
[35] David Harvey,(\text{zn\_poly}):多项式算术库,2008年,0.9版,http://cims。纽约州埃杜/哈维/兹波利。
[36] David Harvey,通过多点Kronecker替换实现快速多项式乘法,J.符号计算。44(2009),第10期,1502–1510·Zbl 1194.68265号 ·doi:10.1016/j.jsc.2009.05.004
[37] 奥斯卡·赫尔曼(Oskar Herrmann),你能不能在Funktion的Fourierkoeffizienten?(\?),J.Reine Angew。数学。274/275(1975年)、187–195(德语)。Helmut Hasse七十五岁生日时的文章集·Zbl 0312.10014号 ·doi:10.1515/crll.1975.274-275.187
[38] 德里克·霍尔特(Derek F.Holt)、贝蒂娜·艾克(Bettina Eick)和伊蒙·奥布莱恩(Eamonn A.O'Brien),《计算群论、离散数学及其应用手册》(Boca Raton),查普曼和霍尔/CRC,佛罗里达州博卡拉顿,2005年·Zbl 1091.20001号
[39] 伊藤秀吉,模方程的计算,Proc。日本科学院。序列号。数学。科学。71(1995),第3期,48–50·Zbl 0832.11017号
[40] M.Jarden,有限和\?的传递原理-adic fields,Nieuw Arch公司。威斯克。(3) 28(1980),第2期,139–158·Zbl 0446.12022号
[41] Erich Kaltoffen和Noriko Yui,《关于阶模方程》(11),《1984年MACSYMA用户会议论文集》,1984年,第472-485页·Zbl 0583.12007号
[42] David Russell Kohel,有限域上椭圆曲线的自同态环,ProQuest LLC,密歇根州安阿伯,1996。论文(博士)-加州大学伯克利分校。
[43] J.C.Lagarias和A.M.Odlyzko,Chebotarev密度定理的有效版本,代数数域:\-功能和伽罗瓦属性(《交响乐汇编》,达勒姆大学,1975年),学术出版社,伦敦,1977年,第409-464页·Zbl 0362.12011号
[44] Serge Lang,《椭圆函数》,第二版,《数学研究生文本》,第112卷,Springer Verlag,纽约,1987年。附有J.Tate的附录·Zbl 0615.14018号
[45] Frank Lehmann、Markus Maurer、Volker Müller和Victor Shoup,计算特征大于三的有限域上椭圆曲线上的点数,算法数论(Ithaca,NY,1994),《计算讲义》。科学。,第877卷,施普林格出版社,柏林,1994年,第60-70页·Zbl 0839.11026号 ·doi:10.1007/3-540-58691-1_44
[46] H.W.Lenstra Jr.和Carl Pomerance,整数分解的严格时限,J.Amer。数学。Soc.5(1992),第3期,483–516·Zbl 0770.11057号
[47] 弗朗索瓦·莫兰(François Morain),《课程分数计算:方面算法》(Calcul du nombre de points sur une courbe elliptique dans un corps fini:aspects algorithmiques),J.Théor。Nombres Bordeaux 7(1995),编号1,255–282(法语,英文和法语摘要)。《Les Dix-huitimes Journées Arithmetiques》(波尔多,1993年)·Zbl 0843.11030号
[48] Volker Müller,Ein Algorithmus zur Bestimmung der Punktanzahl elliptischer Kurvenüber endlichen Körpern der Charakteristik grßer drei,萨尔兰德大学博士论文,1995年。
[49] Jürgen Neukirch,代数数论,Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理],第322卷,Springer-Verlag,柏林,1999年。翻译自1992年德文原件,并附有诺伯特·沙帕赫的注释;带有G.Harder的前言·Zbl 0956.11021号
[50] A.Schönhage和V.Strassen,Schnelle Multiplickation grosser Zahlen,计算(Arch.Elektron.Rechnen)7(1971),281–292(德语,带英文摘要)·Zbl 0223.68007号
[51] RenéSchoof,有限域上椭圆曲线上的计数点,J.Théor。Nombres Bordeaux 7(1995),第1期,219–254页。《Les Dix-huitimes Journées Arithmetiques》(波尔多,1993年)·Zbl 0852.11073号
[52] William Stein和David Joyner,《SAGE:代数和几何实验系统》,《计算机代数通信》(SIGSAM Bulletin)(2005年),第61-64页·Zbl 1341.68315号
[53] 彼得·史蒂文哈根(Peter Stevenhagen),数字环的算术,算术数论:格,数域,曲线和密码学,数学。科学。研究机构出版。,第44卷,剑桥大学出版社,剑桥,2008年,第209-266页·Zbl 1216.11099号
[54] 安德鲁·萨瑟兰,用中国剩余定理计算希尔伯特多项式,数学。公司。80(2011),第273、501–538号·Zbl 1231.11144号
[55] Jacques Vélu,Isogénies entre courbes elliptiques,C.R.Acad。科学。巴黎。A-B 273(1971),A238–A241(法语)·Zbl 0225.14014号
[56] Joachim von zur Gather和Jürgen Gerhard,《现代计算机代数》,第二版,剑桥大学出版社,剑桥,2003年·Zbl 1055.68168号
[57] 劳伦斯·华盛顿(Lawrence C.Washington),《椭圆曲线》(Elliptic curves),第二版,《离散数学及其应用》(Boca Raton),查普曼和霍尔/CRC,佛罗里达州Boca Raton2008年。数论和密码学·Zbl 1200.11043号
[58] 海因里希·韦伯,《勒布赫代数》,第三版,第三卷,切尔西,1961年。
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