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广强;李奇瑞;王旭佳

高斯曲率流到对偶Minkowski问题。 （英语） Zbl 07817684号

数学。工程师（斯普林菲尔德） 第5期，第3期，第49号论文，第19页（2023年）.
现在被称为Brunn-Minkowski理论的理论涉及从凸体定义的几何泛函的研究。Minkowski问题是由凸体生成的几何测度的特征化问题。其解相当于求解一个退化的完全非线性偏微分方程，参见示例[Y.Huang（黄）等，《数学学报》。216，第2期，325–388（2016；Zbl 1372.52007年)].
设（mathcal M_0）是包围原点的（mathbb R^{n+1}）中的光滑闭一致凸超曲面。考虑高斯曲率流\[\开始{cases}\partial_t X（X，t）=-f（v）r^{\alpha}K（X，t）v\\X（X，0）=X_0（X）\end{cases}\]哪里
1
\（K（\ cdot，t）\）是超曲面（\ mathcal M_t）的高斯曲率，由\（X（\ cdop，t）：\ mathbb S^{n}\rightarrow\mathbb R^{n+1}\）参数化，
2
\（v（\cdot，t）\）是\（X（\cdot，t）\）处的单位外法向量，
三。
\（f）是在（mathbb{S}^n）上给定的光滑正函数，
4.
\（r=|X（X，t）|\）是到原点的距离。

引入上述流程是为了研究文中提出的对偶Minkowski问题解的存在性[Y.Huang（黄）等，《数学学报》。216，第2期，325–388（2016；Zbl 1372.52007年)]. 这相当于\（\mathbb{S}^n\）上的以下Monge-Ampère问题：\[\mathrm{det}\left（\nabla^2u+uI\right）=\frac{f（x）}{u}\ left（|\nabla u（x）|^2{+}u^2\right）^{\alpha/2}，\]其中，（u）表示超曲面解的支持函数。
（L_{p}）-Minkowski问题，这里是LpM，在[E.卢特瓦克、J.Differ。地理。38，第1期，131-150（1993年；Zbl 0788.52007号)]，讨论了具有指定面积测度的闭凸超曲面的存在性。通过调整前Monge-Ampère方程，可变参数包括LpM的对偶问题。那就是，\[\mathrm{det}\left（\nabla^2u+uI\right）=\frac{f（x）u^{p-1}}{g\left。\]这包含了\（g\equiv 1\）的对偶LpM问题。
本文的主要结果为这个改进的Monge-Ampère问题提供了充分的存在条件，并在（p，q）的约束下对（f，g）进行了一些正则性假设。
使用上述高斯流证明了主要结果。
审核人：莱昂纳多·弗朗西斯科·卡文纳吉（坎皮纳斯）

引用于1文件

MSC公司：

53E20型 利玛窦流
第35页第96页 Monge-Ampère方程

关键词：

高斯曲率流;Monge-Ampère方程;\（L_{p}\）-Minkowski问题

引文：

Zbl 1372.52007年;Zbl 0788.52007号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Q.Guang}等人，数学。Eng.（斯普林菲尔德）第5期，第3期，第49号文件，第19页（2023年；Zbl 07817684）
全文： 内政部
OA许可证

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