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卢卡·布兰多利尼;列奥纳多·科尔扎尼;罗宾斯，西奈;吉安卡洛·特拉瓦里尼

多边形和的Euler-Maclaruin公式。 （英语） Zbl 1486.42007号

事务处理。美国数学。Soc公司。 375，编号1，151-172（2022）。
对于光滑函数\（g\）在\（\mathbb｛R｝\）和整数\（w\）上的经典欧拉-麦克劳林求和公式为\[\压裂{1}{N}\左（压裂{g（a）}{2}+\sum_{N=Na+1}^{Nb-1}g \左（frac nN\右）+frac{g（b）}{2}\右）=\]
\[=\int_a^bg（x）dx+\sum_{j=0}^wN^{-j-1}b_{j+1}（0）（g^{（j）}（b）-g^{（j）{（a））+\]
\[+（-1）^{w}N^{-w-1}\int_a^b b_{w+1}（Nx-[Nx]）g^{（w+1）}（x）dx，\]其中\（B_j\）是\（[0,1]\）上的伯努利多项式。
对于顶点位于（mathbb{Z}^2）中的开放多边形（P），此公式的一个已知二维类比是\[\P}g\ left（\ frac nN\ right）=\int_P g（x）dx+\sum_{j=1}^w\ frac{\gamma（j）}{N^j}+\ frac}R（w，N）}{N^{w+1}}，\ tag{\（\ast\）}中的压裂1{N^{N/N\]其中，\（\gamma（j）\）是一些取决于光滑函数\（g）的常数，余数\（R）均匀地限定在\（N）中。
正在审查的论文建立了以下版本的二维公式\[\P}g中的frac 1{N^{2}}\sum_{N/N（左）\omega_P（右）=int_P g（x）dx+sum_{j=1}^w\frac{delta（j）}{N^2j}}+\frac{R（w，N）}{N2w+2}}，\tag{\（ast\ast\）}\]其中，\（delta（j）\）是取决于光滑函数\（g）的一些常数，\（R）统一限定在\（N）中，并且\[omega_P（x）=\lim_{\epsilon\ to 0+}\frac{|P\cap B（x；epsilon）|}{|B gue集合的度量）。
公式（\（\ast\））和（\（\ ast\ ast））均可用于使用离散和近似计算\（\int_P g（x）dx\）。然而，为了更好地捕捉（P）的几何和度量属性，公式（（ast））提供了阶的近似（O（frac1{N^2}）），而（ast。
审核人：Almaz Butaev（蒙特利尔）

引用于1文件

MSC公司：

42B05型 傅里叶级数和多变量系数
41A55型 近似正交
65B15号机组 数值分析中的Euler-Maclaruin公式
11公里38 分布不规则、差异

关键词：

差异;整数点;傅里叶分析;欧拉-马克拉林公式;近似求积
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Brandolini}等人，翻译。美国数学。Soc.375，No.1，151--172（2022；Zbl 1486.42007）
全文： 内政部 arXiv公司

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