赫里斯托博亚德日耶夫;罗伯特·弗伦茨克 涉及Euler eta（或Dirichlet eta）函数的级数。 （英语） Zbl 1482.11109号 J.整数序列。 24，第9号，第21.9.1条，第14页（2021年）. 本文提供了大量涉及Euler eta函数、Fibonacci（F_n）和Lucas（L_n）数的显式公式，以及一个新的常数K。其中一些公式将在下面列出，更复杂的公式将被省略。对于\（operatorname{Re}（s）>0\），eta函数定义为\[\eta（s）=\sum_{k=1}^\infty\frac{（-1）^{k+1}}{k^s}。常数\（k\）使用digamma函数\（\psi（x）=\Gamma'（x）/\Gamma（x）\），由\[k=\int_0^1\frac{\psi（1+x）-\psi（1+x/2）}定义{x} dx公司\]而调和数（（H_n）{n\geq0}）由[H_n=sum{k=1}^n\frac{1}{k}，四H_0=0.]F1定义\[sum_{n=1}^\infty\frac{（-1）^{n-1}\eta（n+1）}{n}=K.]F2\[sum_{n=1}^\infty\frac{（-1）^{n-1}}{n}\ln\left（1+frac{1}{n{right）=K.]F3\[\sum_{n=1}^\infty H_n（\eta（n+1）-1）=K.\]F4\[sum{n=1}^\infty\frac{1}{n2^n}\左（sum{k=1}^n\binom{n}{k}（-1）^{k-1}\eta（k+1）\右）=k.]F5\[sum{n=1}^\infty\eta（2n）\frac{F{2n+k}}{5^n}=\frac{pi}{10}\frac{L{k+1}}{cos（\frac{\pi}{2\sqrt{5}}）}-\frac{1}{2} 传真（_k）。\]六楼\[\sum_{n=1}^\infty\eta（2n）\frac{L_{2n+k}}{5^n}=\frac}\pi}{2}\frac{F{k+1}}{cos（\frac{pi}{2\sqrt{5}}）}-\ frac{1}{2} L_k。\]第7页\[\sum_{n=1}^\infty\eta（n+1）\frac{F_{n+k}}{5^{n/2}}=F_k\左（\frac}\alpha}{2}+1-\ln2\right）-L_k\右（\frac{\alpha{2}-\frac[\ln2}{5}}\右）-\frac}L_k}{\sqrt{5}{}}左（\psi\left（1-\frac \alpha}{\sqrt{5}}\right）-\psi\left（1-\frac{\alpha{2\sqrt{5%}\rift）\right审核人：斯特利安·米哈拉斯（蒂米什·奥拉） MSC公司： 2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi）） 11层39 斐波那契和卢卡斯数、多项式和推广 33B15号机组 伽玛、β和多囊膜功能 40立方厘米 求和的函数理论方法（包括幂级数方法和半连续方法） 关键词：黎曼eta函数;Dirichlet eta函数;斐波那契数;卢卡斯数;谐波数;偏手数 软件：组织环境信息系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.Boyadzhiev}和\textit{R.Frontczak}，J.整数序列。24，第9号，第21.9.1条，第14页（2021年；Zbl 1482.11109） 全文： 链接 参考文献： [1] K.Adegoke和S.Ghosh，与polygamma函数相关的Fibonacci-Zeta无穷级数，预印本，2021。可用网址：http://arxiv.org/abs/2103.09799v1。 [2] H.Alzer和M.K.Kwong，《关于Dirichlet的eta函数的凹性及相关函数不等式》，J.Number Theory151（2015），172-196·Zbl 1311.11087号 [3] R.Ayoub，Euler和zeta函数，Amer。数学。Monthly81（1974），1067-1086·Zbl 0293.10001号 [4] K.N.Boyadzhiev，欧拉型级数变换公式，函数的Hadamard积，调和数恒等式，印度J.Pure和Appl。数学42（2011），371-387·兹伯利1318.11041 [5] K.N.Boyadzhiev，一个特殊常数和带有zeta值和调和数的级数，Gazeta Matematica，Seria A115（2018），1-16·Zbl 1439.11198号 [6] M.W.Coffey，《zeta值系列、Stieltjes常数和总和Sγ（n）》，预印本，2007年。可用网址：http://arxiv.org/abs/0706.0345。 [7] S.R.Finch，《数学常数》，剑桥大学出版社，2003年·Zbl 1054.00001号 [8] R.Frontczak，问题B-1267，Fibonacci Quart.58（2020），179。 [9] R.Frontczak，问题H-859，Fibonacci Quart.58（2020），281。 [10] R.Frontczak，问题H-872，Fibonacci Quart.59（2021），90。 [11] R.Frontczak，涉及Fibonacci数和Riemann zeta函数的无穷级数，《注释数论离散数学》26（2020），159-166。 [12] R.Frontczak和T.Goy，涉及斐波那契数和黎曼-泽塔函数的一般无穷级数计算，Mat.Stud.55（2021），115-123·Zbl 1485.11033号 [13] T.Koshy，Fibonacci和Lucas数字及其应用，Wiley-Interscience，2001年·Zbl 0984.11010号 [14] M.S.Milgram，Riemann的zeta函数和Dirichlet的eta函数的积分和级数表示以及相关结果的混合，J.Math.2013，文章ID 181724·Zbl 1280.11047号 [15] N.J.A.Sloane等人，《整数序列在线百科全书》，2021年。可用网址：//oeis.org。 ·Zbl 1044.11108号 [16] J.Sondow，直线R（s）=1上交替zeta函数的零，Amer。数学。Monthly110（2003），435-437·Zbl 1187.11031号 [17] J.Sondow，Euler常数和ln 4/π的二重积分以及Hadjicostas公式的模拟，Amer。数学。Monthly112（2005），61-65·Zbl 1138.11356号 [18] H.M.Srivastava和J.Choi，《齐塔和相关功能系列》，施普林格科学+商业媒体，2001年·Zbl 1014.33001号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。