×

扩展器图形的布局。 (英语) 兹比尔1347.68282

总结:J.布尔甘A.Yehudayoff【地理功能分析23,第1期,第1-41页(2013年;Zbl 1268.05103号)]最近构造的\(O(1)\)-单调二部扩展器。通过将此结果与展开方法的推广相结合R.坎南【信息控制66,1-5(1985;Zbl 0584.05055号)],我们构造了3-单调二部扩展器,这是最好的可能。然后我们显示,相同的图允许3页书籍嵌入、2队列布局、4轨道布局,并且具有简单的厚度2。所有这些结果都是最好的。

MSC公司:

68兰特 计算机科学中的图论(包括图形绘制)
05C62号 图形表示(几何和交点表示等)
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用

参考文献:

[1] [1] 诺加·阿隆、奥德·施瓦茨和阿萨夫·沙皮拉。恒定角度膨胀机的基本结构。组合概率。计算。,17(3):319–327, 2008. MR:2410389.1、8、14·Zbl 1194.05021号
[2] [2] Michael J.Bannister和David Eppstein。具有有界树宽的图的1页图和2页图的交叉最小化。程序中。第22国际交响乐团。《计算机讲义》第8871卷《绘图》。科学。,第210–221页。斯普林格,2014年。MR:3333228.14号·Zbl 1426.68199号
[3] [3] János Barát、Ji\check{}ríMatoušek和David r.Wood。有界度图具有任意大的几何厚度。电子。《联合杂志》,13(1):R32006。MR:2200531.5号
[4] [4] Frank R.Bernhart和Paul C.Kainen。图形的书本厚度。J.组合理论系列。B、 27(3):320-3311979年。MR:554297.4·Zbl 0427.05028号
[5] [5] 让·布尔盖恩(Jean Bourgain)。膨胀机和尺寸膨胀。C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎,347(7-8):357-3622009。MR:2537230.2,3,4,6,15·Zbl 1160.22006年
[6] [6] Jean Bourgain和Amir Yehudayoff。SL2(R)中的展开和单调展开。几何和功能分析,23(1):1–412013。MR:3037896.2、3、4、6、15·Zbl 1268.05103号
[7] [7] Jonathan F.Buss和Peter Shor。平面图的页码。程序中。第16届ACM交响乐团。《计算理论》(STOC’84),第98–100页。ACM,1984年4月14日
[8] [8] 朱塞佩·迪·巴蒂斯塔(Giuseppe Di Battista)、法布里奇奥·弗拉蒂(Fabrizio Frati)和贾诺斯·帕奇(Janos Pách)。关于平面图的队列数。SIAM J.计算。,42(6):2243–2285, 2013. 材料报告:3141759.3·Zbl 1300.05075号
[9] [9] 埃米利奥·迪·贾科莫(Emilio Di Giacomo)、朱塞佩·利奥塔(Giuseppe Liotta)、亨克·梅耶尔(Henk Meijer)和斯蒂芬·维斯马思(Stephen K.Wismath)。3D向上图纸的体积要求。离散数学,309(7):1824–18372009。物料需求:2509356.4·兹比尔1182.05087
[10] [10] Michael B.Dillencourt,David Eppstein和Daniel S.Hirschberg。完全图的几何厚度。J.图形算法应用。,4(3):5–17, 2000. MR:1787458.5《芝加哥理论计算机科学杂志》2016年第1期第1条,第1–2115页VIDADUJMOVIC\'{},ANASTASIOSIDIROPOULOS,ANDAVIDR。木材·Zbl 0955.05028号
[11] [11] Vida Dujmovi c.通过分层分隔符绘制布局图。J.Combin,理论系列B,110:79–892015年。MR:3279388.14号
[12] [12] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)、帕特·莫林(Pat Morin)和亚当·谢弗(Adam Sheffer)。网格图形中的交叉点。电子。J.Combina.,21(1):#P1.412014。MR:3177536.3号·Zbl 1300.05191号
[13] [13] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)、帕特·莫林(Pat Morin)和大卫·R·伍德(David R.Wood)。树宽有界的图的布局。SIAM J.计算。,34(3):553–579, 2005. MR:213779.3,4·Zbl 1069.05055号
[14] [14] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)、帕特·莫林(Pat Morin)和大卫·R·伍德(David R.Wood)。小闭族中的分层分隔符及其应用。2013年arXiv:1306.1595.3,4,14·Zbl 1371.05282号
[15] [15] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)、阿提拉·波尔(Attila Pór)和大卫·r·伍德(David r.Wood)。跟踪图形布局。离散数学。理论。计算。科学。,6(2):497–522, 2004. MR:2180055.2,3,4·Zbl 1066.68095号
[16] [16] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)和大卫·R·伍德(David R.Wood)。关于图的线性布局。离散数学。理论。计算。科学。,6(2):339–358, 2004. 材料报告:2081479.2.3·Zbl 1059.05077号
[17] [17] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)和大卫·R·伍德(David R.Wood)。堆栈、队列和轨迹:图形细分的布局。离散数学。理论。计算。科学。,7:155–202, 2005. MR:2164064.3、4、13、14·兹比尔1153.05036
[18] [18] Vida Dujmovi和David R.Wood。绘制树宽和几何厚度参数。离散计算。地理。,37(4):641–670, 2007. 材料要求:2321747.5·Zbl 1118.05018号
[19] [19] 维达·杜杰莫维奇(Vida Dujmovi)和大卫·R·伍德(David R.Wood)。关于k树的书厚。离散数学。理论。计算。科学。,13(3):39–44, 2011. 材料要求:2851080.14·Zbl 1283.05145号
[20] [20] Zeev Dvir和Amir Shpilka。朝向有限域上的维度扩展器。Combinatorica,31(3):305–320,2011年。MR:2835295.2号·Zbl 1265.05595号
[21] [21]泽耶夫·德维尔(Zeev Dvir)和阿维·威格德森(Avi Wigderson)。单色扩展器:结构和应用。计算理论,6(12):291-3082010。MR:2770077.2、3、8、14·Zbl 1213.68440号
[22] [22]Zdenek Dvorák。次线性分隔符、脆弱性和次指数膨胀。2014年。arXiv:1404.7219.4号
[23] [23]伊万·戴尼科夫(Ivan A.Dynnikov)。链接的三页表示。Uspekhi Mat.Nauk,53(5(323)):237–2381998年。MR:1756732.14号
[24] [24]伊万·戴尼科夫(Ivan A.Dynnikov)。一个三页的结理论方法。泛半群。功能性。分析。i Prilozhen。,34(1):29–40, 96, 2000. MR:1756732.14号
[25] [25]伊万·戴尼科夫(Ivan A.Dynnikov)。一种表示链接的新方法,一维形式主义和解开技术。《应用学报》。数学。,69(3):243–283, 2001. 先生:1885279.14·兹比尔1006.57001
[26] [26]兹维·加利尔(Zvi Galil)、拉维·坎南(Ravi Kannan)和恩德雷·斯泽梅雷迪(Endre Szemerédi)。在带有大分隔符的三下推图上。Combinatorica,9(1):1989年9月19日。MR:1010295.2,3《芝加哥理论计算机科学杂志》2016年第1篇,第1–2116页展开图布局·Zbl 0726.05042号
[27] [27]兹维·加利尔(Zvi Galil)、拉维·坎南(Ravi Kannan)和恩德雷·斯泽梅雷迪(Endre Szemerédi)。关于k页图的非平凡分隔符和非确定单带图灵机的模拟。J.计算。系统科学。,38(1):134–149, 1989. MR:0990053.3号·Zbl 0676.68019号
[28] [28]马丁·格罗和达尼尔·马克思。在树宽、荆棘大小和扩张方面。J.组合理论系列。B、 99(1):218-2282009年。MR:2467827.14·Zbl 1205.05049号
[29] [29]Lenwood S.Heath、F.Thomson Leighton和Arnold L.Rosenberg。比较队列和堆栈作为布局图的机制。SIAM J.离散数学。,5(3):398–412, 1992. MR:1172748。3,13 ·Zbl 0764.05093号
[30] [30]Lenwood S.Heath和Arnold L.Rosenberg。使用队列布置图形。SIAM J.计算。,21(5):927–958, 1992. MR:1181408.3,4,5,13·Zbl 0778.05078号
[31] [31]Shlomo Hoory、Nathan Linial和Avi Wigderson。扩展图及其应用。牛市。阿米尔。数学。Soc.(N.S.),43(4):439–5612006年。MR:2247919.1,8,14·Zbl 1147.68608号
[32] [32]拉维·坎南。解开k页图。通知。和控制,66(1-2):1985年1-5月。MR:0818851.6,7·Zbl 0584.05055号
[33] [33]Richard J.Lipton和Robert E.Tarjan。平面图的一个分离器定理。SIAM J.应用。数学。,36(2):177–189, 1979. 先生:0524495.4·兹伯利0432.05022
[34] [34]佩特拉·穆策尔(Petra Mutzel)、托马斯·奥登塔尔(Thomas Odental)和马克·沙布罗德(Mark Scharbrodt)。图表的厚度:一项调查。图组合,14(1):59-731998。材料要求:1617664.5·Zbl 0896.05020号
[35] [35]雅罗斯拉夫·内舍特(Jaroslav Nešet\check){}ril和帕特里斯·奥斯纳·德门德斯(Patrice Ossona De Mendez)。梯度与有界展开类II。算法方面。欧洲联合杂志,29(3):777–7912008。MR:2397336.4号·Zbl 1185.05131号
[36] [36]雅罗斯拉夫·内舍特(Jaroslav Nešet\check){}ril和帕特里斯·奥斯纳·德门德斯(Patrice Ossona de Mendez)。稀疏性,《算法与组合数学》第28卷。施普林格,2012年。MR:2920058.4号
[37] [37]雅罗斯拉夫·内塞特·切克·里尔(Jaroslav Nešet\check{}ril)、帕特里斯·奥斯纳·德门德斯(Patrice Ossona de Mendez)和戴维·伍德(David R.Wood)。具有有界展开的图类的特征和示例。欧洲组合数学杂志,33(3):350–3732011。MR:2864421.4号·Zbl 1230.05250号
[38] [38]斯里拉姆·V·彭马拉朱(Sriram V.Pemmaraju)。通过图形布局探索堆栈和队列的威力。美国弗吉尼亚理工学院和州立大学博士论文,1992年2月3日
[39] [39]奥马尔·莱因戈尔德(Omer Reingold)、萨利尔·瓦丹(Salil Vadhan)和阿维·威格德森(Avi Wigderson)。熵波、之字形图形产品和新的恒定角度扩展器。数学年鉴。(2), 155(1):157–187, 2002. MR:1888797.1,8,14·Zbl 1008.05101号
[40] [40]大卫·R·伍德。图形产品和电源的队列布局。离散数学。理论。计算。科学。,7(1):255–268, 2005. MR:2183176.11号·Zbl 1153.05325号
[41] [41]米哈利斯·扬纳卡基斯(Mihalis Yannakakis)。在四页中嵌入平面图。J.计算。系统科学。,38(1):36–67, 1989. MR:0990049.14芝加哥公平竞争委员会2016,第1条,第1-2117页VIDADUJMOVIC\'{},ANASTASISSIDIROPOULOS,ANDDAVIDR。WOOD A二分扩展器中的分离器图G中的分离器是一个集Z\substeq V(G),使得G-Z的每个分量最多有以下扩展器和分离器之间的连接是众所周知的,尽管我们不知道|V(G)|2顶点。二部扩张的一个显式证明,因此我们包括它以获得完备性。引理A.1。如果G是一个具有2n个顶点的二部{\(\epsilon\)}-扩展器,那么G中的每个分隔符的大小至少为{\(\ epsilon \)}2(n-1)-1。证明|Z|设XLet A,B是G与|A|=|B|=n的两分法。设Z是G的分隔符。我们的目标是证明1{\(\epsilon\)}2,X(n-1)-1。设Zkbe是V(G-Z)的一个分区,使得每个X1:=Z\cap a和Z2:=Z\cap B是G-Z的某些分量子集的并集,总共最多有n个顶点,在这个条件下,k是最小的。这是明确定义的,因为G-Z的每个组件最多有n个顶点。通过最小化,|Xall distinct i,j\in[1,k]。如果k 4,则|X1|+|X2|>n和|X3|+|X4|>n,这与|V(G)|=2n的i|+|Xj|>n相矛盾。因此k观察N(S)\subseteq(X首先假设|AiS) \杯Z.周四。让Ai|n2代表一些i\ in[1,k]。设S是i\in[1,k].iw的Ai:=Xi\cap a的子集,正好有n2个顶点。(1+{\(\epsilon\)})|S||N(S)||Xi|-|S|+|Z|N-|S|+/|Z|,和|Z|(2+{\。现在假设,对于[1,k]中的所有i,|Ai|<n2。观察\sum(2+{(\epsilon\)})|Ai|-|Xi|=(2+}(\ε。因此,对于[1,k]中的某些i,我们有(2+{\(\epsilon\)})|Ai|-|Xi|1k({\(\ epsilon \)}n-(1+{\。观察N(Ai)\ substeq(XiAi)杯Z2。因此,(1+{\(\epsilon\)})|Ai||N(Ai)||Xi|-|Ai|+|Z2|,和|Z2|[(2+{\ N.由于k3和1+{(\epsilon\)}2,我们有2|Z|(k-1)|Z2|+(1+{\(\epsilon\){)|Z1|{\(\ epsilon)}N,这意味着|Z|{\n2符合要求。芝加哥理论计算机科学杂志2016,第1篇,第1–2118页,展开图B子部分的布局这里我们证明了二部展开器的2-子部分是另一个二部展开机。这个结果是众所周知的,尽管我们不知道明确的证明,所以为了完整起见,我们将其包括在内。引理B.1。对于每一个最大度为d的双边二部{(epsilon)}-展开器G,如果G是通过对每条边进行两次细分而从G得到的图,那么G是一个双边二部}(epsilon){展开器,对于依赖于{。因此,2nSay G有m条边,(A,B)是G与n=|A|=|B|的二分。因为G是一个{\(\epsilon\)}-扩展器,mdn。观察G是具有二分性的二分体(A\cup A,B\cup B),其中对于G的每条边e,正好有一个e的除法顶点在A中,而实际上e的一个除法顶点位于B中。G的每个颜色类都有n+m个顶点。为了证明|N(S\cup S)|(1+{(\epsilon)})|S\cupS|,对于一些仅依赖于{(\ epsilon\)}和d的{。通过A和B之间的对称性,它就足够了{(β)}:=4d+34d+4{(γ)}:={(ε(1+{(\ε > 0. 由于1-{(\ε\)}<1<2{(\beta\)},我们有1-{。因此,0<{\(\gamma\)}<{(\epsilon\)}2<1。由于{\(\gamma\)}<{\(\epsilon\)}2,我们有(1+{\(\epsilon\)})(1-{\(\gamma\)})>1,并且由于{\(\gamma\)}<{\(\epsilon\)}(({\(\epsilon\)}+{\(\beta\ 1-{\(\gamma\)})>1。[证明{(\ε\)}(1-{\(\β\)})>{\(\gamma \){暗示{\(\tε\({\(\ε\)}+{\(\beta\)})暗示({\}){\(\beta\)}implies考虑G的细分边(v,w,v,w),其中v\在a中,w\在B中,v\在a中,w\在B中。假设vw是({\(\epsilon\)}+{\(\beta\)})((1+{\(\epsilon\)}){\(\beta\)}1-{\(\gamma\)})>1。]因此{\(\epsilon\)}>0。还要注意{\(epsilon\)}{\(\gamma\)}d2d{\(\ epsilon)}2d11。如果S中为v,S中为v\,则为type-1。设m1为G中的1类边的数量。如果v在S中为2类,那么vw为2类边,v在G中为3类边的数目。设m2为G中2类边的数量。如果v在S中,v在S内,则vw为3类。设m3是设X是B中G中与S中某个顶点相邻的顶点集,G中与S中某个点相邻的顶点集合。B中每个1类边的端点在X中,X中的每个顶点最多有d个度。因此S中的mvertex。Y中的每个顶点都与某些类型2的边相关,Y中不同的顶点与1d|X|相关。设Y是B中G中与S中某个顶点相邻的顶点集,G中与没有明显类型2边的顶点集。从而使G中的某个顶点与S中的某一个顶点重合。B中每个类型3边的端点位于X\cup Z中,每个顶点位于2|Y|中。设Z是B中G中相邻于S和X中没有顶点的顶点集,|N\cup Z最多有d个度。因此m注意,X、Y、Z是成对不相交的。根据X和Y的定义,我们有NG(S\cup S)\cap B|=m1+m2+m1+m3和N3Gd((S|X|+|Z|)。\杯S)\cap B=X\杯Z.ThusG(S)=X\cupY。观察|NG(S\cup S)|=|X|+|Z|+m1+m2+m3。(B.1)《芝加哥理论计算机科学杂志》2016,第1篇,第1–2119页,VIDADUJMOVIC\'{},ANASTASIOSIDIROPOULOS,ANDAVIDR。WOOD还应注意|S|=m1+m3。由于|S|+|S|12(n+m),m1+m312(n+m)-|S|。(B.2)|X|首先假设mmd1{\(\epsilon\)}m1和12{\(\ epsilon)},我们有m(1+{\(\spilon\){)m22+m+|X|3。因此m(1+{(\epsilon\)})|S|+{。通过((1+{\(\epsilon\)})|S|+mB.1),3。由于|N(S\cup S)|=m1+m2+m3+m3+|X|+|Z|(1+{(\epsilon)})(|S|+m1+m3)=(1+}(\ebsilon。现在假设m2(1+{\(epsilon\)})m2+m3。由于mdnand{(\epsilon)}2d1,2m2-m-2m3{(\ epsilon\)}mn2。(B.3)由于G包含m-mhave m-m1-m2d(n1-m-|S|)。By(2条边入射到A-S,A-S中的每个顶点最多有d次,weB.2),m-m2d(n-|S|)+m1d(n-| S|)+12(n+m)-|S|-m3。通过(B.3),(2d+2)|S|(2d+1)n+2m2-m-2m3(2d+1)n+n2。如果|S|n2是(因为G是一个{\(\epsilon\)}-扩展器),|X|+|Y|=|NG(S)|(1+{\(\ epsilon \)})|S|1+{\。当|S|有|X|+|Y|=|N|N到S.ThusG(B-(X\cupY))|G(S)(1+{\(\epsilon\)})|B-。B-(X\cupY)中没有顶点相邻|(1+{\(\epsilon\)})n2>n2。因此,|B-(X\cupY)|n2如下。考虑大小为2的S的任何子集。由于G是一个双边{(\epsilon\)}-扩展器,n2,我们n-|S||NG(B-(X\cupY))|(1+{(\ epsilon)})(n-|X|-|Y|)。也就是说,|X|+|Y|{(\ε\)}n+1+{(\epsilon\)}|S|={\)}{\(\alpha\)}。因此,1+{\(\ε\)}({\(\epsilon\)}+{\。因此,(1+{\(\epsilon\)}){\(\ alpha\)}{\(\f2)}+{\。芝加哥理论计算机科学杂志2016年第1期第1至2120页,扩张图布局,作者:(B.5),|X|+|Y|{\(epsilon\)}+{\(alpha\)}1+{\如所述。由于m2|Y|和0<{\(\ gamma \)}<1,(1+{\(\ epsilon \)})|S|(1-{\(\ gamma \)})(|X|+|Y|)(1-{\(\ gamma \)})|X|+m2(1-{\(\ gamma \)})(|X|+|Z|)+m2。由于{\(epsilon\)}{\(\gamma\)}和m1+m3d(|X|+|Z|),我们有{\(\ epsilon \)}(m1+m3){\(gamma\。因此(1+{\(\ε\)})|S|+{\(\ε\)}(m1+m3)|X|+|Z|+m2。因此,通过(B.1),(1+{\(ε)})|S\cup S|=(1+{\(ε)})(|S|+m1+m3)|X|+|Z|+m1+m2+m3=|NG(S\cup S)|。这就完成了证明。
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。