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德米特里·克莱因博克;尼古拉斯·德萨克塞

二次曲面上的有理逼近：一个单纯形引理及其结果。 （英语） Zbl 1442.11104号

Enseign公司。数学。(2) 64，编号3-4，459-476（2018）.
作者证明了关于（mathbb{P}^n（mathbb{R}）中有理二次曲面（X）上的点的逼近的几个结果，即变量（n+1）中有理性二次型（Q）的零轨迹，也通过（X）的有理点，即通过集合（X（mathbb2{Q}）的点来逼近。在此设置中，通过以下方式定义点\（x\）的丢番图指数\[\β（x）=\inf\｛\beta>0:\存在c>0:\对于x中的所有v\（\mathbb｛Q｝）：\运算符名称｛dist｝（x，v）\ ge c H（v）^｛-\β｝\｝，\]其中，\（operatorname{dist}（x，v）\）表示\（x）和\。
（mathbb{R}^{n+1}）的完全各向同性子空间是（Q）消失的线性子空间。这样一个空间的最大维数称为（X），（mathrm）的（mathbb{Q}）秩{标记}_{\mathbb Q}X\）。如果\（\mathrm{标记}_{mathbb Q}X>0）和\（X\）是非奇异的，\（X（\mathbb Q）\neq\emptyset），众所周知\（\beta（X）\ge1）代表所有\（X\ in X\）。相反，L.菲什曼等【Trans.Am.Math.Soc.370，No.1，577–599（2018；Zbl 1422.11149号)]]已经证明，对于勒贝格来说，几乎每一个（x中的x），（β（x））。本文首先证明了如果\（Y\substeqX\）是具有\（\dim Y\ge\mathrm）的光滑子流形{标记}_{mathbb Q}X\），后一个属性也适用于Lebesgue几乎每个\（X\ in Y\）。
随后，为其中的点（x中的x）的集合（W_{\beta}）。扩展的结果L.菲什曼等【选修数学，新系列24，第5期，3875–3888（2018；Zbl 1464.11068号)]只要（Ysubsteq X）是一个合适的子集，例如光滑子流形或足够正则的分形子集，就可以得到（Y\cap W{beta}）的Hausdorff维数的上界。
最后，研究了不好逼近的点，即点集\[\马特姆{BA}X（_X）=\{X\在X:\中存在c>0:\对于X（\mathbb Q）：\mathrm{dist}（X，v）\ge c H（v）^{-1}\}中的所有v\。\]扩展的结果L.菲什曼等，[“二次超曲面上的内禀丢番图逼近”，预印本，arXiv公司：1405.7650]结果表明，这一局是以施密特游戏的某个变体取胜的。因此，它与维度至少为（mathrm）的任何（C^1）子流形（Y\substeq X\）相交{标记}_最大Hausdorff维数集合中的{mathbb Q}X\）。
所有三个主要结果都依赖于所谓的单纯形引理的一个版本，这是对两个不同的有理数（p/q）和（p'/q'）与（0<q，q'\leN）至少具有欧氏距离（1/N^2）这一琐碎事实的更高维推广。这是非常重要的扩展到目前的设置，并多次使用。
审核人：西蒙·克里斯滕森（奥胡斯）

引用于2文件

MSC公司：

11月13日 同时齐次近似，线性形式
11J83型 度量理论
37甲17 均匀流动

关键词：

固有丢番图近似;二次型;施密特游戏;欧几里德格

引文：

Zbl 1422.11149号;Zbl 1464.11068号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Kleinback}和\textit{N.de Saxcé}，恩塞恩。数学。（2） 64，编号3--4，459--476（2018；Zbl 1442.11104）
全文： 内政部 arXiv公司

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