托拜厄斯·格拉夫克;雷纳·格雷尔;托比亚斯·谢弗 瞬子方法及其在流体力学中的数值实现。 （英语） Zbl 1327.76076号 《物理学杂志》。A、 数学。西奥。 48，第33号，文章ID 333001，39 p.（2015）. 概述：对高雷诺数湍流流动中出现的结构进行精确表征是经典物理学中最后一个公开的问题之一。在这篇综述中，我们讨论了瞬子方法在湍流中应用的最新进展。瞬子是基本路径积分的鞍点构型。它们相当于相关Freidlin-Wentzell作用的极小值，并且已知能够表征此类系统中的罕见事件。虽然关于它们的分析描述有很多令人印象深刻的工作，但本文重点讨论了如何数值计算这些极小值的问题。在简短的介绍中，我们先介绍了相关的数学和物理背景，然后再详细讨论随机Burgers方程。我们提出了通过相应的欧拉-拉格朗日方程的有效解来数值计算瞬子的算法。第二个重点是讨论最近开发的一种数值滤波技术，该技术允许从直接数值模拟中提取瞬子。在下文中，我们将对算法进行修改，使其在应用于二维或三维（2D或3D）流体动力学问题时更有效。我们使用2D Burgers方程和3D Navier-Stokes方程来说明这些想法。 引用于38文件 MSC公司： 76F05型 各向同性湍流；均匀湍流 14日第21天 向量丛和模空间在数学物理中的应用（扭振理论、瞬子、量子场论） 关键词：流体动力学;湍流;瞬子;数值方法 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Grafke}等人，J.Phys。A、 数学。西奥。48，第33号，文章ID 333001，39页（2015；兹bl 1327.76076） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Lifshitz I M 1964无序体系的能谱高级物理。13 483–536 ·doi:10.1080/00018736400101061 [2] Halperin B I和Lax M 1966高密度极限下的杂质带尾：I.最小计数方法物理学。版次。148 722–40 ·doi:10.1103/PhysRev.148.722 [3] Zittartz J和Langer J S 1966随机势中束缚态理论物理学。版次。148 741–7 ·Zbl 0149.23702号 ·doi:10.103/物理版本148.741 [4] Langer J S 1967凝点理论安·物理。，纽约州41 108–57 ·doi:10.1016/0003-4916（67）90200-X [5] Langer J S 1969亚稳态衰变的统计理论安·物理。，纽约州54 258–75 ·doi:10.1016/0003-4916（69）90153-5 [6] Belavin A A、Polyakov A M、Schwartz A S和Tyupkin Yu S 1975 Yang-Mills方程的伪粒子解物理学。莱特。B 59 85–87·doi:10.1016/0370-2693（75）90163-X [7] Hooft G’t 1976四维伪粒子量子效应的计算物理学。版次。D 14 3432–50日·doi:10.1103/PhysRevD.14.3432 [8] 科尔曼S 1979瞬子的使用亚核物理的本质（亚核系列第15卷）ed A Zichichi（纽约：Springer）第805–941页·doi:10.1007/978-1-4684-0991-816 [9] Vainshtein A I、Zakharov V I、Novikov V A和Shifman M A 1982瞬时子ABC苏联。物理-乌斯普。25 195 [10] Polyakov A M 1977夸克禁闭与规范理论拓扑编号。物理学。B 120 429–58号·doi:10.1016/0550-3213（77）90086-4 [11] Kramers H A 1940力场中的布朗运动和化学反应的扩散模型物理7 284–304 ·兹比尔0061.46405 ·doi:10.1016/S0031-8914（40）90098-2 [12] Berglund N 2013 Kramers定律：有效性、推导和推广马尔可夫过程。相关。领域19 459–90 [13] Bardos C W和Titi E S 2013数学与湍流：我们的立场是什么？J.Turbul公司。14 42–76 ·doi:10.1080/14685248.2013.771838 [14] Eyink G L和Sreenivasan K R 2006 Onsager与水动力湍流理论修订版Mod。物理学。78 87–135 ·Zbl 1205.01032号 ·doi:10.1103/RevModPhys.78.87 [15] Peter C，Weinan E和Edriss S T 1994关于欧拉方程解的能量守恒的Onsager猜想Commun公司。数学。物理学。165 207–9 ·Zbl 0818.35085号 ·doi:10.1007/BF02099744 [16] Duchon J和Robert R 2000不可压缩Euler和Navier-Stokes方程弱解的惯性能量耗散非线性13 249 ·Zbl 1009.35062号 [17] Pope S B 2004关于湍流大涡模拟的十个问题新J.Phys。6 35 [18] Kraichnan R H 1964在直接相互作用近似下各向同性湍流的衰减物理学。流体7 1030–48 (1958–1988) ·doi:10.1063/1.1711319 [19] Forster D、Nelson D R和Stephen M J 1977随机搅拌流体的大直径和长时间特性物理学。版次。A 16 732–49号·doi:10.1103/PhysRevA.16.732 [20] Yakhot V和Orszag S A 1986湍流重整化群分析物理学。修订稿。57 1722–4 ·Zbl 0648.76040号 ·doi:10.1103/PhysRevLett.57.1722 [21] Onsager L 1949统计流体力学新墨西哥州。96 279–87 ·doi:10.1007/BF02780991 [22] 湍流壳模型中的Daumont I、Dombre T和Gilson J-L 2000 Instanton演算物理学。版次。E 62 3592–610电话·doi:10.1103/PhysRevE.62.3592 [23] Shraiman B I和Siggia E D 1994随机流中的拉格朗日路径积分和涨落物理学。版次。E 49 2912–27电话·doi:10.1103/PhysRevE.49.2912 [24] Falkovich G、Kolokolov I、Lebedev V和Migdal A 1996瞬时和间歇物理学。版次。E 54 4896–907电话·doi:10.1103/PhysRevE.54.4896 [25] Burgers方程中的Gurarie V和Migdal A 1996 Instantons物理学。版次。E 54 4908–14电话·doi:10.1103/PhysRevE.54.4908 [26] Balkovsky E、Falkovich G、Kolokolov I和Lebedev V 1997年汉堡湍流的间歇性物理学。修订稿。78 1452–5 ·doi:10.103/PhysRevLett.78.1452 [27] Falkovich G和Lebedev V 2011二维湍流直接级联中的涡旋统计物理学。版次。电子83 045301·doi:10.1103/PhysRevE.83.045301 [28] Fogedby H C和Ren W 2009 Kardar–Parisi–Zhang方程的最小作用法物理学。版次。E 80 041116电话·doi:10.1103/PhysRevE.80.041116 [29] Wan X 2013二维平行剪切流小随机扰动的最小作用方法J.计算。物理学。235 497–514 ·Zbl 1291.76264号 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.10.006 [30] Bouchet F、Laurie J和Zaboronski O 2011湍流随机跃迁的控制和瞬子轨迹物理杂志：Conf.序列号。318 022041 [31] Laurie J和Bouchet F 2015正压准营养方程中罕见跃迁的计算新J.Phys。17 015009 [32] Bouchet F和Simonnet E 2009二维和地球物理湍流中流动拓扑的随机变化物理学。修订稿。102 094504 ·doi:10.1103/PhysRevLett.102.094504 [33] E R周、Tian Y周、Urbach J S周、Ide K周、Swinney H L周和Ghil M周1997年地形旋转环空中阻塞流和纬向流之间的转换科学类278 1598–601 ·doi:10.1126/science.278.5343.1598 [34] Schmeits M J和Dijkstra H A 2001年黑潮和墨西哥湾流的双峰行为《物理学杂志》。Oceanogr公司。31 3435 ·doi:10.1175/1520-0485（2001）031<3435:BBOTKA>2.0.CO；2 [35] 伯哈努M等2007年实验湍流发电机中的磁场反转欧罗普提斯。莱特。77 59001 [36] Miller W H 1975不可分离系统量子力学过渡态理论的半经典极限化学杂志。物理学。62 1899 ·数字对象标识代码：10.1063/1.430676 [37] Kryvohuz M 2011计算多维化学系统反应速率常数的半经典瞬子方法化学杂志。物理学。134 114103 ·doi:10.1063/1.3565425 [38] Bonnet F、Van Der Hoek J、Allison A和Abbott D 2005非高斯期权定价模型下波动市场中的路径积分经济物理与金融中的噪音和波动：Proc。SPIE 5848国际光学工程学会（德克萨斯州奥斯汀，2005年6月）ed D Abbott、J-P Bouchaud、X Gabaix和J L McCauley第66–85页 [39] Assaf M、Roberts E和Luthey-Schulten Z 2011确定遗传开关的稳定性：明确解释mRNA噪声物理学。修订稿。106 248102 ·doi:10.1103/PhysRevLett.106.248102 [40] Gardner T S、Cantor C R和Collins J J 2000大肠杆菌基因切换开关的构建自然403 339–42 ·doi:10.1038/35002131 [41] Martin P C、Siggia E D和Rose H A 1973经典系统的统计动力学物理学。版次。甲8 423·doi:10.1103/PhysRevA.8.423 [42] Janssen H K 1976关于经典场动力学的拉格朗日方程和动力学临界性质的重整化群计算Z.物理。乙23 377·doi:10.1007/BF01316547 [43] Dominicis C 1976《冠军与动态评论的非规范化技术》《物理学杂志》。C： 固态物理。1 247 ·doi:10.1051/jphyscol:1976138 [44] Täuber大学2014临界动力学：平衡和非平衡标度行为的场论方法（剑桥：剑桥大学出版社） [45] Ivashkevich E V 1997随机Burgers方程的对称性《物理学杂志》。A： 数学。消息。30 L525 [46] Ticciati R 1999年数学家的量子场论（剑桥：剑桥大学出版社）·doi:10.1017/CBO9780511526428 [47] Albeverio S、Höegh-Krohn R和Mazzucchi S，2008年费曼路径积分数学理论导论（柏林：施普林格）·Zbl 1222.46001号 ·doi:10.1007/978-3-540-76956-9 [48] Onsager L和Machlup S 1953波动和不可逆过程物理学。版次。91 1505–12 ·Zbl 0053.15106号 ·doi:10.1103/PhysRev.91.1505 [49] Machlup S和Onsager L 1953波动和不可逆过程：II。具有动能的系统物理学。版次。91 1512–5 ·兹比尔0053.15107 ·doi:10.1103/PhysRev.91.1512 [50] Stratonovich R L 1957关于计算量子分布函数的方法苏联。物理-多克。2 416–19 ·Zbl 0080.19804号 [51] 哈伯德J 1959配分函数的计算物理学。修订稿。3 77–78 ·doi:10.1103/PhysRevLett.3.77 [52] Keldysh L V 1964强电磁波场中的电离Zh公司。埃克斯普·特尔。菲兹。47 1945–57 [53] Altland A和Simons B D 2010凝聚态场论第二版（剑桥：剑桥大学出版社）·Zbl 1205.81097号 ·doi:10.1017/CBO9780511789984 [54] 卡梅内夫A 2011非平衡系统的场论（纽约：剑桥大学出版社）·Zbl 1267.82003年 ·doi:10.1017/CBO9781139003667 [55] Ventsel A D和Freidlin M I 1970关于动力系统的小随机扰动俄罗斯数学。Surv公司。25 1 [56] Freidlin M I和Wentzell A D 1998动力系统的随机扰动（柏林：施普林格）·兹比尔0922.60006 ·doi:10.1007/978-1-4612-0611-8 [57] Cramér H 1938年《新世纪》对可能性的限制实际值。科学。印度。763 5–23 [58] Varadhan S R S 2008大偏差安·普罗巴伯。36 397–419 ·Zbl 1146.60003号 ·doi:10.1214/07-AOP348 [59] Dembo A和Zeitouni O 2010大偏差技术及其应用（柏林：施普林格）·兹比尔1177.60035 ·doi:10.1007/978-3642-03311-7 [60] 汉堡J M 1974非线性扩散方程。渐近解与统计问题（多德雷赫特：雷德尔）·Zbl 0302.60048号 ·doi:10.1007/978-94-010-1745-9 [61] Polyakov A M 1995无压湍流物理学。版次。E 52 6183–8电话·doi:10.1103/PhysRevE.52.6183 [62] Feigel'Man M V 1980弱随机势中的一维周期结构苏联。J.实验理论。物理学。52 555–61 [63] Cole J D 1951关于空气动力学中出现的一个拟线性抛物方程夸脱。申请。数学。9 225–36 [64] Hopf E 1950偏微分方程Commun公司。纯应用程序。数学。3 201–30 ·Zbl 0039.10403号 ·doi:10.1002/cpa.3160030302 [65] Bec J和Khanin K 2007汉堡湍流物理学。代表。447 1–66 ·doi:10.1016/j.physrep.2007.04.002 [66] Chertkov M 1996随机平流Instanton物理学。版次。E 55 2722–35电话·doi:10.1103/PhysRevE.55.2722 [67] Biferale L、Daumont I、Dombre T和Lanotte A 1999被动标量平流随机壳模型中的相干结构物理学。版次。E 60 6299–302电话·doi:10.103/物理版本E.60.R6299 [68] Wan X 2011一种自适应高阶最小作用方法J.计算。物理学。230 8669–82 ·Zbl 1242.65016号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.08.006 [69] Glatzmaier GA和Roberts P H 1995地磁反转的三维自洽计算机模拟自然377 203–9 ·数字对象标识代码：10.1038/377203a0 [70] Benzi R和Pinton J-F 2011简单磁反转模型中的随机共振国际J分叉混沌21 3489–95 ·兹比尔1270.34165 ·doi:10.1142/S0218127411030684 [71] Pétrélis F和Fauve S 2010磁场反转机制菲尔翻译。R.社会。A 368 1595–605·doi:10.1098/rsta.2009.0250 [72] Mori N和Janssen P A E M 2006关于畸形波的峰度和发生概率《物理学杂志》。Oceanogr公司。36 1471–83 ·doi:10.1175/JPO2922.1 [73] Mori N、Onorato M、Janssen P A E M、Osborne A R和Serio M 2007关于长峰深水波的极端统计：理论和实验《地球物理学杂志》。研究：海洋112 C09011号·doi:10.1029/2006JC004024 [74] Bühler O 2007大偏差理论与极值波极限赛事，Aha Huliko’a夏威夷冬季研讨会ed Püller和C Garrett（火奴鲁鲁：夏威夷大学）172 P [75] Peregrine D H 1983水波非线性薛定谔方程及其解J.奥斯特。数学。Soc公司。B 25 16–43岁·Zbl 0526.76018号 ·doi:10.1017/S0334270000003891 [76] Zakharov V和Gelash A 2013调制不稳定性导致的怪异波宫内节育器9 165–75 ·doi:10.1016/j.piutam.2013.09.014 [77] Akhmediev N、Soto-Crespo J M和Ankiewicz A 2009如何激发无赖波物理学。版次。电话：80 043818·doi:10.1003/PhysRevA.80.043818 [78] Leggett A J 1984瞬子及其相关技术在凝聚态物理中的一些最新应用掠夺。西奥。物理学。供应商。80 10–18 ·doi:10.1143/PTPS.80.10 [79] Efetov K 1999年无序和混沌中的超对称（剑桥：剑桥大学出版社）·Zbl 0990.82501号 [80] 整数量子霍尔效应梯度非线性σ模型的Weidenmüller H A和Zirnbauer M R 1988 Instanton近似编号。物理学。B 305 339–66号·doi:10.1016/0550-3213（88）90072-7 [81] Mukhin S I 2008相关电子系统的瞬变子扇区作为布居伪间隙和平带行为的起源：解析解J.超导。新型Magn。22 75–80 ·doi:10.1007/s10948-008-0358-4 [82] Hayn R和John W 1991无序固体电导率的Instanton方法编号。物理学。B 348 766–86号·doi:10.1016/0550-3213（91）90214-I [83] Ellis R S 1985大偏差和统计力学粒子系统、随机介质和大偏差第41卷（普罗维登斯，RI:AMS）第101–23页·doi:10.1090/conm/041/814705 [84] Touchette H 2009统计力学的大偏差方法478 1–69物理学。代表。 ·doi:10.1016/j.physrep.2009.05.002 [85] Bouchaud J-P和Potters M 2003金融风险理论与衍生品定价：从统计物理到风险管理（剑桥：剑桥大学出版社）·Zbl 1194.91008号 ·doi:10.1017/CBO9780511753893 [86] Kle惰性H 2009量子力学、统计学、高分子物理学和金融市场中的路径积分（新加坡：世界科学）·Zbl 1169.81001号 [87] Boyle P、Feng S和Tian W 2007年大偏差技术和金融应用运筹学和管理科学手册（《金融工程》第15卷）ed J R Birge和V Linetsky（阿姆斯特丹：Elsevier）第971–1000页第24章 [88] Pham H 2007金融和保险中大偏差的一些应用和方法2004年巴黎-普林斯顿数学金融讲座（数学课堂讲稿第1919卷）（柏林：施普林格出版社）第191-244页·兹比尔1151.91533 ·doi:10.1007/978-3-540-73327-05 [89] Friz P K、Gatheral J、Gulisashvili A、Jacquier A和Teichmann J（编辑）2015金融学中的大偏差和渐近方法（《施普林格数学与统计学报》第110卷）（柏林：施普林格）·Zbl 1322.60003号 ·doi:10.1007/978-3-319-11605-1 [90] Linetsky V 1997金融建模和期权定价的路径积分方法计算。经济。11 129–63 ·Zbl 0897.90015号 ·doi:10.1023/A：1008658226761 [91] Autieri E、Faccioli P、Sega M、Pederia F和Orland H 2009高维系统中的主要反应途径化学杂志。物理学。130 064106 ·doi:10.1063/1.3074271 [92] Garrahan J P、Jack R L、Lecomte V、Pitard E、van Duijvendijk K和van Wijland F 2007动态约束玻璃模型中的一阶相变物理学。修订稿。98 195702 ·Zbl 1157.82014年 ·doi:10.10103/PhysRevLett.98195702 [93] Doi M 1976经典多粒子系统的二次量化表示《物理学杂志》。A： 数学。消息。9 1465 [94] Peliti L 1986 A+A到A反应中波动效应的重新规范化《物理学杂志》。A： 数学。消息。19 L365 [95] Weinan E、Weiqing R和Vanden-Eijnden E 2003亚微米铁磁元件的能源景观和热激活开关J.应用。物理学。93 2275–82 ·数字对象标识代码：10.1063/1.1536737 [96] Weinan E、Weiqing R和Vanden-Eijnden E 2004研究罕见事件的最小作用方法Commun公司。纯应用程序。数学。57 637–56 ·Zbl 1050.60068号 ·doi:10.1002/cpa.20005 [97] Ovaskainen O和Meerson B 2010年人口灭绝的随机模型经济趋势。埃沃。25 643–52 ·doi:10.1016/j.tree.2010.07.009 [98] Falkovich G E、Kolokolov I、Lebedev V和Turitsyn S K 2001含加性噪声孤子系统的统计物理学。版次。E 63 025601（右）·doi:10.1103/PhysRevE.63.025601 [99] Falkovich G、Kolokolov I、Lebedev V、Mezentsev V和Turitsyn S 2004光孤子传输中的非高斯错误概率Physica公司D 195 1–28·Zbl 1050.78007号 ·doi:10.1016/j.physd.2004.01.044 [100] Chertkov M、Gabitov I、Kolokolov I和Schäfer T 2004偏振模色散的周期补偿J.选项。美国南部。B 21 486–98号·doi:10.1364/JOSAB.21.000486 [101] Moore R O 2014锁模激光模型中线宽和滑移率的权衡选择。莱特。39 3042–5 ·doi:10.1364/OL.39.003042 [102] Terekhov I S、Vergeles S S和Turitsyn S K 2014加性噪声非线性薛定谔方程的条件概率计算物理学。修订稿。113 230602 ·doi:10.1103/PhysRevLett.113.230602 [103] Hales J、Zhukov A、Roy R和Dykman M I 2000半导体激光器中激活逃逸动力学及其观测物理学。修订稿。85 78–081 ·doi:10.1103/PhysRevLett.85.78 [104] Chernykh A I和Stepanov M G 2001 Burgers湍流中的大负速度梯度物理学。版次。电话64 026306·doi:10.1103/PhysRevE.64.026306 [105] Grafke T、Grauer R、Schäfer T和Vanden-Eijnden E 2015汉堡湍流中瞬时子的相关性欧罗普提斯。莱特。109 34003 [106] Zel'dovich Y B 1970引力不稳定性：大密度扰动的近似理论阿童木。天体物理学。5 84–89 [107] Gurbatov S N和Saichev A I 1984潜在水动力湍流的概率分布和谱放射物理学量子电子。27 303–13 ·doi:10.1007/BF01036611 [108] Kardar M、Parisi G和Zhang Y-C 1986生长界面的动态缩放物理学。修订稿。56 889–92 ·Zbl 1101.82329号 ·doi:10.1103/PhysRevLett.56.889 [109] Chowdhury D、Santen L和Schadschneider A 2000车辆交通和一些相关系统的统计物理物理学。代表。329 199–329 ·doi:10.1016/S0370-1573（99）00117-9 [110] Gotoh T 1999稳态Burgers湍流中的概率密度函数物理学。流体11 2143–8 ·兹比尔1147.76399 ·数字对象标识代码：10.1063/1.870106 [111] Grafke T、Grauer R和Schäfer T 2013随机Burgers方程的瞬时滤波《物理学杂志》。A： 数学。西奥。46 062002 ·Zbl 1311.60070号 [112] Bouchaud J-P和Mézard M 1996强迫Burgers湍流中的速度波动物理学。版次。E 54 5116–21电话·doi:10.1103/PhysRevE.54.5116 [113] Yakhot V和Chekhlov A 1996随机驱动汉堡湍流中概率密度函数的代数尾物理学。修订稿。77 3118–21 ·doi:10.1103/PhysRevLett.77.3118 [114] Boldyrev S A 1997 Burgers湍流的速度差概率密度函数物理学。版次。E 55 6907–10电话·doi:10.1103/PhysRevE.55.6907 [115] Gotoh T和Kraichnan R H 1998带有大规模强迫的稳态Burgers湍流物理学。流体10 2859–66（1994年至今）·Zbl 1185.76755号 ·数字对象标识代码：10.1063/1.869807 [116] Khanin W E K，Mazel A和Sinai Y 1997随机强迫Burgers方程的概率分布函数物理学。修订稿。78 1904 ·doi:10.1103/PhysRevLett.78.1904 [117] Weinan E和Vanden-Eijnden E 2000无粘极限下随机Burgers方程的统计理论Commun公司。纯应用程序。数学。53 852–901 ·Zbl 1037.76013号 ·doi:10.1002/（SICI）1097-0312（200007）53:7<852:：AID-CPA3>3.0.CO；2-5 [118] Bec J、Frisch U和Khanin K 2000 Kicked Burgers湍流J.流体力学。416 239–67 ·Zbl 0974.76036号 ·doi:10.1017/S0022112000001051 [119] 凯勒H B 1992两点边值问题的数值方法（纽约：多佛） [120] Vanden-Eijnden E和Heymann M 2008计算最小能量路径的几何最小作用方法化学杂志。物理学。128 061103 ·数字对象标识代码：10.1063/1.2833040 [121] Heymann M和Vanden-Eijnden E 2008非平衡系统中罕见事件的最大可能性途径：在剪切作用下成核的应用物理学。修订稿。100 140601 ·doi:10.1103/PhysRevLett.100.140601 [122] Grafke T、Grauer R、Schäfer T和Vanden Eijnden E 2014弧长参数化汉密尔顿方程，用于计算瞬变多尺度模型。模拟。12 566–80 ·Zbl 1348.60084号 ·doi:10.1137/130939158 [123] Mesterhazy D和Jansen K 2011随机驱动Burgers方程中的异常标度：一项蒙特卡罗研究新J.Phys。13 103028 [124] 道德P D和Garnier J 2005罕见事件的系谱粒子分析附录申请。普罗巴伯。15 2496–534 ·Zbl 1097.65013号 ·doi:10.1214/105051605000000566 [125] Giardi C、Kurchan J、Lecomte V和Tailleur J 2011模拟动力学过程中的罕见事件《统计物理学杂志》。145 787–811 ·Zbl 1252.82007年 ·doi:10.1007/s10955-011-0350-4 [126] Simonnet E 2014自适应最后粒子法的组合分析统计计算。1–20 ·兹比尔1342.65014 ·doi:10.1007/s11222-014-9489-6 [127] Rolland J和Simonnet E 2015简单模型中自适应多级分裂算法的统计行为J.计算。物理学。283 541–58 ·Zbl 1352.65028号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.12.009 [128] Arrhenius S 1889 U.ber die Reaktionsgeschwindigkeit bei der Inversion von Rohrzucker durch Saeuren公司Z.物理。化学。4 226–48 [129] Henkelman G和Jónsson H 2000发现最小能量路径和鞍点的微移弹性带方法中改进的切线估计化学杂志。物理学。113 9978 ·数字对象标识代码：10.1063/1.132324 [130] Weinan E、Weiqing R和Vanden-Eijnden E 2002罕见事件研究的字符串方法物理学。版次。乙66 052301·兹比尔1023.65004 ·doi:10.1103/PhysRevB.66.052301 [131] Ren W E W和Vanden-Eijnden E 2007用于计算跨越障碍事件中最小能量路径的简化和改进字符串方法化学杂志。物理学。126 164103 ·数字对象标识代码：10.1063/1.2720838 [132] Olender R和Elber R 1996大时间步长经典轨迹的计算：形式主义和数值示例化学杂志。物理学。105 9299 ·数字对象标识代码：10.1063/1.472727 [133] Zhou X，Ren W和Weinan E 2008用于罕见事件研究的自适应最小作用方法化学杂志。物理学。128 104111 ·数字对象标识代码：10.1063/1.2830717 [134] Wan X和Lin G 2013最小作用法的混合并行计算并行计算。39 638 ·doi:10.1016/j.parco.2013.08.004 [135] W E和Zhou X 2011最温和的上升动力非线性24 1831–42 ·Zbl 1237.37052号 [136] Heymann M和Vanden-Eijnden E 2008几何最小作用法：曲线空间上的最小作用原理Commun公司。纯应用程序。数学。61 1052–117 ·兹比尔1146.60046 ·doi:10.1002/cpa.20238 [137] Cont R和Tankov P 2004具有跳跃过程的财务建模（佛罗里达州博卡拉顿：查普曼和霍尔）·Zbl 1052.91043号 [138] Jullien M-C、Paret J和Tabeling P 1999二维湍流中的Richardson对色散物理学。修订稿。82 2872–5 ·doi:10.1003/物理通讯822.8872 [139] Sokolov I M、Klafter J和Blumen A 2000 Richardson区弹道对扩散对色散物理学。版次。E 61 2717–22电话·doi:10.1103/PhysRevE.61.2717 [140] Tarasov V E和Zaslavsky G M 2008 Kac积分的分数推广Commun公司。非线性科学。数字。模拟。13 248–58 ·Zbl 1133.26004号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2007.04.020 [141] Zumofen G、Klafter J和Blumen A 1990年异常输送：一维随机模型化学。物理学。146 433–44 ·doi:10.1016/0301-0104（90）80062-3 [142] Janakiraman D和Sebastian K L 2012 Levy飞行路径积分公式：过阻尼和欠阻尼极限下自由、线性和谐波电位传播子的评估物理学。版次。电话86 061105·doi:10.1103/PhysRevE.86.061105 [143] 随机力驱动Burgers方程中的Chekhlov A和Yakhot V 1995 Kolmogorov湍流物理学。版次。E 51 2739电话·doi:10.1103/PhysRevE.51.R2739 [144] Qi H和Sun D 2006计算最近相关矩阵的二次收敛牛顿法SIAM J.矩阵分析。申请。28 360–85 ·兹比尔1120.65049 ·数字对象标识代码：10.1137/050624509 [145] Celani A、Cencini M和Noullez A 2004来来回回：混合初值/终值问题的快速简约算法物理D：非线性现象。195 283–91 ·Zbl 1098.76596号 ·doi:10.1016/j.physd.2004.04.001 [146] Grafke T、Grauer R和Schindel S，2014年，高效计算具有大规模强迫（arXiv:1410.6331）的多维湍流的瞬子[physics.flu-dyn]，将出现在CiCP中·Zbl 1373.76059号 [147] Novikov E 1993基于条件平均Navier–Stokes方程的湍流问题新方法流体动力学。物件。12 107 [148] Mui R C Y、Dommermuth D G和Novikov E A 1996条件平均涡度场和湍流模型物理学。版次。E 53 2355–9电话·doi:10.1103/PhysRevE.53.2355 [149] Wilczek M 2011流体湍流的统计和数值研究博士论文德国穆斯特大学理论物理研究所 [150] Moriconi L 2004强湍流涡度事件统计物理学。版次。电话：70 025302·doi:10.10103/物理版本E.70.025302 [151] Gunzburger M 2002年流量控制和优化展望（宾夕法尼亚州费城：SIAM） [152] Walther A和Griewank A 1999将检查点例程树反转应用于Burgers方程的离散高性能科学与工程计算，计算科学与工程讲义ed H-J Bungartz、F Durtz和Chr Zenger（纽约：Springer） [153] Wang Q，Moin P和Iacarino G 2009非定常伴随计算的最小重复动态检查点算法SIAM J.科学。计算。31 2549–67 ·Zbl 1196.65050号 ·doi:10.1137/080727890 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。