迈克尔·巴克（编辑）;大卫·达马尼克（编辑）;约翰内斯·凯伦登克（编辑）;丹尼尔·伦茨（编辑） 数学准晶体中的光谱结构和拓扑方法。2017年10月1日至7日举行的研讨会摘要。 （英语） Zbl 1409.00064号 Oberwolfach代表。 14，第4期，2781-2845（2017）。 摘要：非周期序数学理论是在离散几何、调和分析和数学物理的各种前人的基础上发展起来的，并在1982年谢赫特曼发现真实世界准晶后迅速发展起来的。许多数学学科对这一领域的发展作出了贡献。在这次会议上，我们的目标是将来自其中几个国家的顶尖研究人员聚集在一起，交流事态，特别关注光谱方面、动力学和拓扑。 MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 52C23型 离散几何中的准晶体和非周期镶嵌 11公里70 概率数论中的调和分析与概周期性 第28天15 一般保测度变换群 37亿B50 有限型多维位移，平铺动力学（MSC2010） 54H20个 拓扑动力学（MSC2010） 60B05型 拓扑空间上的概率测度 60G55型 点过程（例如，泊松、考克斯、霍克斯过程） 2010年第81季度 量子理论中的Selfadjoint算符理论，包括光谱分析 2006年2月 与凸几何和离散几何有关的会议、论文集、集合等 11-06 与数论有关的会议记录、会议记录、收藏品等 软件：CHomP公司;Z;间隙 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Baake}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.14，No.4，2781-2845（2017；Zbl 1409.00064） 全文： 内政部 参考文献： [1] S Akiyama，J.Caalim，K.Imai，H.Kaneko，《关于电晕极限：周期案例，预印本，arXiv:1707.02373》·Zbl 1416.52013年 [2] S.Akiyama，K.Imai，彭罗斯瓷砖的日冕极限是一个规则的十边形，摘自元胞自动机和离散复杂系统，编辑M.Cook，T.Neary，《计算机科学讲义》，第9664卷，Springer，Cham（2016），第35-48页。一些准周期贴片的拓扑性质-从结构到光谱Eric Akkermans（与Yaroslav Don、Eli Levy、Dor Gitelman联合工作）。所解决的问题是由一些一维准周期贴块和准晶的物理性质相关研究引起的。结构和光谱特性的含义定义如下。对于周期性瓷砖（晶体），这两种属性是相关的。这构成了布洛赫定理（其d=1版本有时被称为弗洛奎特理论）的基础。对于准周期平铺，结构数据和光谱数据之间还不存在这种关系。我们的目的是提供一些初步结果，这些结果可能证明与这种关系有关。我们考虑一个两个字母的字母表{a，b}。可以从不同的建筑规则中获得非周期平铺。我们首先考虑的是由它在单词w=l1l2上的作用σ定义的替换规则。lk通过级联σ（w）=σ（l1）σ（l 2）。σ（lk）。出现原矩阵M=αβγδ，因此σ（a）=aαbβ和σ（b）=aγbδ与σ相关。它允许从递归FN+1=tFN−pFN−）1中定义一个数字序列FN，其中t=TrM，p=detM和2788 Oberwolfach Report 46/2017 F0,1=0，1。M的最大特征值λ1大于1（Perron-Frobenius），我们考虑第二特征值|λ2|<1（Pisot性质）的代换。对于斐波那契代换M√f=（1 11 0），我们将其用作一般示例，λ1=τ=1+25和FN是斐波那奇数。另一个构建规则，即Cut&Project方法（以下简称C&P），相当于定义一个特征函数，（1）χ（n，φ）=signcos 2πnλ−11+φ−cosπλ−的11。相量参数φ∈[0,2π]是一个额外的规范自由度，它确定了给定有限字的原点。我们首先考虑准周期贴片的更严格的情况，它可以用替换或特征函数（C&P）来描述。基于对准周期平铺的描述，我们考虑了放置在xPk顶点的相同原子在连续字母之间的分布。这定义了原子密度ρ（x）=kδ（x−xk）。距离δk=xk+1−xkdiffer取决于字母a和b。与此原子密度相关的衍射光谱是从结构因子S（ξ）=|g（ξ）|2获得的，其中我们定义了傅里叶变换g（ζ）=Pkeiξxk。对于C&P瓷砖，衍射光谱由一组密集的布拉格峰组成。我们现在考虑大N的有限大小FN的单词。利用（1），我们得到了原子密度傅里叶变换（由非相关常数项移位）的表达式，FXN−1（2）g（ξ，φ）=ω-ξnχ（n，φ）n=0 2iπ，其中ω≡eFN。对于C&P tilings，相应的结构因子S（ξ，φ）=|g（ξ，φ）|2与φ无关。这一结果表明，离散衍射光谱的位置与原点的选择无关。为了证明这个结果，我们考虑s0（n）=χ（n，0），并应用平移算子T[s0（n）]=s0（n+1）。然后我们定义了FN×FN矩阵∑0，其矩阵元素∑0（n，l）=Tl[s0（n）]，更一般地，定义了矩阵集∑r（n，1）=Tm（l，r）[s0[n）]。然后我们得到∑1（n，l）=χ（n，φl），其中m（l，1）≡lFN−1−1（mod FN）。其中，φ取离散值集φl=F2πl。这证明了公布的结果。对于从结构因子S（ξq）=|g（ξq，φ）|2获得的每个离散衍射峰ξq=qFN−1，与θ（ξq,1）相关的缠绕数为Wξq=q。这表明C&P准周期贴片的拓扑特征是在有限尺寸原子密度的傅里叶变换阶段编码的。然后，我们考虑前面定义的在C&P tilings上定义的Schr¨odinger算子。已经采取了不同的方法，例如紧束缚离散哈密顿量[3,4,5]。在这里，由于我们对有限尺寸平铺的性质感兴趣，我们建议获得谱性质，例如状态密度或计数函数1。将在参考文献[8]中对FN矩阵∑r集合的群结构进行更深入的研究。来自散射算符的数学准晶体2789（积分态密度）。为此，我们考虑在两个由字母a或b构成的具有适当边界条件的半无限相同和周期平铺之间嵌入一个有限大小FN的平铺。这些半无限导线支持输入和输出平面波解决方案（详见[1]）。在这个装置中，与入射波和出射波有关的幺正散射算符是一个2×2矩阵，−→rt i（3）oR=t←−riRL≡SFN（φ）iiRL，其中透射和反射复振幅由t≡|t|eiθt、−→r≡rei−θ和←-r≡rei←−θ，箭头约定表示来自左侧或右侧的入射波。SFN（φ）在形式diag（eiΦ1（k，φ），eiΦ2（k，Φ））下可对角化。我们定义δ（k）≡（Φ1+Φ2）/2为总相移。它允许获得状态密度ρ（k）的简单而有用的关系，称为Krein-Schwinger公式，即1⁄1dδ（k）2πImkln-det S（k）=πdk，其中ρ0（k）是自由系统的状态密度，即没有散射结构[1]。利用酉条件，即−→r*t+←−rt*=0，我们得到了附加表达式detS=e2iδ=−t/t*=←-r/−→r*和δ（k）=θt（k）+π/2=1−→←-2θ+θ。符号−→r和←−r表示除了反射振幅的相位外，两个可能的传输通道是相同的。因此，δ（k）可以用传输相移或两个可能的反射相移之和来表示。总相移允许表征C&P准周期平铺上定义的Schr¨odinger算子的零测度Cantor集谱（例如，间隙标记定理）。除了大量的理论和数值研究[3,4,5]外，该康托谱也已在实验中观察到[6]。已经证明，δ（k）与相量φ无关，就像前面讨论的结构因子S（ξ）=|g（ξ，φ）|2一样。第二散射相∧（k，φ）≡（Φ2−Φ1）/2与δ（k）互补，可从SFN（φ）的对角线形式获得。它包含关于结构的附加信息，通过δ（k）无法获得。这个第二阶段的一个有用的改写是θcav（k，φ）=2δ（k）+α（φ），其中α≡←-θ−→θ，可以方便地解开k和φ依赖关系[2,7]。光谱间隙中k值的相位θcav（k，φ）的缠绕特性与有限尺寸原子密度衍射光谱中相位θ（ξ，l）≡arg g（ξ、φ）的卷绕特性相同[8]。这些相同的行为已在实验中观察到[9，10]。衍射谱和薛定谔谱中的拓扑特征之间的这种关系是朝向C&P和某些准周期瓷砖替代族的布洛赫定理迈出的一步。2790Oberwolfach报告46/2017参考 [3] E.Akkermans，G.V.Dunne，E.Levy，《一维波传播：复杂和分形结构的方法和应用》，摘自《非周期结构光学：基础和器件应用》，编辑L.dal Negro，潘斯坦福出版社，新加坡（2013），第407-450页。 [4] E.Levy，A.Barak，A.Fisher，E.Akkermans，《斐波那契准晶的拓扑性质：Chern数的散射分析》，预印本，arXiv:1509.04028（2015）。 [5] J.Bellissard，A.Bovier，J.-M.Ghez，具有倍周期势的紧束缚哈密顿量的光谱性质，Commun。数学。物理。135 (1991), 379-399. ·Zbl 0726.58038号 [6] J.Bellissard，B.Iochum，E.Scoppola，D.Testard，一维准晶的光谱特性，Commun。数学。物理。125 (1989), 527-543. ·Zbl 0825.58010号 [7] D.Damanik、M.Embree、A.Gorodetski，《准晶研究中产生的Schr¨odinger算子的光谱特性》，载于《非周期秩序数学》编辑J.Kellendok、D.Lenz、J.Savinien，《数学进展》，第309卷，Birkh¨auser，巴塞尔（2015），第307-370页·兹比尔1378.81031 [8] D.Tanese，E.Gurevich，F.Baboux，T.Jackmin，A.Lemaˆtre，E.Galopin，I.Sagnes，A.Amo，J.Bloch，E.Akkermans，斐波那契准周期势中极化子气体的分形能谱，物理学。修订稿。112, 146404 (2014). 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Pogorzelski共同工作）在本次演讲中，我们讨论了基于各种合作的最新发展和结果[1、2、3、4、5]。在这个研究项目中，我们寻求连接自共轭算子的动力学和谱特性。我们考虑的中心是非周期固体量子力学模型中产生的Schr¨odinger算符。迄今为止，通过传递矩阵和轨迹图的方法得到了令人惊讶的结果，表明物理系统中出现了新的现象。不幸的是，除非操作符分解为一维系统，否则这种技术不会扩展到更高维的系统[7,8]。受迄今为止开发的技术的启发，适当的近似理论将有助于数值和分析结果。这种理论在[1、2、3、4、5]中建立。在演讲中，我们讨论了这种方法，同时特别关注[3]中实现的定量估计。为了简单起见，我们仅限于Zd上符号动力系统的更简单情况，而大多数结果具有更大的普遍性。数学准晶体2791给定一个自共轭有界算子H，其谱σ（H）是R的紧致子集。R紧致子集的空间K（R）自然而然地配备了欧几里德度量的Hausdorff度量dH。在[2]中，研究了一类由拓扑（度量）空间t索引的自伴有界算子（Ht）t∈Tis。在那里，映射t7→σ（Ht）的（H¨older-）连续性由算子的适当范数的（H–older–）连续性来表征。如果下面描述的基础动力系统收敛，则使用此方法显示谱的收敛性。对于有限集a，我们将考虑限制在符号动力系统（AZd，Zd）上。具体来说，配置空间AZd:=Qn∈ZdA配备了产品拓扑。此外，对于n∈Zd和w∈AZd，Zdacs通过平移连续进行，即αn（w）：=w（·−n）。定义了一类Schr¨odinger算子Hw:▽2（Zd）→У2（Zd），w∈AZd！X Hw:=Mqh，wUh+U−hMqh、w+Mp，w h∈R，其中R⊆Zdis有限，对于f:AZd→C，Uhu（n）:=U（n−h），Mf，wu（n）：=fα−n（w）U（n。如果R生成Zd，R上的和就是Zdwith生成器R的Cayley图上的Laplacian。相应的相关乘法运算符被解释为边上的权重。实值函数p◦α-•（w）：Zd→R的乘法算子Mp，wb称为势项。qh◦α−•（w）：Zd→C和p◦α‐•（w:Zd→R的乘法运算符应反映配置w在Zd中相应位置的局部结构。有鉴于此，假设函数qh:AZd→C和p:AZd-R是连续的。由于一维系统的详细描述，周期近似是迄今为止最有希望处理Schr¨odinger算子的方法，其中w代表准晶。这是基于这样一个事实，即可以用Floquet-Bloch理论分析光谱特性，并且根据经验，周期近似承认最佳的收敛速度。因此，我们要解决的问题是，周期系统（wn）到w的收敛概念意味着相关Schr¨odinger算子的许多谱性质的收敛。阐述[1,2,3,4,5]表明，动力学子系统上的Chabauty-Fell拓扑[6,9]编码了几个谱特性。更准确地说，研究了具有Chabauty-Fell拓扑的动力学子系统Ω⊆AZd闭、不变K AZd的紧可度量空间。I上的度量由Hausdorff度量dAH给出，由度量d:AZd×AZd→[0，1]，d（w，w′）：=1 supr∈N0:w|Br=w′|Br+1给出，其中Br⊆Rdis是半径r以0为中心的闭球。2792Oberwolfach报告46/2017在[1，4]中，特别关注Schr¨odinger算子的谱的收敛性。更准确地说，对于I⇐⇒有限且全连续的p和q中的所有R⊆Zd Orb（wn）→Orb（w），K（R）中的σ（Hwn）→σ（H w）是等价的，其中Orb（w）：={αn（w）：n∈Zd}是乘积拓扑中的轨道闭包。硬方向“⇒”依赖于通过粘合动力系统来构造C*代数的连续域。该项目的成果基于将动力学嵌入I定义的Chabauty-Fell拓扑中。该策略适用于[4]所示的拓扑群胚的一般性。因此，在对非对角项、一般动力系统（X，G）和与Delone集相关的Schr¨odinger算子进行适当的衰减假设的情况下，R无穷大也有类似的结果。唯一的限制是对基础结构的适当的可接受假设。因此，我们的方法为处理非常有趣的示例（如Penrose平铺）提供了可能性。如前所述，我们专注于准晶体周期近似的存在性和构造。解决了一维系统周期逼近的存在性和构造问题[1,4]。在高维中，代换系统的局部对称性导致了周期近似的特定构造，包括已知结果，例如斐波那契序列，也包括高维系统，例如表拼接[1]。此外，第一次阐述[5]表明，欧几里德设置中的剪切投影集允许对测量量进行适当的周期近似。在最近的一个项目[5]中，我们分析了I内Chabauty-Fell拓扑中与Delone动力系统相关的测度的行为。这种方法对于一般局部紧第二可数Hausdorff群中的Delone动力学系统是有效的。结果表明，如果底层Delone动力系统收敛于I且极限对象是唯一遍历的，则测度收敛。更准确地说，考虑了状态密度测度和自相关测度。作为应用，通过用连续窗函数逼近相应的格和窗函数来研究割投影集。值得一提的是，晶格上的微小变化在欧几里德设置中提供了周期近似，这使得这种方法非常有趣。由于切割过程高度非连续，需要考虑连续窗口功能。如果窗函数的近似也导致相关谱的收敛，则有待进一步研究。如前所述，在[1,4]中使用了C*-代数方法来显示谱的收敛性。在最近的工作[3]中，对于Rd上的Schr¨odinger算子在Rd上接受强模式等变势qhandp，在没有这种机制的情况下提供了一个不同的证明。更准确地说，证明了常数C>0（取决于维数）的存在性，使得αdHσ（Hw），σ（Hw′）≤C·kHkα·dAHOrb（w），Orb（w'），w，w′∈AZd。这里，kHkα表示Schurα范数，其中α∈[0，1]被选择，使得kHk a是有限的。Schurα范数测量Schr¨odinger算子的非对角项数学准晶体2793的多项式衰减。因此，只要R是有限的，kHk1就是有限的，这意味着谱的Lipschitz连续性。证明的基础是通过Rd的二次划分对算子进行适当的局部化。目前的主要任务是估计具有这种局部化的换向器，这将在谈话中讨论。工具书类 [13] S.Beckus，非周期Schr¨odinger算子的谱逼近，耶拿弗里德里希·席勒大学博士论文（2016）。 [14] S.Beckus，J.Bellissard，自共轭算子场谱的连续性，Ann.Henri Poincar´e 17（2016），3425-3442·Zbl 1354.81018号 [15] S.Beckus，J.Bellissard，H.Cornean，《豪斯道夫度量中Schr¨odinger算子的谱稳定性》，编制中（2017）。 [16] S.Beckus，J.Bellissard，G.de Nittis，非周期量子系统的光谱连续性I.一般理论，预印本，arXiv:1709.00975（2017）·Zbl 1406.81023号 [17] S.Beckus，F.Pogorzelski，《Delone动力学系统和谱收敛》，编制中（2017）·Zbl 1443.37007号 [18] C.Chabauty，Limite d’ensemples et g’eom’etrie des nombres，公牛。社会数学。法国78（1950），143-151·Zbl 0039.04101号 [19] D.Damanik，A.Gorodetski，大维正则Cantor集和平方斐波那契哈密顿量之和，预印本，arXiv:1601.01639（2016）·兹比尔1344.47021 [20] D.Damanik，A.Gorodetski，B.Solomyak，奇异测度的绝对连续卷积及其在平方斐波那契哈密顿量中的应用，Duke Math。J.164（2015），1603-1640·Zbl 1358.37117号 [21] J.M.G.Fell，局部紧非Hausdorff空间闭子集的Hausdorvf拓扑，Proc。阿默尔。数学。《社会分类》第13卷（1962年），第472-476页。轨道等价、维数组和特征值Mar´un a Isabel Cortez，Fabien Durand（与Samuel Petite联合工作）在与X.Bressaud，a.Frank，B.Host，a.Maass和S.Petite的一系列论文[3，1，2，6，5]中，我们研究了最小Cantor系统的连续和非连续特征值。在其他问题中，我们正在寻找特征值连续或非连续的（可计算的）必要和充分条件。这是针对[5]中的连续特征值实现的。利用S.Petite，我们研究了在给定的强轨道等价类中可以实现的对特征值组的限制。对于最小康托系统（X，T），设E（X，T）是实数α的集合，使得λ=exp（2iπα）是连续特征值（即具有连续特征函数f:f◦T=λf）。我们从[9]中知道，强轨道等价极小康托系统共享相同的连续特征值子群，这些连续特征值是单位根。如[9]所示，轨道等效不再成立。事实上，Ormes证明了在规定的轨道等价类中，圆的任何可数子群都可以实现为一组可测特征值。2794Oberwolfach报告46/2017碰巧，[8]中显示了第一个限制：最小康托系统（X，T）的特征值的加性组E（X，T）是维度组的所有图像通过其轨迹的交集的一个子组。从动力学上讲，它是I（X，T）=≠µ∈M（X，T）f dµ|f∈C（X，Z）的一个子群，其中M（X、T）是（X，C）的T不变概率测度集，C（X、Z）是从X到Z的连续函数集。对此观察的不同证明可以在[3]中找到，但没有指出。在[4]中，我们得到了以下附加约束。定理。假设（X，T）是一个极小康托系统，使得维群K0（X，T）的无穷小子群是平凡的。那么商组I（X，T）/E（X，T）是无扭转的。在[7]中，放松了假设，删除了无穷小子群上的假设。为了说明这个结果，取K0（X，T）=Z+αZ=I（X，T），α无理。这是斯图尔米亚班的情况。然后，在（X，T）的强轨道等价类中，唯一可以实现的连续特征值组是Z，它将提供拓扑弱混合最小康托系统，以及Z+αZ。此外，两者都可以实现，在第一种情况下使用[9]中的结果，在第二种情况下，它是通过Sturmian子移位实现的。除了这些特殊的例子外，到目前为止还没有获得一般的实现结果。工具书类 [22] X.Bressaud，F.Durand，A.Maass，线性递归动力康托系统特征值的充要条件，J.London Math。Soc.72（2005），799-816·Zbl 1095.54016号 [23] X.Bressaud，F.Durand，A.Maass，关于有限秩Bratteli-Vershik动力系统的特征值，遍历理论与动力学。系统。30 (2010), 639-664. ·Zbl 1204.37008号 [24] M.I.Cortez，F.Durand，B.Host，A.Maass，线性递归动力康托系统的连续和可测特征函数，J.London Math。Soc.67（2003），790-804·Zbl 1045.54011号 [25] M.I.Cortez，F.Durand，S.Petite，特征值和强轨道等价，遍历理论与动力学。系统。36 (2016), 2419-2440. ·Zbl 1375.37008号 [26] F.Durand，A.Frank，A.Maass，最小康托系统的特征值，预印本，arXiv:1504.00067（2015）·Zbl 1416.54018号 [27] F.Durand，A.Frank，A.Maass，有限拓扑秩Toeplitz极小系统的特征值，遍历Th.&Dynam。系统。35 (2015), 2499-2528. ·兹比尔1356.37013 [28] T.Giordano，D.Handelman，M.Hosseini，《康托极小系统及其连续谱的轨道等价性》，预印本，arXiv:1606.03824（2016）·Zbl 1394.37015号 [29] B.Itz´a-Ortiz，特征值，K-理论和最小流，加拿大。数学杂志。59 (2007), 596– 613. ·兹比尔1132.37007 [30] N.S.Ormes，最小同胚的强轨道实现，J.Anal。数学。71 (1997), 103-133. 数学准晶体2795二维准晶的光谱计算Mark Embree（与David Damanik、Jake Fillman、Anton Gorodetski、May Mei、Charles Puelz共同工作）一维准晶的数学模型，尤其是斐波那契哈密顿量，已经达到了高级精细化状态[2]。相反，我们对二维准晶模型的理解还处于初级阶段。这篇演讲描述了一些与二维模型相关的分析和计算结果。一维周期模型的快速谱计算最简单的二维模型是通过在正方形晶格上组合一维准周期模型来构造的。然后，这种方形模型的光谱等于相应一维光谱的集合和。虽然这些一维谱是康托集，但平方模型不一定是这样。我们提供了[1]中的数值计算，该计算将该谱的结构估计为Fibonacci、Thue-Morse和倍周期模型的耦合常数（即电势权重）的函数。在许多情况下，一维拟周期势的周期近似导致拟周期模型谱的覆盖（上界）；长时间的预测更准确。Floquet-Bloch理论表明，周期p的一维模型的谱包含由参数化p×p矩阵Jp（θ）的特征值追踪出来的p个实区间的并集；对于p=7，v11e−iθ1v211v31Jp（θ）=\63727 ; 1v 41 Jp（θ））。（vj值指定电位；未指定项为零。）这些区间的端点由σ（Jp（0））和σ（Jp（π））给出，因此可以通过计算两个p×p对称矩阵的所有特征值来确定周期近似的谱。当p很大时，角条目e±iθ导致传统的QR特征值算法使用O（p2）存储和O（p3）计算时间。我们描述了[6]中的一个简单技巧，该技巧使用宽度第一顺序重新标记周期势中的p位，有效地执行正交相似变换（规范2796Oberwolfach报告46/2017变换），以获得五对角矩阵（如p=7所示）v1; eiθv70110v201P Jp（θ）P*=10v601 10v601.10v301 10v50 10v4这个变换后的矩阵具有与P无关的固定带宽，因此数值线性代数的标准算法通过O（P）存储和O（p2）计算传递该矩阵的所有特征值。这种改进变得尤为重要，因为较大的p值通常会导致特征值在数值上不准确（毕竟，我们正在寻求康托集的良好覆盖），因此需要使用昂贵的扩展精度算法。我们用文献[6]中的结果来说明该算法，这些结果显示了双精度和四精度计算的准确性，以及斐波纳契模型的Hausdorff维数估计值和Thue-Morse势的间隙缩放。二维周期模型中的间隙开口在上述周期p模型中，人们总是可以构造一个势能，其范数任意小，具有具有p−1不同间隙的谱。正方形格子上的（p，q）-周期模型也是如此吗？我们描述了[3]中最近的一个结果，表明情况并非如此，扩展了Kr¨uger[5]的早期工作。具体地说，如果p和q都是偶数，任意小的（p，q）-周期模型可以在E=0时打开一个间隙；除此之外，任意小的（p，q）-周期势不能打开任何间隙。这一事实的证明来自对称矩阵的特征值摄动理论。Penrose贴片的拉普拉斯图特征值可以说，最有趣的二维准晶模型来自Penrose贴片生成的图上的拉普拉斯图。我们以基于罗宾逊的石头膨胀规则的数值结果（与Fillman和Mei一起）结束了演讲。我们举例说明了在E=2和E=4时发生的具有局部支持的模式（正如Kohmoto和Sutherland[4]所观察到的那样），这导致这些能量下的积分态密度跳跃；我们展示了该模型的其他有趣的模态结构，值得进一步研究。工具书类 [31] D.Damanik、M.Embree、A.Gorodetski，《准晶研究中产生的Schr¨odinger算子的光谱特性》，载于《非周期秩序数学》编辑J.Kellendok、D.Lenz、J.Savinien，《数学进展》，第309卷，Birkh¨auser，巴塞尔（2015），第307-370页·兹比尔1378.81031 [32] D.Damanik，A.Gorodetski，W.Yessen，《斐波那契哈密顿量》，《发明》。数学。206 (2016), 629-692. 数学准晶体2797·Zbl 1359.81108号 [33] M.Embree，J.Fillman，《具有小电位的离散二维周期Schr¨odinger算子的谱》，发表于J.Spectral 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46/2017，其中势是两个片段的和：一个片段只取决于x，另一个片段仅取决于y。这些算子的谱易于分析，因为它们只是一维谱的Minkowski和，即σL（2）V=σ（L1，V2V1）+σ（LV2）=a1+a2:aj∈σ（LVj）。然而，即使这些表面上简单的模型也触及了几何测量理论中的深层次问题。特别是，两个零测度康托集的Minkowski和可以是康托集、区间、区间的有限并集，或者更奇特的东西。σL（2）λ包含1Vω，λ2Vω的参数范围包括区间和康托集[8]，其中Vω由等式（1）-（2）定义。然而，有理由怀疑更多是真的。受[5]关于围绕斐波那契数列构建的可分离离散模型的结果的部分激励，我们提出了以下问题：问题。如果Vω由等式（1）-（2）定义，那么σL（2）λ包含1Vω，λ2Vω是λ1的每一个选择的半线，λ2>0是真的吗？这个问题也是由周期Schr¨odinger算子的Bethe-Sommerfeld猜想引发并与之相关的，该猜想激发了许多作者的大量贡献，包括（但不限于）[10、11、14、15、16、17、18]，并在Parnovskii的论文[13]中达到顶峰。在这一点上，我们最后讨论了离散的Bethe-Sommerfeld猜想，Embree-Fillman[6]在维度2和Han-Jitomirskaya在更高维度中证明了该猜想 [37] 二维周期离散Schr¨odinger算子具有足够小的势，其谱由一个或两个区间组成，只要至少有一个周期是奇数，就保证是一个单区间。使用简单的У∞摄动理论，这立即意味着在Z2波谱中存在一大类具有一个或两个连接分量的极限周期Schr¨odinger算子。工具书类 [38] M.Boshernitzan，具有线性块增长的最小符号流的独特遍历性，J.Analyse Math。44 (1984/85), 77-96. ·Zbl 0602.28008号 [39] M.Boshernetzan，最小区间交换映射是唯一遍历的一个条件，杜克数学。J.52（1985），723-752·Zbl 0602.28009号 [40] M.Boshernitzan，最小符号流唯一遍历的条件，遍历理论与动力学。系统。12 (1992), 425-428. ·Zbl 0756.58030号 [41] 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Report 46/2017经典等度连续性是一个非常强的性质，它对于研究次移位或Delone系统不是很有用。每个等连续子移位或Delone系统都是周期的[2]。Fomin[4]引入了较弱形式的等度连续性。定义1。如果每个ε>0都存在δ>0，即如果d（x，y）≤δ，则XN 1 lim-supd（Tix，Tiy）≤ε，则TDS是平均等连续的。N→∞N i=1每个等连续TDS都是平均等连续的。考虑到定义的平均性质，人们可能会认为这种拓扑性质与遍历性质密切相关。Oxtoby证明了每个最小平均等连续系统都是唯一遍历的[14，1]。据推测，该测度必须具有离散谱[15]（见下文定义）。这个问题在[13]和[5]中分别得到了回答。定理1（[3]，13]）。最小TDS（X，T）是平均等连续的当且仅当存在等连续的TDS（X'，T'），使得（X，T'，µ）是（X′，T′，µ′）的同构扩张（其中µ和µ′是各自的不变测度）。如果对于每个ε>0，存在δ>0，使得对于直径（U）≤δ1XN limsupdiam（TiU）≤ε的每个开集，我们称TDS是BD-man等连续的。N−M→∞N−Mi=M+1定理2（[5，6]）。最小TDS（X，T）是BD-等连续的当且仅当存在等连续的TDS（X′，T′），使得（X，T，µ）是（X′，T’，µ′）的正则同构扩张（其中µ和µ′是各自的不变测度）。不难证明TDS是BD-man等连续的当且仅当对于每个ε>0且x∈x存在δ>0，使得BDi∈N:diam（TiBδ（x））>ε<ε，其中Bδ（x）是x的δ-邻域，BD表示上Banach密度。另一种形式的顺序是零拓扑序列熵，也称为零系统。有关定义和属性，请参见[12，10]。定理3（[5，6]）。每个最小零TDS都是BD平均等连续的。定义2。设（X，T）是TDS，µ是不变的Borel概率测度。我们说（X，T）是µ-平均等连续的，如果对于每个τ>0存在一个紧集M⊂X，其中µ（M）≥1−τ，使得对于每个ε>0，存在δ>0这样的数学准晶体2801，即当X，y∈M和d（X，y）≤δ时，XN 1 N→∞Nd（Tix，Tiy）≤ε。i=1 Halmos和von Neumann证明了遍历动力学系统具有离散谱的当且仅当它同构于最小等度连续TDS（对应于其不变测度）[11]。定理4。设（X，T）是TDS，µ是不变遍历概率测度。则（X，T，µ）同构于极小等连续TDS当且仅当（X，T）是µ-平均等连续。注意，唯一遍历拓扑弱混合系统可能具有离散谱。这些系统决不是平均等连续的[7]。设（X，T）是TDSµa Borel概率测度，f∈L2（X，µ）。我们说（X，T）是µ-f-平均等连续的，如果对于每个τ>0，都存在一个紧集M⊂X，其中µ（M）≥1−τ，使得对于每个ε>0都存在δ>0，这样每当X，y∈M且d（X，y）≤δ时，XN 1f（Ti N→∞Nx）−f（Tiy）≤ε。i=1定理5（[8]）。设（X，T）是TDS，µ是不变遍历概率测度，f∈L2（X，µ）。那么f几乎是周期的当且仅当（X，T）是µ-f-平均等连续的。对于最小唯一遍历系统（每个蕴涵都是严格的），我们有以下层次结构：等连续⇒空⇒BD-平均等连续⇒.µ-平均等持续⇒µ-f-平均等连续（对于一些但不是每个f∈L2）。工具书类 [56] J.Auslander，Mean-L-稳定系统，伊利诺伊州数学杂志。3 (1959), 566-579. ·兹比尔0097.11102 [57] M.Baake，D.Lenz，R.V.Moody，动力学系统模型集的表征，遍历理论与动力学。系统。27 (2007), 341-382. ·Zbl 1114.82022号 [58] T.Downarowicz，E.Glasner，同构扩展和应用，拓扑。方法非线性分析。48 (2015), 321-338. ·Zbl 1362.37026号 [59] S.Fomin，关于纯点谱动力系统，Dokl。阿卡德。Nauk SSSR 77（1951），29-32·Zbl 0045.38803号 [60] F.Garc´a-Ramos，拓扑的弱形式和测度理论的等度连续性：与离散谱和序列熵的关系，遍历理论与动力学，系统。37 (2017), 1211-1237. ·Zbl 1366.37019号 [61] F.Garc´a-Ramos，E.Glassner，X.Ye，正则同构扩张和直径等度连续性，进行中。 [62] 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L.Lebowitz联合工作）近年来，一类特殊的超均匀粒子系统，即隐形超均匀（以下简称SH）系统，引起了人们的极大关注[14,15,16,17,18]。这些系统的特征是结构函数S（k）在k=0附近消失。量S（k）也称为巴特利特谱。SH点过程的一个自然推广是考虑点过程或随机场，它们在开集U上的谱中有一个间隙，可能不包括原点。我们将这些过程称为广义隐形（以下简称GS）过程。术语“隐形”以及对SH粒子系统的物理兴趣源于这样一个事实，即此类系统对于间隙U中的波矢量k是光学透明的（不可见）。对如何构建SH粒子系统进行了数值和实验研究。这些系统在有限温度下不可能是具有回火电位的平衡系统。然而，它们可能是此类系统的基态，例如经典系统的周期（无序）零温态，或者它们可以生成为非平衡态。SH系统是超均匀（超均匀）粒子系统的扩展。超均匀体系在物理学和数学文献中都得到了广泛的研究，它减少了涨落：Rdor Zdgrow中D域中粒子数的变化慢于D的体积。超均匀材料的重要性，尤其是SH体系，在于它们体现了晶体和无序或随机系统的特性（见[9,10]及其参考文献）。对于平移不变系统，可以通过观察其结构函数来获得超均匀性的等价特征。然后，超均匀性归结为k=0时结构函数S（k）的消失。因此，SH系统涉及结构功能消失的特定方式。数学准晶体2803在文章[18]中，Zhang、Stillinger和Torquato提供了数值证据，支持隐身超均匀过程的一些显著推测性质，特别是隐身超一致过程的孔径是一致有界的。在[10]中，我们对隐身超均匀过程进行了严格的数学分析，并建立了这个猜想的准确性。特别地，我们证明了定理1。设ξ是一个隐形超均匀点过程。设B（x；r）是中心为x、半径为r的球。则存在一个正数r0，使得P|ŞõB（x；r0）|=0=0。此外，数量r0可以选择为Cb−1，其中b是结构函数S间隙中包含的最大球（以原点为中心）的半径，C是一个普适常数。我们还建立了隐形超均匀过程粒子数的反集中性质：定理2。设Ξ是Rdor Zdwi上的一个隐形超均匀点过程，其中一点强度ρ和b是\926]的结构函数消失的原点周围最大球的半径。存在数字C，C>0（与Ξ的所有参数无关），因此，在边长Cb−1的任何给定d维立方体中\926]的点的数量是以Cρb−d为界的a.s。SH过程中的空穴不能大于确定尺寸，这表明这些过程中存在高度结晶行为。在我们的工作中，我们进一步建立了这些系综的一个显著的最大刚度性质。事实上，我们可以在GS流程的设置中做到这一点。对于Rd和有界域D Rd上的点过程（更一般地说，是一个随机场或随机测度），如果Ψ完全由过程（即过程的确定函数）决定，则定义在D上的统计Ψ被称为刚性的。从长远来看，具有刚性的点过程与泊松过程形成了显著的对比，泊松过程中D的内外过程在统计上是独立的。在过去几年里，人们对粒子系统的刚性现象进行了深入的研究，并证明在许多自然模型中都出现了刚性现象，尽管如此，这些模型离晶体还很远。关键示例包括Ginibre系综、高斯零点、Dyson对数气体、库仑系统和与随机矩阵理论相关的各种行列式过程（参见，例如[11、6、7、8、5、12、9]）。在[10]中，我们证明了Rdor Zdexibit最大刚性上的GS随机测度：即对于任何域D⊂Rd，随机测度[Ξ]|D∁完全决定测度[̺]|D（即后者是前者的确定可测函数）。在形式上，我们证明了：定理3。设Ξ是Rdor Zd上的广义隐身随机测度。那么对于任何有界域D，随机测度[Ξ]|Dis几乎肯定由随机测度[[\926；]|D确定（即是其可测函数）。2804 Oberwolfach报告46/2017。我们进一步表明，要获得上述意义上的最大刚度，结构函数在波空间的某个点上消失得比任何多项式都快就足够了。在一维离散设置（即Z上的Z值过程）中，这也可以看作是Borichev、Sodin和Weiss最近定理的结果[4]；在更高的维度或连续体中，这种现象似乎很新颖。从衍射谱推断随机过程的问题在衍射理论中已有很长的历史，我们相信本文中的结果会引起该文献的兴趣。我们请有兴趣进一步探索这一方向的读者参阅[1,2,3]。注意，S（k）中不包括中心布拉格峰ρ2δk=0。工具书类 [71] M.Baake，M.Birkner，R.V.Moody，《随机点集的衍射：显式可计算示例》，Commun。数学。物理。293 (2010), 611-660. ·Zbl 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[88] G.Zhang，F.H.Stillinger，S.Torquato，奇异无序“隐形”粒子构型能容忍任意大的空穴吗？预印本，arXiv:1705.04415（2017）。数学拟晶体2805一般群的tame极小动力系统的结构Eli Glassner布尔根-林-三角二分[1]的动力学版本表明，动力系统的包络半群要么非常大，并且包含βN的拓扑副本，要么是“tame”拓扑空间，其拓扑由序列的收敛性决定。在后一种情况下，动力系统称为tame[8,2]。WAP（弱概周期）和HNS（遗传非敏感）系统是温和的，在温和系统的典型例子中，可以找到许多切割和投影系统，如经典的Sturmian和一些Toeplitz流[5]。几位作者研究了具有阿贝尔作用群G的极小驯服动力系统（X，G），证明了此类系统几乎是自守的且唯一遍历的，并且从X到其最大Kronecker因子的正则连续映射是一个测度理论同构，[6,7,3]。当表演团体被认为是不可交换的，甚至是不可服从的，会发生什么？在这里，人们可以发现全新的现象和丰富的新例子。其中最突出的是格罗莫夫双曲群的边界以及球面和投影空间上的线性作用。在最近的一项工作[4]中，我使用极小动力系统的结构理论表明，对于一般群G，一个温和的、度量的极小动力系统（X，G）具有以下结构：X~ooθ*X*⑦η⑦⑦⑦⑦ι⑦⑦⑦XπZπ*σYooY*θ这里（I）~X是一个度量的极小且温和的系统（ii）η是强近接延伸，（iii）Y是强近邻系统，（iv）π是点远接延伸，RIM延伸具有唯一截面，（v）θ、θ*和几乎是一对一延伸，（vi）σ是等距延伸。当图π也打开时，该图缩小为X⁄⑦η⑦⑦ⅦⅦП⑦⑥⑦XZπσY 2806 Oberwolfach报告46/2017。通常，强烈近端伸展η的存在是不可避免的。如果系统（X，G）允许一个不变测度µ，则Y是平凡的，而X=X是一个几乎自守的系统；即X→Z，其中，l几乎是一对一的l扩张，Z是等连续的。此外，µ是唯一的，并且是一个测度理论同构定理：（X，µ，G）→（Z，λ，G。工具书类 [89] J.Bourgain，D.H.Fremlin，M.Talagrand，Baire可测函数的点态紧集，Amer。数学杂志。100（1978）第845-886页·Zbl 0413.54016号 [90] 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Gorodetski关于高维非周期算子（如Penrose平铺上的Laplacian算子）的谱性质的大多数问题都是完全开放的；唯一已知的结果与定义良好的态密度测度的存在性及其一些性质有关[10,11,12]。在一维晶格上，准晶的合理模型是替换序列（如斐波那契、图伊莫尔斯、倍周期）和斯图尔密序列。在所有这些情况下，已知谱是耦合常数[1，2，3，14]的所有非零值的康托零测度集。同时，光谱的其他特征可能会有很大不同。例如，对于斐波那契哈密顿量[6]、Thue-Morse[1]和倍周期势[2]，已知小耦合的间隙大小渐近性，并且证明是与模型相关的。作为另一个例子，已知斐波那契哈密顿量谱的Hausdorff维数的精确大耦合渐近性[5]-它作为耦合对数的倒数趋于零；同时，在Thue-Morse势的情况下，谱的Hausdorff维数是一致有界的，远离零[13]。斐波那契哈密顿量是研究最多的，因为它既属于具有Sturmian势的算子，也属于具有由置换序列给出的势的算子。追踪图方法可以非常详细和几乎完整地描述光谱特性、态密度测量、输运特性等，见[9]及其参考文献。数学准晶体2807利用获得的一维结果获得关于高维非周期算符光谱性质的直觉的方法之一是通过可分离势。在这种情况下，二维（或更高）晶格上的势由两个势之和给出，每个势仅取决于其中一个坐标。在这种情况下，离散Schr¨odinger算子的谱是相应一维算子谱的Minkowski和，状态密度测度是通过相应状态密度测度的卷积给出的。在斐波那契哈密顿量的情况下，谱是动态定义的康托集[9]。关于动态定义的康托集的和的结构的问题以前在动力系统和数论中出现过。应用一些现有的方法，并使用斐波那契哈密顿量谱的已知结果，可以表明平方斐波那契哈密顿量的谱是耦合常数的小值的区间，并且是大耦合的零测度的康托尔集[6]。此外，相对于小耦合的勒贝格测度，态密度通常是交流的[8]。此外，有趣的是，存在一个区域（耦合空间中的开集），其中平方斐波那契哈密顿量的谱通常具有正勒贝格测度，而状态密度测度是奇异的[7]。有关非周期Schr¨odinger算子光谱特性的这些结果和许多其他结果的最近详细调查，请参见[4]。工具书类 [97] 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Walton联合工作）本次演讲的目的是演示如何根据关于圆环上更高阶线性作用的问题来重新表述切割和投影集中模式的问题。演讲的目的之一是强调这些类型的问题与丢番图近似中的问题之间的紧密联系。首先，我们首先回顾了Morse和Hedlund关于Sturmian序列的经典结果[7,8]，其中给定大小的模式对应于由无理旋转α（定义Sturmia序列的斜率）确定的圆中的区域。这一观点很快导致对与Sturmian序列中模式相关的三个量的详细了解：复杂性、频率和重复性函数。理解复杂性是一个几何问题，它精确地对应于计算圆的连接分量的数量，去掉α旋转下的有限子轨道0。关于模式频率的问题可以通过理解相连分量的体积来回答，这是丢番图近似中的一个间隙问题的简单示例。通过对α的连分式展开的详细分析，回答了有关模式重复性的问题。Sturmian序列是通过从二维总空间投影获得的一维截集和投影集的示例。对于更一般的切割集和投影集，在窗口满足适当的规则性条件（这是我们谈话中的一个长期假设）的情况下，我们可以就模式的复杂性、频率和重复性提出类似的问题。不难看出，与Sturmian序列的情况一样，对于k到d的切割集和投影集，在删除物理空间确定的自然Zd作用下的边界子轨道后，给定大小的模式和窗口的连接组件之间存在对应关系。这种思想在[6]中被用来令人满意地理解割集和投影集中模式的复杂性，以及复杂性函数的增长如何与相关拓扑空间的上同调相关。给定大小的模式在切割集和投影集中的不同频率数问题与丢番图近似中的高维间隙问题有关。这些问题通常比一维问题要困难得多。在[2]中，我们证明了，对于任意k和d，数学拟晶体2809是一个割集和投影集的全Hausdorff维集，对于任意r≥1，r大小的模式的不同频率数保持有界。我们还表明，对于几乎每个k到d的割集和投影集（关于Lebesgue测度），对于任何大于0的r，以及所有足够大的r，r大小的模式的不同频率的数量在上面由（logr）（1+ǫ）（d+1）（k−d）限定。此外，最近关于高维Steinhaus问题的工作[5]现在也暗示了一个以前难以理解的结果，即对于几乎每个切割和项目集，r大小的模式的不同频率的数量是不受限制的。最后，关于切割集和投影集中模式的重复性问题涉及到对相应的动态编码中区域连接组件的体积和形状的仔细研究。这种类型的研究最近在[3]中进行，在那里我们明确描述了所有具有立方窗的线性重复切割集和投影集的集合。关于这个问题的进一步工作，包括发展与丢番图近似、差异理论和利特伍德猜想的联系，可以在[1]和[4]中找到。工具书类 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[118] M.Morse，G.A.Hedlund，符号动力学II。阿默尔，斯图尔曼轨迹。数学杂志。62 (1940), 1-42. 在这篇演讲中，我们概述了与Gelfand对（交换空间）相关的齐次空间中模型集的衍射理论，如[3,4]中所发展的那样。1.齐次空间中的模型集通过剖分投影方案，我们将意味着一个三元组（G，H，Γ），其中G和H是局部紧的第二可数（lcsc）群，Γ<G×H是一个内射到G并密集投影到H的格以及2810Oberwolfach Report 46/2017紧子集W⊂H（内部非空），我们将相关模型集P0=P0（G，H，Γ，W）定义为P0:=prG（G×W）Γ，其中prG表示G×H的因子G上的投影。如果K<G是紧致子群，我们也将P0在齐次空间X=G/K中的图像P称为模型集。对于G和H Abelian和K triff，这是Meyer和其他人使用的经典的剪切项目结构。在演讲中，我们讨论了黎曼对称空间、Bruhat-Tits建筑和幂流形中的非经典示例，包括算术和非算术示例。在续集中，我们保留了字母P0来表示lcsc组G中的模型集；我们将始终假设相应的窗口W满足以下正则性条件，（1）W=Wo，|W |=0，StabH（W）={e}，W prH（Γ）=∅。另一方面，我们将（至少在最初）不假设Γ是一致的。我们还固定了一个紧子群K<G，并用P⊂X:=G/K表示P0在正则投影P:G→X下的像。P0和P分别是关于G和X上度量的自然类的Delone集，并且都具有G-有限的局部复杂性，即到G-平移的有限多个补丁。此外，P0−1P0是一致离散的，这可以看作是一个长程有序性质。2.模型集的外壳给定lcsc群G的齐次空间Z，我们将用C（Z）表示Z的所有闭子集的集合，这些闭子集被认为是关于Chabauty-Fell拓扑的紧致可度量空间，并且给定子集Q⊂Z，我们用ΩQ:=G.Q:G∈G⊆C（Z）表示它的外壳。我们的模型设置了P0和P，然后分别产生了拓扑动力系统GyΩP0⊂C（G）和G yΩP \8834]C（X）。如果底层晶格是非均匀的，则这些外壳包含作为非平凡不动点的空集。因此，我们还将考虑穿孔外壳Ω×Q:=ΩQ{∅}表示Q∈{P0，P}。先验地，尚不清楚Ω×PorΩ×是否承认任何G-不变概率测度。为了解决这个问题，我们建立了Schlottmann环面周期映射的如下推广[7]；这里，Y:=（G×H）/Γ是一个参数空间，它推广了经典的环面参数化[1,7]。定理2.1（参数化映射，[3]）。假设P0⊂G是如上所述的模型集。（1） 存在一个唯一的Borel G-mapβ：Ω×P→Y的闭0图，它将P0映射到Y的基点（e，e）Γ。如果Γ是均匀的，那么β是连续的。（2） 存在完全Haar测度的子集Yns⊂Y，使得β与Yns一一对应。数学拟晶2811明确地说，非奇异参数的集合Ynsof由Yns:=（g，h）Γ：h−1ŞWŞπh（Γ）=∅给出。根据定理2.1，我们可以推导出以下结果。推论2.2（船体的独特遍历性和极小性，[3]）。假设P0⊂G和P \8834»X是如上所述的模型集。（1） 空间Ω×PandΩ×都承认一个唯一的G不变概率mea0P确定。（2） 如果Γ是一致的，则动力系统G yΩP0和G yΩPare最小。事实上，为了建立Ω×P的唯一遍历性，需要建立Ωx P的一个更强的性质，称为唯一平稳性。因此，Ω×也是唯一的0P平稳的，因此是唯一的遍历的。3.模型集的自相关我们解释了如何将自相关测度与我们的模型集P⊂X相关联，这是双陪集空间K\G/K上的Radon测度，遵循点过程理论中Bartlett的一般方法；比较[5]。该构造的主要步骤如下：（1）构造周期图XP:Cc（X）→Cc（Ω×P），Pf（Q）=f（X）。x∈Q（2）构成Ω×Pby Zη（2）ν（f⊗G）=Pf（Q）Pg（Q）dν（Q）f，G∈Cc（x）上G不变测度ν的第二相关测度η（1）ν∈R（x×x）Go。Ω×P（2）（3）定义自相关测度ηP∈R（K\G/K）为ην在正则同构R（X×X）G～=R G\（G/K×G/K）～=R（K/G/K）下的图像。对于定义的自相关测度，我们得到以下公式。定理3.1（自相关公式，[3]）。假设P⊂X是如上所述的模型集；用p:G→X表示正则投影，用pΓ：Cc（G×H）→Cc（Y）表示Γ上的周期映射。然后，ηPis由L2（Y）Kc（K\G/K）唯一确定。让我们将自相关测度的定义与更经典的Hof定义进行比较[6]，后者是2812Oberwolfach Report 46/2017著名Patterson函数的数学公式。给定一系列子集Ft⊂X，让我们用1XXσt（f）：=f（X−1y）f∈Cc（K\G/K）定义K\G/W上的一系列Radon测度|Ft|x∈P∈Fty∈P在经典阿贝尔设置中，如果（Ft）是van Hove序列，则可以证明（参见示例[2]），自相关测度由公式（2）ηP（f）=limσt（f）f∈Cc（K\g/K）给出，t→∞经典论点扩展到任意顺从群G中的van Hove序列。值得注意的是，公式（2）也适用于许多不顺从的情况，其中Fölner序列，更不用说van Hoe序列了。例如，如果X是黎曼对称空间，则（2）适用于黎曼球Ft。然而，一般情况远不简单。例如，如果X是一棵树，则（2）沿偶数半径的球保持不变，但通常不沿任意球保持不变。因此，尽管自相关的动力学方法总是以统一的方式工作，但通过Hof近似的方法在很大程度上取决于所讨论空间的几何结构。4.朝向衍射虽然自相关可以定义为X=G/K形式的任意齐次空间中有限局部复杂度的Delone集，但衍射的定义需要在双陪集空间K\G/K上进行傅里叶变换，因此我们需要从现在起对（G，K）进行额外的假设。定义4.1。如果Hecke（卷积）代数H（G，K）=Cc（K\G/K）是可交换的，则称（G，K）是Gelfand对，X=G/K是可交换空间。这个假设在上面考虑的所有例子中都得到了满足，特别是双曲空间、黎曼对称空间和尼罗流形对。如果（G，K）是Gelfand对，则Banach代数L1（K\G/K）是可交换的，其Gelfand谱可以用所有有界球面函数的空间Sb（G，K）来标识；这里，如果Z mω（f）：=f（x）ω（x−1）dxf∈Cc（G）G给出的相关测度mω∈R（G）是双K不变量，则连续函数ω：G→C称为球面函数。这对（G，K）的球面傅里叶变换是L1（K\G/K）的Gelfand变换对正定球面函数的子空间S+（G，K）⊆Sb（G，K]的限制，即对于f∈H（G，K-）和ω∈S+（G-K），我们定义f（ω）：=mbω（f）。数学准晶体2813类似地，如果η是K\G/K上的正定氡测度，则其球面傅里叶变换η由以下事实决定：bηf∗*f=bη|bf|2，f∈H（G，K）。由于自相关测度ηPis是正定的，因此我们可以将P的球面衍射测度定义为ηbP∈R S+（G，K）。定理4.2（纯点衍射，[4]）。如果晶格Γ均匀，则球面衍射测量值ηPis为纯点，即存在一个可数集S⊂S+（G，K）和一个函数c:S→R>0，使得XbηP=c（ω）δω。ω∈S实际上，在定理的情况下，我们可以显式地确定S和函数c。实际上，集S是由Γ的球面自守谱给出的，即由所有ω∈S+（G，K）的集合给出的，其中本征空间L2（Y）Kω：=G∈L2（Y）K:∀f∈H（G，K）：f∗G=bf（ω）G是非零的。系数函数c可以计算为特征函数χW的某个积分变换的平方L2-形式。在阿贝尔变换的情况下，该变换简单地是H上的归一化傅立叶变换。在一般情况下，期望的积分变换是作为对（G，K）的球面傅立叶变换的阴影而获得的（在Hecke对应的精神中），因此被称为阴影变换；详见[4]。工具书类 [119] M.Baake，J.Hermisson，P.A.B.Pleasants，准周期LI类的环面参数化，J.Phys。A： 数学。Gen.30（1997），3029-3056·Zbl 0919.52015号 [120] M.Baake和D.Lenz。平移有界测度上的动力学系统：纯点动力学和衍射谱，遍历Th.&Dynam。系统。24 (2004), 1867-1893. ·兹比尔1127.37004 [121] M.Bj¨orklund，T.Hartnick，F.Pogorzelski。非周期阶数和球面衍射，I：模型集的自相关，出现在Proc中。伦敦数学。Soc.（2017），arXiv:1602.08928。 [122] 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Hunton此次演讲简要概述了最近和当前通过拓扑方法研究非周期瓷砖的一些主要主题。很明显，要涵盖所有内容是不可能的，同样，在这里可用的空间里也不可能给出一份全面的参考书目，即使是涉及到的主题。感兴趣的读者应该通过下面提到的选定论文和他们引用的进一步工作进一步探索主题。我们主要局限于d-维欧几里德空间的拼接，这些空间是重复的、非周期的，并且具有平移有限的局部复杂度（FLC）。对于这种平铺T⊂Rd，拓扑方法的关键是空间Ω=ΩT，也称为平铺空间或T的连续外壳，即T在平铺度量下的平移集的完成。在上述假设下，Ω自然携带平移组Rd的最小作用，并且在许多最流行的平铺类中，是一种独特的遍历概率测度。Ω的结构是这项工作的基础。大多数方法都是从Ω的一个或另一个观测结果开始的可以（a）描述为方便的有限CW复形（近似）的逆极限（直到形状等价-参见下文），或者（b）给出（直到同胚）具有纤维Cantor集的d-环面上纤维束的结构[24]。该空间也可以描述为与Ω相关联的完整群的分类空间。对于描述（a），有许多有用的模型。对于原始替代瓷砖，最初的构造是[1，14]中的构造。为近似值生成较小模型的愿望导致了许多发展，包括[2,3]，其中隐含着涉及形状类别的工作，[6]中正式探讨了这一概念。最近的工作进一步探索了最小同伦模型在近似中的应用。对于一般瓷砖，通过各种模型[1、3、10]存在反向极限描述，但没有具体的结构，这些主要是理论上使用的。类似地，康托束结构仅在康托纤维Zdon的完整作用的有形描述的情况下才具有计算实用性；这可以在切割和投影瓷砖的情况下明确给出[9]。已经建立了各种结果，探索了空间ΩTandΩ之间的关系以及底层tilings T和S的可能关系。本线程中值得注意的工作包括[8]关于tilings的变形，以及最近[12]表征平铺空间的同胚。tilings的拓扑不变量通常通过应用代数拓扑的方法来研究ΩT，无论是否有额外的结构。迄今为止的典型应用包括表征结果、T的几何性质识别、与纯点衍射问题相关的问题（例如与Pisot替代猜想相关的工作，参见[16，Ch.2]的概述），与T[4,5,13]相关的Schr¨odinger算子谱中间隙的标记，以及关于T的复杂性的结果，[11]。数学准晶体2815应该使用什么代数拓扑工具？同伦群很丰富，但很难计算。对于平铺空间，这些空间的相关变体是形状组πsh∗（−）。在[6]中研究了d=1的情况，其中基本形状群πsh1（Ω）被证明收集了与在曲面中嵌入一维平铺空间有关的信息：π1注册方面的非阿贝尔性质没有被交换不变量（如上同调或K-理论）发现。这在G¨ahler最近的工作中得到了进一步的发展，他在对某些一维置换类的分类中使用了πsh1（Ω）的表示变体（比πsh1（Ω）本身更容易计算）。上同调是一种长期使用的平铺空间的工具，但有几种常用的变体；我们只提到了三个。切赫上同调是第一个，也许也是最自然的选择，从它在逆极限上的行为（它不同于单数上同调或单纯上同调）。上述替换的模型[1,2]使得这是一个可计算且易于理解的不变量，至少在低维情况下是如此[23]。最近的工作探索了更多的一般情况，例如混合替换[19，21]。上同调给出了一些明确的特征：例如，对于FLC代换，H*（Ω；Q）是有限秩，而对于一般切割和投影平铺，则是无限秩；第一个上同调H1（ΩT，Rd）计算T变形的自由度，依此类推。模式等变上同调[15,22]证明了一种有用的替代方法，产生了与切赫理论相同的代数不变量，但在某种程度上，元素可以通过T的几何补片实现。同调变体[25]表明，平铺空间满足类似于流形的Poincar′e对偶性质，并提供了计算优势，例如在研究记忆T对称性的空间时[26]。第三种变体可以被认为是平铺群胚的上同调，但在d-环面Td上的显式Cantor丛结构的情况下，这等价于Zd=π1（Td）的群上同调（系数为纤维上的连续Z值函数）。这也有其优点，尤其是在明确描述捆绑包的情况下，例如许多切割和项目瓷砖。一般介绍见[16，Ch.4]。在研究旋转瓷砖时，类似的方法自然也适用，正如作者与沃尔顿最近的工作中所探讨的那样。上同调可以通过各种附加结构来丰富，从而产生更精细的不变量。这里包括了[18]的Ruelle-Sullivan映射、[20]的有序上同调和[7]的同源核。读者应该查阅这些论文，了解所获得的优势。非周期拼接是非交换几何示例的丰富来源。构造了几个C*-代数AT来模拟ΩTan及其旁缀，它们的K-群反映了空间和Rdaction；在唯一遍历测度的情况下，还有一个跟踪映射K*（AT）→R。有关讨论，请参见[17]。Connes的Thom同构用拓扑K理论K*（Ω）确定了K*（AT），Atiyah-Hirzebruch谱序列给出了2816Oberwolfach Report 46/2017的一种方法，该方法利用切赫上同调H*（Ω）计算K*（У）。通过这些可以频繁地计算非对易不变量。这里的一个关键研究对象是与Bellissard的间隙标记有关的tracial状态的图像[4,5,13]。工具书类 [126] J.Anderson，I.Putnam，置换分块及其C*-代数的拓扑不变量，遍历Th.&Dynam。系统。18 (1998), 509-537. ·Zbl 1053.46520号 [127] M.Barge，B.Diamond，一维置换平铺空间中的上同调，Proc。阿默尔。数学。Soc.136（2008），2183-2191·Zbl 1139.37002号 [128] M.Barge，B.Diamond，J.Hunton，L.Sadun，代换平铺空间的上同调，遍历Th.&Dynam。系统。30 (2010), 1607-1627. ·Zbl 1225.37021号 [129] J.Bellissard，R.Benedetti，J.-M.Gambaudo，tilings有限伸缩近似和间隙标记的空间，Commun。数学。物理。261（2006），1-41·Zbl 1116.46063号 [130] M.Benameur、H.Oyono-Oyono、Calcul du label des gaps pour les quasi-cristaux、C.R.Acad。科学。Ser.巴黎。I 334（2002），667-670·Zbl 0996.19006号 [131] A.Clark，J.Hunton，《平铺空间，余维一吸引子和形状》，纽约数学杂志。18 (2012), 765-796. ·兹比尔1263.37057 [132] A.Clark，J.Hunton，《匹配盒流形和不变测度的同源核》，发表于Trans。阿默尔。数学。Soc，doi:10.1090/tran/7398·Zbl 1412.37040号 [133] A.Clark，L.Sadun，《当形状重要时：瓷砖空间的变形》，《遍历Th.与动力学》。系统。26 (2006), 69-86. ·Zbl 1085.37011号 [134] 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Oertel联合工作）的切割和项目方案。截投影方案（CPS）是一个三元组（G，H，L），由两个局部紧Abelian群G和H以及一个共紧离散子群L⊆G×H（称为格）组成，该子群内射到G并密集投影到H，CPS通过∧（W）=πG（Lí（G×W））定义模型集或切割和投影集，其中πG:G×H→G表示投影到第一个坐标。在上述假设下，所得模型集∧（W）始终为Delone（相对密集且一致离散）[10]。CPS由Meyer于1972年引入[9]，并已成为获得非周期结构的主要结构之一。特别是，斐波那契准晶或彭罗斯瓷砖等范例可以表示为模型集。船体动力学和圆环参数化。在Delone集空间上给定一个合适的拓扑，模型集∧（W）定义了一个拓扑动力系统，该系统是由G对动力船体Ω（∧（W））=（{∧（V）−t|t∈Γ}）的作用给出的。分析该系统的一个重要事实是圆环参数化的存在（参见[13，2]），即从船体上的作用（Ω（∧（W）），G）到G×T→T，（T，（G，H）+L）7→（G+T，H）+L给出的“圆环”G上的规范G作用的流态射β：Ω（λ（W））→T=（G×H）/L。因此，映射β由条件β（Γ）=（g，h）+Ĺ∧（int（W）+h）−g⊆Γ⊆∧（W+h）−g唯一定义。常规模型集。一种非常容易理解的情况是正则模型集的情况，我们用它来表示模型集∧（W），其中|W|=0，其中|.|表示H上的Haar度量。原因是，在这种情况下，流态射β几乎肯定是1-1，也就是说，β−1（（g，H）+L）是µ-几乎每个（g，H）+L∈T相对于T上的Har度量µ的单态子。2818 Oberwolfach报告46/2017进一步说明了系统（Ω（∧（W）），G）是唯一遍历的，同构于其因子（T，G），并且具有纯点动力谱和零拓扑熵[13，2]。此外，可以表明∧（W）的衍射光谱（我们在这里不会详细定义）也是纯点[8]。后者促使人们将规则模型集视为准晶的合适模型。不规则的模型集。与此相反，对不规则模型集的情况了解得更少，也就是说，对|W |>0的窗口。在这种情况下，人们预计Ω（∧（W））的“典型”动力学应该更加复杂，并且在这方面的文献中提出了一些问题。特别是，我们想指出以下两个问题，这两个问题分别归因于穆迪（见[11,12]）和施洛特曼[13]|ñW|>0是否意味着正拓扑熵（参见[11，12]）|õW|>0是否意味着独特的遍历性[13]？为了解决这些问题，我们考虑了两种不同的设置。托普利茨流动。第一种是所谓的Toeplitz流。序列ξ=（ξn）n∈Z∈∑=｛0，1｝如果是非周期的，则称为Toeplitz序列，并且对于所有n∈Z，存在一个周期p∈n，使得所有k∈Z的ξn+kp=ξ。换句话说，Toeplitz序列中的每个符号都是周期性重复的，但周期取决于符号的位置n。如果我们让Per（ξ，p）={n∈Z|ξSn+kp=ξ表示所有k∈Z}，则ξ是Toeplitz当且仅当p∈NPer（ξ、p）=Z。对于任何Toeplitz-序列ξ，可以选择一个周期结构（pSУ）У∈Nof整数，这样pQУ就可以将pУ+1除，并将⑩∈NPer=Z。⑩Z对应的具有最小群旋转R的里程表。然后存在从ξ的轨道闭合给出的子移位到里程表（Ω，R）的流态射π。注意，给定Toeplitz序列的不同周期结构总是定义相同的里程表，直至同构（参见[3]）。Toeplitz流的两种基本类型之间的重要区别如下。对于任何p∈N，我们用D（ξ，p）=#（Per（ξ、p）∈[0，p−1]）/p表示p周期位置的密度。如果limУ→∞D（ξ，pУ）=1，则ξ称为正则Toeplitz序列。否则lim⁄→∞D（ξ，p⁄）<1，Toeplitz序列ξ称为不规则。在正则情况下，上述流态射π几乎肯定是ν-一对一，其中ν是Ω上的Haar测度。因此，与模型集的情况类似，正则Toeplitz流是唯一遍历的，并且与相应的里程表同构，因此具有零拓扑熵和纯离散动态谱。这些类比绝非巧合。定理1（[1]）。如果ξ是Toeplitz序列，Ω是对应的里程表，那么点集∧ξ={n∈Z|ξn=1}可以表示为一个具有CPS（Z，Ω，L）的模型集，其中L=（n，Rn（0））|n∈Z，窗口W满足|W |=1−limУ→∞D（ξ，pУ）。1这里ξ∈∑被称为非周期的，如果σp（ξ）6=ξ对于所有p∈N，其中σ：∑→∑表示左移位映射。数学准晶体2819因此，任何Toeplitz系统都可以在模型集的上下文中解释和用作示例，而正则性的概念在这两种设置中都是一致的。由于存在唯一遍历且熵为零的不规则Toeplitz流示例，这使得Moody和Schlottmann对上述问题给出了否定的答案（以及同一方向的各种其他问题）。欧氏CPS中的不规则模型集。Toeplitz示例允许在CPS中允许任意局部紧Abelian群的一般设置中回答上述问题。然而，这仍然有可能在欧几里德环境中存在更强的限制，其中G和H都是欧几里得空间。在这种情况下，以下结果保证了窗口边界的正度量“典型”会导致正熵（其中“典型”是在概率意义上理解的）。定理2（[7]）。假设（RN，R，L）是一个欧几里德CPS，C⊆R是一个正测度的康托集，（Gn）n∈Nis是C的间隙数，ω∈{0，1}Nand[W（ω）=CGn.n∈n:ωn=1那么对于P-几乎每个ω，我们都有int（W）=W，|=C和（Ω（∧（W）），RN）具有正熵，其中P表示{0,1}N上的任意Bernoulli测度。然而，即使在欧几里德情况下也存在例外。定理3（[4]）。给定任意CPS（R，R，L），存在一个窗口W，其|W|>0，使得（Ω（∧（W）），R）是唯一遍历的，并且具有零拓扑熵。CPS和符号动力学。最后，我们想宣布一项结果，该结果是在奥伯沃法赫一周内及之后不久获得的，并受到了这段时间内与埃利·格拉斯纳（Eli Glassner）和费利佩·加奇·阿拉莫斯（Felipe Garc´af aRamos）讨论的启发。因此，这可以被视为研讨会的直接成果。我们说一个极小子移∑⊆｛0，1｝Zis几乎是自同构的，如果它有一个极大等连续因子（Ω，ρ），其中对应的因子映射π几乎是一一对应的（存在一个具有唯一前像的点）。事实4。任何最小几乎自守子位移（∑，Z）都等价于（直到共轭）从晶格L={（n，ρn（ω0）|n∈Z}的CPS（Z，Ω，L）获得的系统（Ω（∧（W），（Z）），其中•ω0∈Ω在因子映射π下具有唯一的前像；•W=π（[1]），其中[1]={ξ∈{0，1}Z|ξ0=1}。此外，窗口W满足拓扑正则性条件int（W）=W。与上述情况类似，如果π是ν-几乎肯定一对一，则称（∑，Z）为正则，其中ν表示Ω上的唯一不变概率测度，否则称为不规则。如上面讨论的示例所示，子移位可能是唯一遍历的，即使是正则的，也可能具有零熵。这促使2820Oberwolfach报告46/2017提出了一个明显的问题，即不规则是否会产生任何动力学后果。在这里，CPS形式主义可以用作获得肯定答案的工具。我们说子移位（∑，Z）有一个无限自由集，如果存在一个无限集S⊆Z，使得对于任何a∈{0，1}S都存在ξ∈∑，使得ξS=as对于所有S∈S.2定理5。如果最小几乎自守子移位是不规则的，那么它有一个无限自由集。特别是，它具有正拓扑序列熵。在这种情况下，CPS形式主义的优点是，它将这个动力学问题转化为关于窗口结构的纯粹拓扑问题，这更容易解决。对于具有更一般群G和H的任意不规则模型集，可以得到类似的表述。一个重要的推论涉及驯服系统的概念。（关于这个概念的定义和讨论，请参见[5,6]。）由于Glassner和Megreishvili的工作 [152] 众所周知，驯服的子移位不允许无限自由集。因此，我们得出结论6。对于最小的几乎自形子移位，tame意味着正则。Toeplitz流的类似结果是由于Downarowicz。对更通用模型集的扩展将是未来研究的主题。工具书类 [153] M.Baake、T.J¨ager、D.Lenz、Toeplitz流和模型集、Bull。伦敦数学。Soc.48（2016），691-698·Zbl 1362.37030号 [154] M.Baake，D.Lenz，R.V.Moody，动力学系统模型集的表征，遍历理论与动力学。系统。(2007), 341-382. ·Zbl 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M.Schlottmann，广义模型集和动力系统，《数学准晶体方向》，编辑M.Baake，R.V.Moody，CRM专题系列，第13卷，AMS，Providence，RI（2000），第143-159页。2注意，如果S具有正的渐近密度，则这意味着（∑，Z）的正熵，但这不是必需的。数学准晶体2821平铺空间之间的同胚Antoine Julien（与Lorenzo Sadun联合工作）研究非周期平铺的常见方法是研究与给定平铺相关的拓扑空间，而不是平铺本身。这种方法很有成效，因为空间的属性反映了瓷砖的属性。本次演讲基于[3]的结果，提出了以下两个问题：•当两个空间相等时，可以对瓷砖说什么当人们忘记平铺时，平铺空间还剩下什么？第一个问题的答案当然取决于等价物的含义。只要两个平铺空间之间有一个保留了某些结构的贴图，它们就等价。第二个问题的答案是，作为平铺空间，一个空间有多少结构。给定Rd的平铺T，其空间为Ω：={T−x:x∈Rd}，其中所有平铺集合中的闭包被视为适当的拓扑。它是一个Rd-dynamic系统。我们假设T是非周期的、重复的，具有有限的局部复杂度-FLC（这意味着T具有有限多个大小为r的模式，对于所有r）。这意味着Ω是紧的、最小的，并且没有周期轨道。平铺空间本身可以被赋予几种结构：（1）它是一个拓扑空间；（2） 具有轨道结构（Rd-action继承的等价关系）；（3） 它是一个动力系统（通过Rd对轨道进行特定参数化）；（4） 具有一定的横向“刚性”结构。让我们指定点（4）。已知具有有限局部复杂度的分片空间可以给出一个邻域都同胚于B（0，r）×X的图表集，其中B（0、r）是Rd的欧几里德球，X是Cantor集。一组{0}×X形式的Ω图像称为垂直横切面。垂直横截的平移仍然是垂直横截（或此类集合的有限并），垂直横截是（有限并）的属性并不取决于图表。在文献中，具有这种横向结构的空间有时被称为可瓷砖叠层。我们现在可以根据平铺空间保留的结构对平铺空间之间的贴图进行分类。我们总是要求我们的映射是连续的（如果可逆，则要求同胚）。由于FLC分片空间的局部结构，这样的映射总是将路径连接组件发送到路径连接组件，因此轨道到轨道。因此，我们考虑的最薄弱的等价概念是轨道等价，即同胚将轨道发送到轨道。可以保留其他结构：•保持映射（3）是拓扑共轭；•如文献[1]所介绍的，保持映射（3）和（4）是互局部导数（MLD）；2822Berwolfach报告46/2017•地图保存（4）被称为本地地图。平铺空间之间的局部映射的原型由形状变化（或平铺变形）给出，参见[2]。例如：考虑由替换a 7→ab给出的斐波那契序列；b7→a。在此基础上，我们可以考虑两个平铺空间：一个是a和b瓦片的长度分别为φ和1（φ是黄金比例）；已知这两个空间对于c的一个好的选择是共轭的：它们是相同的动力系统。然而，它们的典型横向结构是不同的，并且不被共轭性所保留。本质上，我们的工作确定了FLC平铺空间之间的任何同胚都在保持横向结构的同胚的有界距离（和同位素）内。在下面的结果中，所有空间都是非周期的、最小的FLC平铺空间。定理1。设h:Ω→Ω′是平铺空间之间的同胚。假设Ω是唯一遍历的。然后存在α：Ω→Ω′同胚，在上述意义上是局部的，使得h=α·τs，其中τs（T）=T−s（T）对于一些连续（因此有界）函数s:Ω→Rd.虽然两个平铺空间之间的任何同胚都与保持（4）的同胚具有同位素关系，但也有一个拓扑不变量测量该映射如何通过该操作改变轨道参数化。定理2。连续映射h:Ω→Ω′定义了一个上同调类[h]∈h´1（Ω；Rd）。此外，只要h1、h2是同胚hi:Ω→Ω使得[h1]=[h2]，那么Ω1和Ω2之间就存在一个MLD映射。如果Ω是唯一遍历的，则定义了Cµ：´h1（Ω；Rd）→Md（R），这是一个矩阵值映射（参见[4]）。H1中的非奇异类是在Cµ下具有非奇异图像的类。给定同胚h，矩阵Cµ[h]描述了h如何将轨道映射到大规模轨道。定理3。给定同胚h:Ω→Ω′（Ω唯一遍历），Cµ[h]是一个非奇异矩阵。相反，对于任何非奇异的[α]∈H1（Ω；Rd），存在一个FLC平铺空间Ωα和一个同胚hα：Ω→↓α，使得[hα]=[α]。工具书类 [166] M.Baake，M.Schlottmann，P.Jarvis，关于局部可导性具有十倍对称性和等价性的拟周期平铺，J.Phys。A： 数学。Gen.24（1991），4637-4654·Zbl 0755.52006号 [167] A.Clark，L.Sadun，《当形状重要时：瓷砖空间的变形》，《遍历Th.与动力学》。系统。26 (2006), 69-86. ·Zbl 1085.37011号 [168] A.Julien，L.Sadun，平铺变形，上同调，平铺空间的轨道等价，预印本，arXiv:1506.02694·Zbl 1417.37085号 [169] J.Kellendonk，I.Putnam，Rn动作的Ruelle-Sullivan图，数学。Ann.334（2006），693-711。给定无限B⊂N的无B集Mariusz Lema´nczyk的数学拟晶体2823动力学{1} ，集FB:={n∈Z:no b∈b除以n}称为无b数集。虽然这样的集合不需要具有渐近密度，但它们总是具有对数密度（1936年的达文波特-埃德–罗斯定理）。无B集的突出例子是：无平方数集、亏数集甚至素数集本身（考虑B={pq:p，q是素数}）。不难看出A⊂Z是无B的，即A=FB（对于某些B）当且仅当A在取除数下闭合。通过将η设置为FB的特征函数，并将其作为移位空间{0，1}Z中的一个点处理，我们得到了子移位（Xη，S），其中S表示左移位。无B-子移位是割Q和投影方案中出现的动力系统的一类重要例子。实际上，对于物理空间，设置G=Z；对于外部空间，设置H=b∈BZ/BZ（为了简单起见，我们假设b是互质，但这不是必需的）；对于G×H中的晶格，设置L={（n，n）：n∈Z}（这里，n=（n，…））；对于窗口，设置W={H=（hb）∈H:hb6=0。然而，在这种情况下会出现一些其他的自然子移位，例如，（XB，S）B-容许序列的子移位（那些支持模为任意B∈B的序列会丢失至少一个剩余类模B）。不难看出Xη⊂XB和后一组是遗传的。这就产生了XηeXηXB，其中eXη代表Xη的遗传闭包。本文主要基于最近的两篇论文[2]和[4]，重点讨论了B自由集给出的子位移的动力学性质。分类这类子位移的特征性质的几个定理通常被给出为动力学、拓扑和算术观点之间的等价。例如，（Xη，S）的近似性（动力学）等价于B包含无限互质子集（算术）这一事实，而该互质子集又等价于Int（W）=∅（拓扑）。本着这种精神，我们经历了近似性、极小性（结果证明与Toeplitz系统理论密切相关）、Behrend性质，以及有关B的紧致性的最令人惊讶的部分。紧致性是一个经典的纯算术性质，告诉我们，对于每个B∈B，FB{B的对数密度 [170] M.Baake，C.Huck，N.Strungaru，《关于极值密度的弱模型集》，Indag。数学。28（2017），3-31，arXiv:1512.07129·Zbl 1364.82011年 [171] A.Bartnicka，S.Kasjan，J.Ku laga-Przymus，M.Lema´nczyk，B-free sets and dynamics，发表于Trans。阿默尔。数学。Soc.，arXiv:1509.08010。 [172] V.Bergelson、J.Ku laga-Przymus、M.Lema´nczyk、F.Richter，《有理集、多项式递归和符号动力学》，发表于《遍历理论与动力学》。系统。，arXiv:1611.08352。 [173] S.Kasjan，G.Keller，M.Lema´nczyk，《B-free集的动力学：通过窗口的视图，出现在实习生中》。数学。回复通知，arXiv:1702.02375。 [174] G.Keller，C.Richard，《环面参数化图上的动力学》，发表在《遍历Th.&Dynam.》中。系统。，arXiv:1511.06137。傅里叶准晶和泊松求和公式Nir Lev（与Alexander Olevskii联合工作）通过傅里叶准晶，通常表示Rd上的（无限）纯点测量µ，其傅里叶变换也是纯点测量。这种测度的经典例子是晶格上单位质量的总和，谱是对偶晶格。在80年代中期的实验发现了由斑点组成的衍射图样的非周期原子结构后，这一课题受到了新的关注。由Y.Meyer在70年代初提出的“立体式”建筑可能是这种现象的一个很好的典范。它提供了许多具有一致离散支持度和稠密可数谱的测度示例。另一方面，我们用A.Olevskii[1,2]证明了如果R上测度的支撑集和谱都是一致离散集，则测度具有周期结构。对于Rd上的正测度也证明了类似的结果。在我们的论文[3]中，我们用A.Olevskii在强意义上建立了该结果中一致离散性要求的尖锐性。也就是说，我们证明了R上存在一个测度µ，它的支持集和谱都是离散闭集，但该支持集只包含任何算术级数的有限多个元素。后一结果揭示了“非经典”泊松求和公式的存在。数学准晶体2825在结晶学界，似乎普遍同意测量µ的支持应该是一致离散集。所以这是一个自然的问题，假设支撑一致离散，非周期准晶的光谱在多大程度上可以离散？在我们的论文[4]中，我们用A.Olevskii解决了这个问题，并考虑了在支撑和谱上具有非对称离散性假设的准晶。我们得到了几个结果，这些结果表明，在各种条件下，如果谱是一个离散闭集，那么它实际上必须是一致离散的。因此，这些结果将情况简化为[2]中的设置，这反过来又使我们能够得出该度量具有周期性结构的结论。另一方面，我们给出了一个非周期准晶的例子，使得光谱S是一个无处密集的可数集。最后，我们将结果扩展到更一般的情况，其中测量µ的傅里叶变换既有纯点分量，也有连续分量。工具书类 [175] N.Lev，A.Olevskii，一致离散支撑和谱的测度，C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎351（2013），599-603·Zbl 1293.28001号 [176] N.Lev，A.Olevskii，拟晶和泊松求和公式，发明。数学。200 (2015), 585-606. ·Zbl 1402.28002号 [177] N.Lev，A.Olevskii，《离散支撑和光谱的准晶》，《马特·伊贝罗姆评论》32（2016），1341-1352·兹比尔1366.42011 [178] N.Lev，A.Olevskii，傅立叶准晶体和衍射光谱的离散性，高级数学。315 (2017), 1-26. 关于所有Sturm势的谱的联合，Liu Qinghui（与Bassam Fayad，Yanhui Qu联合工作）1。引言以V>0，无理α∈（0，1）和θ∈[0，1）为例，对任意（φ（n））n∈Z∈l2（Z），HV，α，θφ（nχ[1-α，1[是特征函数，V称为耦合，α称为频率，θ称为相位。由于谱σ（HV，α，θ）与θ无关，取θ=0，用HV，α表示算子。我们研究了Schr¨odinger算子与固定耦合Sturm势和所有频率的谱的并集，即对于任意V>0，集[SV=σ（HV，α）.α∈Qc（0,1）定理1。[1] L（σ（HV，α））=0。2826 Oberwolfach Report 46/2017在本文中，他们表明σ（HV，α）⊂[−2，2]ν[-2+V，2+V]=[−2,2]+{0，V}:=Γ。注意，[−2，2]={2cost tπ：0≤t≤1}，我们有定理2（Fayad，Liu，Qu，preprint）。对于V>0，存在θΓ，使得SV=Γ，其中θ{2costπ：0≤t≤1，有理}+{0，V}θ{±2，0，±2+V，V}={2cos tπ：t=0，1/2，1}+{0,V}，V>4θ{2 cos t∏：ε<t<1−ε}+{0，V{是有限集。2.传递矩阵和迹多项式通过Tn（E）=E−vn−1 10和T1→n（E。对于α∈[0，1]\Q，设α=[0；a1，a2，··]为连分式展开式。对于任意k≥0，设pk/qk=[0；a1，a2，··，ak]，它满足p−1=1，p0=0，pk+1=ak+1pk+pk-1，k≥0、q−1=0，q0=1，qk+1=ak+1qk+qk−1，k≥0。对于k≥0，定义Mk（E）：=T1→q（E）k xk（E。注意，xk（E）是一个次数为qk的多项式。定理3。[1] 一个是Mk+1（E）=Mk−1（E）Mkak+1（E），∀k≥0，σ（HV，α）=（σk−1∑σk），k≥0，其中010（E）=E1−10，σk:=E∈R:tr Mk（E）≤2，对于k=0，−1。注意，x−1（E）：=tr M−1。2cos tπ草图：t∈[0，1]\Q⊂SV我们逐步选择akstep。证据中的想法来自[4,3]。引理1。对于E∈R，k≥0，如果xk−1（E）<2，xk（E）<2，则存在ak+1，使得xk+1（E）<0.2。推论1。对于E∈R，如果存在k≥0使得|xk−1（E）|<2，|xk（E）|<2，则E∈SV.命题1。如果t∈[0，1]是无理的，则存在a1>0，使得x0（2 cost tπ）<2，x1（2 cos tπ。如果V>4，则26∈SV引理2。[1] 对于任意V>0，α无理和E∈R，（xk（E））k≥−1指数增长当且仅当存在k≥0，使得xk−1（E）≤2，xk（E）>2，xk+1（E）>2。引理3。[2] 对于任意V>0，α无理，δ≥0，E∈C，（xk（E））k≥−1指数增长当且仅当存在k≥0，使得xk−1（E）≤2+δ，xk（E）>2+δ，tr Mk−1Mk（E。我们可以通过引理4修改这些结果。取任意V>0，α无理，E∈C。如果存在k≥0，使得xk−1（E）≤2，xk（E）≥2，tr Mk−1Mk（E。由于x−1（2）=2，x0（2）=2，tr M−1M0（2 [179] J.Bellissard，B.Iochum，E.Scoppola，D.Testard，一维准晶的光谱特性，Commun。数学。物理。125 (1989), 527-543. ·Zbl 0825.58010号 [180] D.Damanik，A.Gorodetski，Q.H.Liu，Y.H.Qu，Sturmian Hamiltonian的输运指数，J.Funct。分析。269（2015），1404-1440·兹比尔1323.82038 [181] 刘庆华，温振英，一维Schr¨odinger算子谱的Hausdorff维数与Sturmian势，势分析。20 (2004), 33-59. ·Zbl 1049.81023号 [182] L.Raymond，拟周期链上离散Schr¨odinger算子的构造性间隙标号定理，预印本（1997）。2828 Oberwolfach报告46/2017关于最小Cantor系统的连续和可测理论特征值及其应用Alejandro Maass（与Fabien Durand、Alexander Frank联合工作）拓扑动力系统特征值的研究，无论是从测量理论还是拓扑角度，是遍历理论中的一个基本主题。特别有趣和丰富的是对经典系统的特征值和弱混合性质的研究，如区间交换变换或由表面上的平移引起的其他系统。从符号动力学的观点来看，大多数这些系统都表示为有限拓扑秩的最小Cantor系统，即存在一个符号扩展，可以用Bratteli-Vershik系统表示，这样每层Kakutani-Rohlin塔的数量是全局有界的。为了表征原始系统的特征值，考虑这类康托系统就足够了。考虑到这些例子以及对平铺系统研究的扩展，我们的主要动机是提供复数成为特征值的一般必要和充分条件，无论是连续的还是测量理论的，有限拓扑秩的最小Cantor系统，并在可能的情况下对任何最小Cantor系获得相同的结果。自Dekking[5]和Host的开创性工作以来，已经产生了关于有限拓扑秩极小Cantor系统的不同子类的一些结果 [183] 有人指出，原代换动力系统的可测特征值总是与连续特征函数相关。随后，[3]和[1]提供了刻画线性递归极小Cantor系统连续可测特征值的充要条件。这些条件非常有效，并且依赖于Bratteli-Vershik表示所携带的组合数据。即使线性递归系统从符号动力学的角度来看是自然的（参见[6,7]），这类系统也是“小”的，这意味着在许多经典情况下，如区间交换变换，只有少数映射具有这种符号表示。事实上，它们大多是有限拓扑秩的，并且不是线性递归的。关于有限拓扑秩的极小Cantor系统的特征值的一般结果很少。[2]给出了一些初步结果，[8]给出了有限拓扑秩Toeplitz系统特征值的详细研究。在回顾了上述结果之后，我们提供了一个新的充要条件，即复数应满足有限拓扑秩的极小Cantor系统的可测特征值（我们遵循[9]）。此外，我们给出了复数是最小康托系统连续特征值的一个充要条件，即我们成功地去掉了有限秩假设。在其概念中，这些条件与线性递归系统的条件非常相似。它们是以某些级数或特殊序列的收敛形式给出的，并且只依赖于Bratteli-Vershik表示提供的组合数据。这里数学准晶体2829的主要区别在于，我们需要以代数的方式包含这些表示所携带的局部阶的信息。我们举例说明了这些条件的使用。首先，我们证明了我们的条件扩展了[8]中的结果，以刻画有限秩Toeplitz极小系统的特征值。然后，第一个应用将连续特征值和强轨道等价的概念联系起来。我们在连续情况下利用我们的充要条件证明，通过对Bratteli-Vershik系统的局部阶进行控制修改，可以改变连续特征值组。特别是，从一个没有单位根作为连续特征值的最小Cantor系统开始，我们生成了一个拓扑弱混合的强轨道等价系统，对于任何遍历测度，它与原始系统共享Kronecker因子。在[12]中，在瓷砖系统的背景下开发了一个类似的示例。在第二个例子中，利用可测特征值的条件和以前的应用，构造了一个拓扑弱混合二阶最小Cantor系统，该系统允许所有有理数作为测度理论特征值，证明了拓扑秩并不妨碍具有非连续有理特征值，如Toeplitz情形。最后，受[4]和[10]中问题的启发，我们使用我们的主要定理来生成一个可扩展的最小Cantor系统，该系统的连续特征值组与所谓的迹组图像的交点重合。工具书类 [184] X.Bressaud，F.Durand，A.Maass，线性递归动力康托系统特征值的充要条件，J.London Math。Soc.72（2005），799-816·Zbl 1095.54016号 [185] X.Bressaud，F.Durand，A.Maass，关于有限秩Bratteli-Vershik动力系统的特征值，遍历理论与动力学。系统。30 (2010), 639-664. ·Zbl 1204.37008号 [186] M.I.Cortez，F.Durand，B.Host，A.Maass，线性递归动力康托系统的连续和可测特征函数，J.London Math。Soc.67（2003），790-804·Zbl 1045.54011号 [187] M.I.Cortez，F.Durand，S.Petite，特征值和强轨道等价，遍历理论与动力学。系统。36 (2016), 2419-2440. ·Zbl 1375.37008号 [188] F.M.Dekking，由常长替换引起的动力系统的谱，Z.Wahrscheinlichkeitsth。弗鲁。Gebiete 41（1978），221-239·Zbl 0348.54034号 [189] F.Durand，线性递归子移位具有有限数量的非周期子移位因子，遍历Th.&Dynamic。系统。20 (2000), 1061-1078. ·Zbl 0965.37013号 [190] F.Durand，“线性递归子移位具有有限数量的非周期子移位因子”的勘误和补遗，遍历Th.&Dynam。系统。23（2003），663-669。 [191] F.Durand，A.Frank，A.Maass，有限拓扑秩Toeplitz极小系统的特征值，遍历Th.&Dynam。系统。35 (2015), 2499-2528. ·兹比尔1356.37013 [192] F.Durand，A.Frank，A.Maas，极小Cantor系统的特征值，预印本，arXiv:1504.00067v2（2017）·Zbl 1416.54018号 [193] T.Giordano，D.Handelman，M.Hosseini，《康托极小系统及其连续谱的轨道等价性》，预印本，arXiv:1606.03824（2016）·Zbl 1394.37015号 [194] B.主持人，Valeurs propres des syst'emes dynamicques d’efinitis par des substitutions de longueur variable，遍及Th.&Dynam。系统。6 (1986), 529-540. ·Zbl 0625.28011号 [195] N.P.Frank，L.Sadun，《融合：Rd，Geom分层平铺的一般框架》。Dedicata 171（2014），149-186。2830Oberwolfach报告46/2017原始通货膨胀规则的谱分析Neil Ma ~nibo（与Michael Baake、Michael Coons、Nathalie P.Frank、Franz G¨ahler、Uwe Grimm和E.Arthur Robinson Jr.的联合工作）通货膨胀规则的谱分析是针对一维的一类特征示例进行解释的。我们确定了由（1）̺m给出的二元替换的单参数族的衍射测量bγ的光谱类型：07→01m，07→0，具有相应的膨胀因子λ=λm，其中m>2（我们排除m=1，因为这是众所周知的斐波那契膨胀）。我们通过使用几何实现作为具有自然长度的原型（间隔）的膨胀平铺来实现这一点 [196] 并通过检验对应对关联νij（z）的精确重整化方程；关于任意维的推广，请参见[3]和下面的公式（6）。这些关系推广到测量向量γ的（被测值）重整化方程P，其分量由γij=z∈∧νij（z）δz给出。这些分量通过简单的二次形式确定一般权重ui∈C的自相关γ[2]。所有测度Γij都是傅立叶变换的。通过傅里叶变换，得到了bγ的可测值重整化方程；比较[3,2,6]。这个新的方程分别适用于三种光谱类型（pp、sc和ac）中的每一种，它涉及傅里叶矩阵B（k），其中Bij（k）=dδT（k）而Tij是j型1级ij超瓦中i型瓦的位置集。特别是对于绝对连续的分量，当用Radon-Nikodym密度的向量h描述时，这意味着一个迭代方程，即k∈R，（2）h（λk）=λB-1（k）⊗B−1（k）h（k）。该迭代可简化为低维方程[2,4]，即√（3）v（λk）=λB−1（k）v（k），其中hij（k）=vi（k）vj（k。kv（k）k的指数增长意味着h的范数的指数增长，因此与正测度子集的相应测度bγacif v（k）6=0的平移有界性相矛盾[2]。为了排除非平凡分量bγ-ac的存在，因此可以证明，对于任何选定的0 6=v（k）∈C2和a.e.k∈R，kv（k。分析这一点的一种方法是获得关联余循环B（n）（k）=B（k）B（λk）··B（∧n−1k）的Lyapunov指数的界；背景见[14]。在[2]中，这是严格的m=3，并在[6]中扩展到整个家庭。这些替换产生了二维cocyles，这确保了最多可以有两个不同的指数，用χmina和χmax表示。当λ不是整数时，即，对于除m=У（У+1）以外的情况，且У∈N，则不能保证这些指数和a.e.k的Lyapunov正则性的存在（Oseledec的数学拟晶体2831定理在这里不一定适用[2]）。然而，可以证明，通过将Sobol定理推广到概周期函数[7]，所有m的指数（然后通过lim-sup定义）加起来等于log（λm）。所有指数正的一个有用的充分判据，即最小指数正，由（4）log（λm）>m log kB（k）k2F给出，其中m表示函数的平均值，k.kF表示Frobenius范数。可以证明[4]，这个平均值可以作为由（5）qm（x）=2xm−1+（1+x+x2+…+xm-1）2给出的多项式qm∈Z[x]的对数Mahler测度m（qm）来恢复。此外，我们发现这个Mahler测度族是有界的。特别是，对于所有m>18的情况，它以对数（λm）为主；有关证明，请参见[6]。对于m<18，最小指数的界取决于具有两个不可公度频率的拟周期函数N1Mlog kB（N）（k）k2F的平均值，这不能表示为一维Mahler测度。然而，该平均值可作为T2上的有限积分进行计算，因此可以选择适当的N，以使该数量超过log（λ）。由此，我们通过调用由次可加遍历定理的某些版本引起的单边不等式来得出期望的正性；见[2，12]。这证实了所有m都没有bγ-ac，其中bγ-ac=0是直接的结果。对于所有带有非皮索膨胀乘数的情况，这意味着衍射是奇异连续的（除了k=0处的布拉格峰，它对应于膨胀动力系统的恒定本征函数）。相反，具有整数膨胀乘数的系统（对于某些У∈N，m=▽（У+1）和λm=У+1。Oseledec的乘法遍历定理可以应用于此类，从中可以得到与一个变量中{−1，0，1}-多项式的（对数）Mahler测度有关的χmint的闭合形式[6，13，1]。这个最小指数可以被证明是严格正的，这为衍射为什么是奇异的提供了一个独立的论据。关于缺乏bγ-腺苷的一些一般结果——通过这种方法得到的一维情况——已经被记录下来；特别是，在[13]中已经证明了所有二元非周期恒长替换，对于这些替换，通过考虑高度为1的相关多项式，指数是适当有界的；比较[8，9]。n个字母上的一般常长替换遵循类似的方案，并且对于一些一般族（双射阿贝尔族，一些具有巧合的族[4]）可以证明正性。我们简要地评论一下，[3]中的重整化方案也适用于高维类似物（具有有限局部复杂性的原始stone膨胀，每个原型中都有适当选择的参考点[5]）。2832Berwolfach报告46/2017重整化方程随后显示为1XXX | det（As）|νkУA−1s（z+u−v），k，Уu∈Tikv∈TjУ，其中z，u，v∈Rd，而As是一个线性映射，该线性映射通过所讨论的石头膨胀将系统扩展为MLD与原始系统的MLD[5，4]。索引遍历有限原型集的一组标签。块替换的高维情况的应用归结为在多个变量中找到多项式的Mahler测度的适当边界[10，1]。工具书类 [197] M.Baake，M.Coons，N.Maánibo，《Borwein多项式的二元恒长替换和Mahler测度》，预印本，已提交；arXiv：1711.02492·Zbl 1461.11143号 [198] M.Baake，N.P.Frank，U.Grimm，E.A.Robinson，提交的二元非皮索膨胀和无绝对连续衍射的几何特性，预印本；arXiv:1706.03976·Zbl 1419.37017号 [199] M.Baake，F.G¨ahler，通过重整化对非周期通货膨胀规则的相关性：一些有趣的例子，Topol。申请。205 (2016), 4-27; arXiv:1511.00885·Zbl 1359.37025号 [200] M.Baake，F.G¨ahler，N.Maánibo，《原始通货膨胀规则和无绝对连续衍射的配对相关测度的重新规范化》，编制中·Zbl 1433.37014号 [201] M.Baake，U.Grimm，《非周期性秩序》。第1卷：数学邀请，剑桥大学出版社，剑桥（2013）·Zbl 1295.37001号 [202] M.Baake，U.Grimm，N.Maánibo，预印本，提交的二进制通货膨胀规则族的光谱分析；arXiv:1709.09083。 [203] M.Baake，A.Haynes，D.Lenz，按非周期顺序沿指数序列平均几乎周期函数。第2卷：《晶体学与几乎周期性》，M.Baake，U.Grimm（编辑），剑桥大学出版社，剑桥（2017），第343-362页；arXiv：1704.08120·Zbl 1435.42004号 [204] P.Borwein，S.Choi，J.Jankauskas，与Barker序列相关的多项式的极值Mahler测度和Lsnorms，Proc。阿默尔。数学。Soc.141（2013），2653-2663·Zbl 1272.11041号 [205] P.Borwein，M.Mossingho ffe，Barker序列和平坦多项式，《数论与多项式》，J.McKee，C.Smyth（编辑），剑桥大学出版社，纽约（2008），第71-88页·Zbl 1266.11051号 [206] D.Boyd，M.Mossingho ff，马勒测度的小极限点，Experim。数学。15 (2005), 403-414. ·Zbl 1152.11343号 [207] F.M.Dekking，由常长替换引起的动力系统的谱，Z.Wahrscheinlichkeitsth。弗鲁。盖布。41 (1978), 221-239. 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这里，αpn是开单位盘中的复数序列，ρn=1−|αn|2。Cantero、Gr¨unbaum、Moral和Velazquez在[1]中发现，CMV算子可以用来理解量子行走。此外，在[3]中，作者发现了CMV算符的光谱特性与量子行走中步行者的传播速率之间的联系。在我们的论文[2]中，我们发现了量子行走扩展的上下界，它取决于相应CMV算子的传输矩阵的增长率。作为应用，这使我们能够理解量子行走问题，其中硬币分布由非周期有序序列给出。更准确地说，考虑两种不同重量的硬币。我们使用斐波那契二进制字符串将这些硬币排列在整数上，这样2834Oberwolfach报告46/2017 0对应于第一类硬币，1对应于第二类硬币。利用我们开发的上限和下限，我们可以计算出，以这种方式获得反常输运是可能的：即量子步行机离开原点，但以亚弹道速度。据我们所知，这是当硬币不随时间变化时，量子行走中异常传输的第一个例子。工具书类 [211] M.-J.Cantero，A.Gr¨unbaum，L.Moral，L.Vel´azquez，矩阵值Szeg´o多项式和量子随机游动，Commun。纯应用程序。数学。63 (2010), 464-507. ·Zbl 1186.81036号 [212] D.Damanik，J.Fillman，D.C.Ong，通过传输矩阵的幂律边界传播整数格子上量子游动的估计，J.Math。Pures应用程序。105 (2016), 293– 341. ·Zbl 1332.81066号 [213] D.Damanik，J.Fillman，R.Vance，酉算子动力学，J.分形几何。1 (2014), 391-425. ·Zbl 1321.47076号 [214] B.Simon，单位圆上的正交多项式。第1部分：。经典理论，学术讨论会出版物，第54卷第1部分，AMS，普罗维登斯，RI（2005）·Zbl 1082.42020号 [215] B.Simon，单位圆上的正交多项式。第2部分。光谱理论，学术讨论会出版物，第54卷第2部分，AMS，普罗维登斯，RI（2005）·兹比尔1082.42021 [216] S.E.Venegas Andraca，《量子行走：综合评论》，《量子信息处理》。11 (2012), 1015-1106. ·Zbl 1283.81040号 [217] S.E.Venegas Andraca，《计算机科学家的量子漫步》，《量子计算综合讲座》，第1卷，Morgan&Claypool，加州圣拉斐尔（2008）。移位的自同构和扩展对称群Samuel Petite，Reem Yassawi d维移位是有限字母表上序列的闭集X，由Zd索引，并由d移位映射σ1。σd由Zd的规范基定义。位移形成了一类丰富的动力系统。移位的自同构（或对称性）是同胚Φ：X→X，它与移位映射σ1，…进行交换。σd。Curtis-Hedlund-Lyndon定理告诉我们，这种自同构是由滑动块映射定义的；也就是说，存在一个局部规则，定义在一组有限配置上，使得索引m处的点x的图像=m1。mdis通过将局部规则表应用于σ1m1的邻域来定义。σmddx。移位的自同构集Aut（X）被赋予合成运算，形成一个群，这个群除了是可数的外，通常很难描述。在这次演讲中，我们将对最近的结果进行调查，在那里我们对某些小一维位移的自同构群进行了更精细的描述。特别地，如果一维最小位移的复杂度函数是线性的，我们证明Aut（X）/hσi是有限的。我们还根据半径给出了关于自同构Φ的条件，使其具有有限阶，并推导出如果存在这样的自同构φ，则自同构群不包含具有指数畸变元素的群。在零复杂度的情况下，我们证明了对于复杂度函数为o（n5）的最小移位，Aut（X）的任何有限生成的无扭子群实际上是Abelian子群。数学拟晶体2835我们还考虑了位移的扩展对称群。虽然自同构群可以被重新定义为由X上同胚群h（X）中的移位作用所生成的群hσi的中心化子，但扩展对称群R（X）被定义为h（X”）中hσⅠ的正规化子。如果（X，σ）是最小一维位移，那么Putnam，Giordano和Skau的工作告诉我们R（X）/hσi是位移拓扑全群的外自同构群，其交换子群最近被Juschenko和Monod证明具有有趣的代数性质。我们还定义并讨论了高维扩展对称群。我们通过计算两种著名且性质不同的位移（椅子位移和莱德拉皮尔位移）的扩展对称群来阐明这些概念。这是基于最近和正在进行的工作[1、2、3、4、5、6、7、8]。工具书类 [218] M.Baake，J.A.G.Roberts，R.Yassawi，移位空间的反向对称和扩展对称，离散。连续发电机。系统。A 38（2018），835-866；arXiv:1611.05756·Zbl 1377.37027号 [219] E.Coven，A.Quas，R.Yassawi，使用非典型等价类计算移位的自同构群，Disc。分析。（2016），第3期，28页；arXiv:1505.02482·Zbl 1378.54035号 [220] V.Cyr，B.Kra，线性增长转移的自同构群：超越及物性，数学论坛。西格玛3（2015），e5，27页；arXiv:1411.0180·Zbl 1321.37010号 [221] V.Cyr，B.Kra，次二次增长移位的自同构群，Proc。阿默尔。数学。Soc.144（2016），613-621；arXiv:1403.0238·兹比尔1365.37019 [222] V.Cyr，B.Kra，拉伸指数增长最小位移的自同构群，J.Mod。动态。10 (2016), 483-495; arXiv:1509.08493·Zbl 1402.37013号 [223] V.Cyr，J.Franks，B.Kra，S.Petite，《变形与移位的自同构群》，预印本，arXiv:1611.05913·兹比尔1407.37022 [224] S.Donoso，F.Durand，A.Maass，S.Petite，关于低复杂度子移位的自同构群，遍历Th.&Dynam。系统。36 (2016), 64-95; arXiv:1501.00510·Zbl 1354.37024号 [225] S.Donoso，F.Durand，A.Maass，S.Petite，关于Toeplitz子移位的自同构群，Disc。分析。（2017），第11期，第19页；arXiv:1701.00999。物理系统中的拓扑边界谱Emil Prodan设P是Rd中的Delone集，Ω是其离散外壳（横向），HΩ={Hω}ω∈Ω是CN⊗2（P）上的协变哈密顿量族。我们用spec（HΩ）=≠ω∈Ωspec（Hω）表示。谱间隙G定义为R的连接分量规范（HΩ）。当EF∈∆时，迁移间隙是实轴的连接区域∆，其中直接电导张量d−1Pdi=1σii（EF，T=0）消失。我们使用术语（迁移率）间隙哈密顿量来表示G为非空谱（迁移）间隙的对（HΩ，G）。给定一个协变体族HΩ，可以定义一个哈密顿量族HbΩ={ˆHω}ω∈Ω，其边界定义在CN⊗2（PRd+），Rd+={x=（x1，…，xd）∈Rd，xd≥0}上。更准确地说，bHΩ=bHΩ（D）+eHΩ，其中bHΩ的（D）是通过施加Dirichlet边界条件从HΩ获得的，而eHΩ的是一组协变哈密顿量w.r.t.平移，平行于边界，2836Oberwolfach报告46/2017位于边界附近（因此，eHΩ）可以被视为定义了边界条件）。事实证明，spec（HΩ）⊆spec（bHΩ规范（HΩ）。对于此类数据，物理界提出了以下方案。散装。（1） 如果存在间隙哈密顿量（HΩ（t），G（t））t∈[0,1]的同伦，则根据（HΩ），G）～（HУ′，G′）定义的等价关系对间隙哈密尔顿量进行分类，使得（HΩ（0），G。（2） 同上，但光谱间隙被迁移间隙取代。边界。（1） 找到所有（HΩ，G），使specb（bHΩ）ΩG=G，而不管边界条件如何。这种边界谱称为拓扑谱。（2） 同上，但附加要求是，规范（bHΩ）不是安德森本地化的。批量+边界。（1） 找出批量程序和边界程序之间的关系。只要存在这种关系，就称之为散装原则。最雄心勃勃的计划是散装#2和边界#2，当然，建立了将两者联系起来的散装原则。在无序晶体中电子自由度的背景下，物理学界提出了一个猜想，该猜想以所有可能的拓扑相的分类表的形式出现，显示了离域拓扑边界谱[13，7，12]。这个猜想在大量的数值测试中幸存下来（太多了，这里无法提及）。对于按Z群分类的相位，可以在专著[11]中找到猜想的证明。它以[9，10]中发现的指数定理为基础，扩展了以前关于整数量子霍尔效应的开创性工作[1，6]。对于按Z2分类的拓扑相位，程序Bulk#2已在[4]中取得进展，而程序Bulk#1已在[14，2，5]中执行。[3]中包含了程序bulk#1和boundary#1的统一散货边界原则。分类表中包含的推测的工作正在继续。最近，物理学界的兴趣正迅速从晶体转向超材料，从电子自由度转向电磁和声学自由度。在理论和实验两个方面，对拓扑光子晶体和声学晶体的研究正在蓬勃进行。由于超材料对材料的结构具有很大的控制力，物理学界掀起了一股强烈的运动，要摆脱数学准晶体2837这种简单无序的晶体模式，并尝试使用更有趣的模式。在这项工作之后，我和合作者[8]引入了动态生成模式的概念，定义如下。主张。设（Ω，Zd，τ）是一个拓扑动力系统。用Gd表示用两个符号表示的Zd的生成元集。假设存在连续映射：（1）Fe:Ω→Rα，e∈Gd，α∈N+，遵循一致性关系：。然后，对于每个ω∈Ω，算法：（3）p0=0，pn+e=pn+（Fe◦τn+e）（ω），n∈Zd，e∈Gd，生成一个点模式P={pn}n∈Zd这些点被Zd索引。在精确条件下，这些图案的离散外壳与Ω一致。虽然这些图案的算法简单，但图案本身可能非常复杂，通过各种限制，人们可以探索不属于这一类别的图案。因此，我们认为它们非常有趣。对于许多示例，程序bulk#1和boundary#1的散货边界原则可以完全使用K理论中的工具来实现。结果，我们得到了大量新的显示拓扑边界谱的系统。我在Oberwolfach Institute组织的“数学准晶体中的光谱结构和拓扑方法”研讨会上的演讲目标是：1）传达本说明第一部分中描述的研究计划；2） 用实例举例说明成功故事；3） 传播物理界对无序晶体以外的模式的兴趣；4） 引入动态生成的模式；5） 建立定义在此类模式上的等变哈密顿量的体积边界原理；6） 使用实验室结果和数值模拟举例说明物理后果。工具书类 [226] J.Bellissard，A.van Elst，H.Schulz-Baldes，量子霍尔效应的非交换几何，J.Math。物理。35 (1994), 5373-5451. ·Zbl 0824.46086号 [227] C.Bourne，A.L.Carey，A.Rennie，《拓扑绝缘体的非对易框架》，数学版。物理。28 (2015), 1650004. ·Zbl 1364.81269号 [228] C.Bourne，J.Kellendonk，A.Rennie，《拓扑绝缘体的K理论大边对应》，发表于《Ann.Henri Poincar’e》·Zbl 1372.82023号 [229] J.Grossmann，H.Schulz-Baldes：对称性存在下的指数配对及其在拓扑绝缘体中的应用，Commun。数学。物理。343（2016），477-513·Zbl 1348.82083号 [230] J.Kellendonk，《关于绝缘体拓扑相位的C*-代数方法》，Ann.Henri Poincar´e 18（2017），2251-2300·Zbl 1382.82045号 [231] J.Kellendonk、T.Richter、H.Schulz-Baldes，整数量子霍尔效应中的边缘电流通道和Chern数，数学评论。物理。14（2002），87-119·Zbl 1037.81106号 [232] A.Kitaev，拓扑绝缘体和超导体的周期表，《高级提奥》。物理：兰道纪念会议，第1134卷，编辑V.Lebedev，M.Feigel'man，AIP（2009），第22-30页。2838 Oberwolfach报告46/2017·Zbl 1180.82221号 [233] M.Herman，E.Prodan，Y.Shmalo，《动态模式谐振器的K理论体边界原理》，编制中·Zbl 1471.37004号 [234] E.Prodan，B.Leung，J.Bellissard，非交换n阶Chern数（n≥1），J.Phys。A： 数学。西奥。46 (2013), 485202. ·Zbl 1290.82016年 [235] 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