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沃尔特·迈克利斯

共生余代数。 （英语） Zbl 1078.16046号

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虽然在某种意义上，余代数是代数的对偶，但与代数的历史相比，余代数本身并没有得到广泛的发展。在很大程度上，它们是作为一个更复杂的结构的一部分出现的，这个结构也需要一个具有相容公理的代数结构，最初是在代数拓扑中。随后在量子群和组合学中的出现也涉及到Hopf代数结构，尽管在组合学中有一些重要的余代数独立存在。有人可能会争辩说，余代数缺乏独立的发展源于无限维情况，在这种情况下，代数的对偶性是不完整的。当然，有些书专门讨论了余代数，但随后又将它们与其他事物联系起来，例如，Hopf代数、上同调、范畴理论等。
正在审查的手册是一个漫长的非正式漫游，通过领域上的协同学丛的各个方面。这本书是为工作中的数学家和物理学家准备的入门读物。它强调基本思想，通常没有正式的证明（尽管有一些）。然而，Hopf代数和对偶代数起着重要的作用。概念通常以几种方式解释（不总是连续的），并且通常通过几种类型的符号进行解释。给出了许多明确的讨论。有关于各种术语的讨论。许多相当基本的想法都过于详尽，但作者的目标是要揭示读者可能完全不熟悉的主题。文中经常提到稍后讨论的想法和结果。在引言中，作者在没有给出协联余代数的精确定义的情况下，描述了该思想产生的领域，例如代数拓扑、组合学、群（有限的、拓扑的、李的、代数的）、李代数，有时强调协联代数的对偶概念。本文包含了关于李余代数的评论，尽管还不清楚这个概念是否有过定义。最后，有一个非常广泛的文献指南，文本经常提到这一点，例如，指出哪里可以找到结果的证据，以及指出思想的历史。
我们指出了一些内容。第2节——定义和初步结果——定义了结合（去掉余）余代数及其同态，然后讨论了余代数、子代数、余代数、分次余代数、余bras的张量积、双代数和Hopf代数的符号。为了表明对范畴思想（图表）的强调，没有对极的元素描述。然后讨论了对偶、余代数的对偶代数（C^*）、有限维代数（a）的对偶余代数（a^*），以及无限维代数（a\）的余代数（a ^0）的提示。下文将对（A^0）进行更详细的讨论。
第3节-所选示例指南-讨论了（C）和（C^*）的低维示例，矩阵代数对偶到（n）by（n）矩阵代数的余代数（有可能讨论量子矩阵的（2）by（2），但我找不到它），集上的类群余代数（定义了两次，与幺半群代数和群代数有关）。讨论了余代数、洗牌、张量、自由代数和余代数的直和。
第4节——理论概述——通过零化子理论更详细地介绍了对偶性及其在将对偶向量空间视为拓扑向量空间中的应用。（C\）的子代数与（C^*）的理想有关，（C\。给出了余代数基本定理的早期证明之一，即每个元素都包含在有限维子代数中。关于矩阵双代数的命题4.16以有限生成双代数中一般元素的错误形式开始，但在证明中不需要这样做。
第5节有三个附录。第一部分概述了Harish-Chandra定理的Hopf型证明，即特征零域上的有限维李代数具有足够的有限维表示来分离点。第二部分将雅可比猜想与霍普夫的一些想法联系起来（这部分很难阅读）。第三章给出了余代数基本定理的另一个证明，它比前面给出的更容易（至少更短），因为它基本上只涉及初等线性代数。最后一个附录给出了交换环上的余代数的例子，其中基本定理失效，并对如何构造这些例子进行了一般性讨论。
关于整个系列，请参见[Zbl 1052.00009号].
审核人：Earl J.Taft（新不伦瑞克）

引用于11文件

MSC公司：

16瓦30 Hopf代数（结合环和代数）（MSC2000）
16-02 关于结合环和代数的研究综述（专著、调查文章）
00A20型 词典和其他通用参考书

关键词：

余代数;Hopf代数;量子群;二元性;复制;积分;对极
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\textit{W.Michaelis}，收录于：代数手册。第3卷。阿姆斯特丹：爱思唯尔。587--788（2003年；Zbl 1078.16046）

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