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杰里米·劳斯;约翰·J·韦伯。

关于由η商跨越的模形式的空间。 （英语） Zbl 1327.11026号

高级数学。 272, 200-224 (2015).
本文讨论了当（Gamma_0（N））的全纯模形式的分次环是由（N）级的全纯或弱全纯eta-商生成的问题。水平的eta商是形式的函数\[f（z）=\prod_{delta|N}\eta（\deltaz）^{r_{delta}}\；，\]其中，\（eta（z）=q^{1/24}\prod_{n=1}^{infty}（1-q^n）\）是为上半平面\（{mathbb H}\）中的\（z）和\（r_{delta}\）定义的eta函数。20世纪50年代，M.纽曼系统地考虑了这些eta-商，并找到了（f（z））是（Gamma_0（N））的模形式的条件[Proc.Lond.Math.Soc.（3）7334–350（1957；Zbl 0097.28701号); 同上（3）9，373–387（1959年；Zbl 0178.43001号)].
设\（M_k（\Gamma_0（N））\）表示\（\Gamma_0（N）\）的模形式权重\（k）的空间。本文给出了8个定理和3个推论，其中一些定理和推论如下：
{定理1.}有121个正整数（N\leq 500），因此（Gamma_0（N））的模形式的分次环是由eta商生成的。
{定理2.}假设上述形式的（f（z））为（M_k（\Gamma_0（N））。然后\[\sum_{delta|N}|r_{delta}|\leq 2k\prod_{p|N}\left（\frac{p+1}{p-1}\right）^{text{min}\{2，\text｛单词｝_ p（N） \}}\；。\]
{推论3.}如果\（p\）是素数，那么\（M_2（\Gamma_0（4p））由eta商跨越当且仅当\（p\leq 13\）。
{定理7.}假设M_k（\Gamma_0（N））中的\（f（z）\cap{\mathbb z}[[q]]\）具有\（f）在\（{\mathbb H}\）上非零的性质。那么\（f（z）=cg（z）\），其中\（c\在{\mathbb z}\）和\（g（z）\）中是一个eta商。
此外，当代数曲线（{mathbb H}/\Gamma_0（N））的紧化（X_0（N\））有亏格零时，得到如下结果：
{定理11.}假设\（N\）是一个正整数，因此\（X_0（N）\）有亏格零，并且在\（M_k（\Gamma_0（N\。那么，\（M_k（\Gamma_0（N））\）中的eta商的数量等于非负整数\（（c_d:\，d|N）\）的元组数量，其中\[\sum_{d|N}c_d\，\phi\left（\gcd\left（d，\，\frac{N}{d}\ right）\right）=\frac{k}{12}\cdot[\text{SL}_2（{\mathbb Z}）：\Gamma_0（N）]\；。\]这里\（\phi（n）\）是Euler totient函数。
证明上述大多数定理的关键是以下存在性引理：
{引理14.}如果（N）是一个正整数，那么对于（N）的每个除数（d），在M_{k_d}（Gamma_0（N））中有一个只在尖点消失的全纯eta-商（E_{d，N}（z））。此外，如果\（E_{d，N}（z）=\prod_{\delta|N}\eta（\deltaz）^{r_\delta}\），\[\压裂{1}{2k_d}\sum_{delta|N}|r_{de}|\leq\prod_{p|N}\左（压裂{p+1}{p-1}\右）^{text{min}\{2，\text{字}p（N） \}}\；。\]
审核人：Kaori Ota（东京）

引用于1审查
引用于29文件

MSC公司：

11层03 模函数和自同构函数
11层20 Dedekind eta函数，Dedekind-sums

关键词：

模块化形式;eta商;Dedekind eta函数

引文：

Zbl 0097.28701号;Zbl 0178.43001号

软件：

LattE公司;岩浆
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Rouse}和\textit{J.J.Webb}，高级数学。272200--224（2015；Zbl 1327.11026）
全文： DOI程序 arXiv公司

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