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君士坦丁·尼古列斯库;弗洛林·波波维奇

可积函数的渐近行为。 （英语） Zbl 1275.26020号

真实分析。交易所。 38（2012-2013），第1期，157-168（2013）。
如果（f:[0，\infty）\to\mathbb R\）是一个函数，使得Lebesgue积分（\int_0^\inftyf\）存在并且是有限的，那么（\lim_{x\to\infty-}f（x）=0\）不一定是真的。如果我们加强了对\（f\）的假设，该语句就成立了（例如，该命题适用于非负非增函数以及一致连续函数），或者如果我们用较弱的概念（例如密度极限）替换通常的极限。
给定一个定义在（[0，\infty）\的Borel子集上的密度函数\（d\），如果每\（\varepsilon>0\）一个\（d（\{t；\，|f（t）|\geq\varepsilon\}）=0\，那么\（f）在密度无穷远处的极限为零。在这种情况下，我们写\[（d） -\lim_{x\to\infty}f（x）=0。\]
在他们之前的论文中[J.Math.Anal.Appl.381，No.2，742-747（2011；Zbl 1227.40002号)]，作者考虑了由\[d_0（A）=\lim_{r\to\infty}{1\over r}\int_{A\cap[0，r）}\，{\mathrm d}t，\]
\[d_1（A）=\lim_{r\to\infty}{1\over\ln r}\int_{A\cap[1，r）}\，{{\mathrm d}t\over t}，\]并证明了对于每个Lebesgue可积函数（f:[0，infty）。
本文的主要结果是以下更一般的表述：每个Lebesgue可积函数（f:[0，\infty）to \mathbb R\）满足\[（d_n）-\lim_{x\to\infty}左（prod_{k=0}^n\ln^{（k）}x\right）f（x）=0，四元n\in\mathbb n，eqno（1）\]式中，（d_n）是以下公式给出的密度\[d_n（A）=\lim_{r\to\infty}{1\over\ln^{（n）}r}\int_{A\cap[\exp^{\]和（g^{（k）}）表示函数（g）的第（k）次迭代。
作者还证明了对于由（2）给出的任何密度和每一个可测函数（f:[0，infty）到mathbb R\），密度收敛到零等价于存在一个集（S\子集[0，infty），使得（d_n（a）=0\）和\[\lim_{x\to.infty，，x\notin S}f（x）=0。\]
评审员备注：主要结果（1）已在论文中得到证明【数学30号，第3期，277-282（2012；Zbl 1259.26009号)]作者相同。
审核人：安东·斯拉维克（普拉哈）

引用于1审查
引用于三文件

MSC公司：

26A42型 Riemann、Stieltjes和Lebesgue型积分
第37页第45页 遍历理论与数论和调和分析的关系（MSC2010）
40A10号机组 积分的敛散性

关键词：

勒贝格积分;密度;密度收敛

引文：

Zbl 1227.40002号;Zbl 1259.26009号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Niculescu}和\textit{F.Popovici}，真实分析。交易所。38，第1号，157--168（2013；Zbl 1275.26020）
全文： 内政部 欧几里得

参考文献：

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