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塔斯，拉兹洛

计算环\（\mathbb Z_m\times\mathbbZ_n\）的子环。 （英语） Zbl 1450.11101号

J.韩国数学。Soc公司。 56，第6期，1599-1611（2019）.
\（\mathbb的任何加法子群{Z} _米\次数\mathbb{Z} _n（n）\)形式为\[K_{a，b，c，d，l}={（i压裂ma，il压裂nc+j压裂nd）：0\leqi压裂a-1,0\leq j压裂d-1\]其中，（（a，b，c，d，l）in \mathbb{N}^5，a \mid m，b \mid a，c \mid N，d \mid c，frac ab=frac cd，l \leq \frac ab，gcd（l，\ frac ab）=1）。作者描述了\（mathbb）的子环、酉子环和理想{Z} _米\次数\mathbb{Z} _n（n）\)通过根据值\（a，b，c，d，l\in\mathbb｛N｝\）进一步表征加性子群\（K_｛a，b，c，d，l｝\）。他证明了群（K_{a，b，c，d，l}）是子环当且仅当（frac-cd\mid-l\frac-nc-\frac-ma）。它是酉子环当且仅当\（a=m，c=n，l=1\）。它是理想的当且仅当\（a=b，c=d，l=1\）。
后来利用这个特征，他列举了子环（N^{（s）}（m，N{Z} _米\次数\mathbb{Z} _n（n）\). 他们得到了公式\开始{align*}N^{（s）}（m，N）&=\sum_{i\mid m，j\mid N}h（i，j）\text{其中}h（i，j）=\sum_{\子堆栈{d\mid gcd（i，j）\\gcd（d，\ frac id）=gcd\\N^{（us）}（m，N）&=tau（gcd（m，N）），\text{理想数是}\tau（m）\t（N），\结束{align*}其中，\（\phi\）是Euler的totient函数，\（\tau\）是Ramanujan-tau函数。
他还证明了当被视为两个变量的算术函数时，函数（N^{（s）}（m，N），N^{（us）}。最后，作者考虑了他们的狄利克雷级数\（\sum_｛m，n=1｝^｛\infty｝\frac｛n^｛（s）｝（m，n）｝｛m^zn^w｝\），\（\sum_｛m，n=1｝^｛\infty｝\frac｛n^｛（us）｝（m，n）｝｛m^zn^w｝\），并用经典黎曼ζ函数分别表示为\（\frac｛\zeta^2（s）\ zeta^2（w）\ zeta（z+w）\ zeta（2z+2w-1）｝｛\ζ（z+2w）\ζ（2z+w）｝\）和\（\ζ（z）\ζ（w）\ζ（z+w）\）。他还获得了每（）的和分别为（sum{m，n\leqx}n^{（us）}（m，n）），（sum_{m，n \leqx}n^}（n，n）的渐近公式\ varepsilon>0 \），其中\（A_1=\ frac{\ zeta（2）}{\ zeta（3）}，A_2，A_3\）是显式常数。
审核人：C.P.Anil Kumar（钦奈）

MSC公司：

11号45 代数和拓扑结构计数函数的渐近结果
20公里27 阿贝尔群的子群
11答25 算术函数；相关数字；反演公式
13A99号 广义交换环理论

关键词：

子群;子环;理想的;子环数;二元乘法算术函数;渐近公式;Dirichlet除数问题
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Tóth}，J.韩国数学。Soc.56，No.61599--1611（2019；Zbl 1450.11101）
全文： DOI程序 arXiv公司

参考文献：

[1] D.D.Anderson和V.Camillo，群直积的子群，环直积的理想和子环，以及Goursat引理，《环、模和表示》，1-12，Contemp。数学。，阿默尔480。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2009年。https://doi.org/10.1090/conm/480/09364 ·Zbl 1213.20028号
[2] D.D.Anderson和J.Kintzinger，交换环直积中的理想，布尔。澳大利亚。数学。Soc.77（2008），编号3477-483。https://doi.org/10.1017/S000497270800415号·Zbl 1153.13001号
[3] S.Atanasov、N.Kaplan、B.Krakoff和J.Menzel，《计算和Z[x]/（xn）的有限指数子环》，2018年预印本，18页。；https://arxiv.org/abs/1609.06433v3。 ·Zbl 1505.11127号
[4] K.Bibak、B.M.Kapron、V.Srinivasan、R.Tauraso和L.T´oth，《限制线性同余》，《数论杂志》171（2017），128-144。https://doi.org/10.1016/j。2016年7月18日·Zbl 1353.11067号
[5] J.Bougain和N.Watt，zeta函数的均方，圆问题和除数问题重访，2017年印前，23页。；https://arxiv.org/abs/1709.04340。 ·兹比尔1486.11117
[6] I.Chajda，G.Eigenthaler和H.L¨anger，环的直积理想，亚洲欧洲数学杂志。11（2018），第4期，1850094，6页。https://doi.org/10.1142/S1793557118500948 ·兹比尔1396.13003
[7] S.K.Chebolu和C.L.Henry，环的子群何时是理想？，涉及9（2016），第3期，503-516。https://doi.org/10.2140/involve.2016.9.503 ·Zbl 1342.13003号
[8] S.Chimni和R.Takloo-Bighash，《Znof非零协秩的计数子环》，2018年预印本，12页。；https://arxiv.org/abs/1812.09564。 ·Zbl 1524.11167号
[9] O.Gro’sek和Porubsk’y，ax≡b（mod n）的互质解，数学杂志。加密。7（2013），第3期，217-224。https://doi.org/10.1515/jmc-2013-5003 ·Zbl 1327.11004号
[10] M.Hampejs、N.Holighaus、L.T´oth和C.Wiesmeyr，代表和计算Zm×Zn组的子组，J.Numbers 2014（2014），文章ID 491428，6 pp·Zbl 1423.11172号
[11] 刘瑞一，Znof指数k的计数子环，J.Combinan.Theory Ser。A 114（2007），第2期，278-299。https://doi.org/10.1016/j.jcta.2006.05.002 ·Zbl 1117.11006号
[12] W.G.Nowak和L.T´oth，《关于Zm×Zn群的平均子群数》，《国际数论》10（2014），第2期，第363-374页。https://doi.org/10.1142/S179304211350098X号·Zbl 1307.11098号
[13] M.T˘arn \728]auceanu，计算有限阿贝尔群子群的一种算法，Bull。数学。社会科学。数学。Roumanie（N.S.）53（101）（2010），373-386·Zbl 1231.20051号
[14] L.T´oth，通过Goursat引理Tatra Mt.Math得到秩为2的有限交换群的子群。出版物。59 (2014), 93-103. https://doi.org/10.2478/tmmp-2014-0021 ·Zbl 1396.20061号
[15] 《多个变量的乘法算术函数：一项调查》，《无边界数学》，483-514，纽约斯普林格出版社，2014年·Zbl 1356.11003号
[16] L.T´oth和W.Zhai，关于群Zm×Zn的子群个数的误差项，n≤x，Acta Arith。183（2018），第3期，285-299·Zbl 1435.11130号
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