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Michałek，马特乌斯;伯恩德·斯图尔姆费尔斯;卡罗琳·尤勒;彼得·兹维尔尼克

指数变化。 （英语） Zbl 1345.14048号

程序。伦敦。数学。社会（3） 112，第1期，27-56（2016）.
作者定义并发展了指数簇理论，正如他们在摘要中所述，指数簇是“表现出与复曲面簇及其矩映射相似的强凸性和正性的实代数簇。”，人们可以“几乎”将投影复曲面变种实现为指数变种（例2.4和例4.3，另见备注3）。许多变种（特别是在代数统计中重要的变种）都属于指数变种家族。这包括作者所称的指数变化范式，即满足线性约束的对称矩阵的逆的变化，这在第7节中对Hankel矩阵进行了详细讨论。
在第4节中，指数变化被定义为双曲多项式梯度映射下线性子空间图像的闭包。更准确地说，给定一个线性空间（mathcal{L}\subset\mathbb{C}\mathbb2{P}^{d-1}）和一个齐次多项式（f\in\mathbb{R}[theta_1，\ldots，\theta_d]\），梯度映射（f=-\nabla\log（f）：\mathbb-{C}\mathbb/{P}^{d-1}\dashrightarrow\mathbp{C}\ mathbb}P}^ d-1}\），人们总是可以考虑品种\（\mathcal{L}^{f}\子集\mathbb{C}\mathbb{P}^{d-1}）是\（F\）下\（\mathcal{L}\）的图像的闭包。如果多项式被假定为双曲线的，则\（\mathcal{L}^{nabla-f}\）是指数变化。指数变化的正性质（从这个定义中根本看不出来）来自于\（f）的双曲性。
（p）次的齐次多项式（f\in\mathbb{R}[\theta_1，\ldots，\theta_d]\）是双曲线，如果存在一个点（\tau\in\mathbb{R}^d\），从而使（f（\tau）neq0）满足每一条通过\（\tau\）的线都与\（p\）点中的实超曲面（f=0\}\）相交（计数重数）。包含（tau）的\（mathbb{R}^d\setminus\{f=0\}\）的分量是一个凸锥\（C\），称为双曲圆锥第页，共页。从最优化理论可知，梯度函数\（F（θ）=-\logf（θ）\）提供了双曲锥\（C\）与其对偶锥\（K=C^｛\vee｝\）内部之间的双射[J.雷内加，MPS/SIAM优化系列3。宾夕法尼亚州费城：SIAM，工业和应用数学学会。宾夕法尼亚州费城：MPS，数学编程学会，vi，116 p.（2001；Zbl 0986.90075号)].
论文组织如下。在第2节中，指数族介绍了。这些是特殊的参数统计模型，在规范参数和的\（K\）足够的统计数据[L.D.布朗，《统计指数族的基本原理及其在统计决策理论中的应用》。加利福尼亚州海沃德：数理统计研究所（1986；Zbl 0685.6202号)]. 第3节专门描述双曲指数族与双曲多项式（f）相关。这些是指数族，其规范参数空间与（f）的双曲锥（C）重合。
在第4节中，定义了指数变化。捕获指数变量的强凸性和正性的一个关键结果在我们现在描述的定理4.4中找到。假设\（mathcal{L}\subset\mathbb{R}^d）是线性子空间，\（f\in\mathbb{R}[x_1，\ldots，x_d]\）是双曲多项式，具有双曲锥\（C\）和梯度映射\（f=-\nabla\log（f）\）。设\（\mathcal{L}^F\）是相关的指数簇。这个阳性部分的是半代数集（mathcal{L}^F\）。
线性子空间（mathcal{L}\subset\mathbb{R}^d\）的包含的对偶项是核（mathca{L}^\）的投影（\pi_{mathcal}L}}:\mathbb{R}^d\rightarrow（\mathbb2{R}*^d/\mathcal\L}^{\perp}）。设置\（C\cap\mathcal{L}=C_\mathcal{L}\）和\（K_\mathcal{L{=L（K）\）。定理4.4表示在映射序列中\[C_\mathcal{L}\子集C\rightarrow{F}K\rightarrow{L}K_{mathcal}，\]\（C_\mathcal{L}\）通过\（F\）被双向映射到\（\mathcal{L}^F{\succ0}\子集K\），而\（\mathcal{L}^F_{\suck0}\）则通过投影\（\pi_{\mathcali{L}}\）被单向映射到\。投影\（\pi_{\mathcal{L}}:\mathcal{L}^F{\suck0}\rightarrow K{\matchcal{L}{）是复曲面变体的矩映射的模拟。
第五节研究了投影度（pi_mathcal{L}）。第六节研究了对称多项式定义的指数簇，第七节研究了满足线性约束的Hankel矩阵的逆。
审核人：迈克尔·迪帕斯奎尔（斯蒂尔沃特）

引用于23文件

MSC公司：

14M99型 特殊品种
52A20型 维的凸集（包括凸超曲面）
62E99型 统计分布理论
65C60个 统计中的计算问题（MSC2010）

关键词：

代数统计学;半定规划;凸优化;指数族;双曲多项式;ML度

引文：

Zbl 0986.90075号;Zbl 0685.6202号

软件：

麦考利2;贝尔蒂尼;gRc（十亿卢比）
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\文本{M.Michałek}等人，Proc。伦敦。数学。Soc.（3）112，编号1，27-56（2016；兹bl 1345.14048）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] T.W.Anderson，“线性组合或其逆矩阵为给定矩阵线性组合的协方差矩阵的估计”，《概率与统计论文》（编辑R.C.Bose（编辑）、I.M.Chakravarti（编辑），P.C.Mahalanobis（编辑）和C.R.Rao（编辑）以及K.J.C.Smith（编辑）；北卡罗莱纳大学出版社，北卡罗来纳州教堂山，1970年）1-24·Zbl 0265.62023号
[2] K.Aomoto，“关于线性函数幂积积分的结构”，科学。东京大学论文学院总编辑，27（1977）49-61·Zbl 0384.35045号
[3] D.Bates，J.Hauenstein，A.Sommese，C.Wampler，《使用Bertini数值求解多项式系统》，《软件、环境和工具》25（SIAM，费城，2013）·Zbl 1295.65057号
[4] G.Blekherman，P.Parrilo，R.Thomas，《半定优化与凸代数几何》，MOS‐SIAM优化系列13（SIAM，费城，2013）·Zbl 1260.90006号
[5] P.Brändén，“初等对称多项式的双曲锥是谱面”，Optim。莱特。，8 (2014) 1773-1782. ·Zbl 1333.90125号
[6] L.D.Brown，《统计指数族的基本原理及其在统计决策理论中的应用》（加州海沃德数理统计研究所，1986年）·Zbl 0685.6202号
[7] P.Bürgisser，J.M.Landsberg，L.Manivel，J.Weyman，“VP与VNP的几何复杂性理论方法中出现的数学问题概述”，SIAM J.Compute。，40 (2011) 1179-1209. ·Zbl 1252.68134号
[8] G.Choquet，“Deux examples classiques de représentation intégrale”，恩塞恩。数学。，15 (1969) 63-75. ·Zbl 0175.42202号
[9] D.Croitoru，“超单纯形、根系统和移位年轻表的混合体”，麻省理工学院博士论文，2010年。
[10] J.De Loera，B.Sturmfels，C.Vinzant，“线性规划中的中心曲线”，Found。计算。数学。，12 (2012) 509-540. ·Zbl 1254.90108号
[11] A.P.Dempster，“协方差选择”，《生物统计学》，28（1972）157-175。
[12] M.Drton，S.Sullivant，“代数统计模型”，统计师。Sinica，17（2007）1273-1297·Zbl 1132.62003号
[13] W.Fulton，复曲面品种简介（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1993年）·Zbl 0813.14039号
[14] L.Gárding，“常系数线性双曲型偏微分方程”，《数学学报》。，85 (1951) 1-62. ·Zbl 0045.20202
[15] R.M.Gray，“Toeplitz和循环矩阵：综述”，Found。流行趋势。通知。理论，2（2006）155-239·Zbl 1115.15021号
[16] D.R.Grayson，M.E.Stillman，“Macaulay2，代数几何研究的软件系统”，预印本，http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/。
[17] O.Güler，“内点方法中的障碍函数”，数学。操作。Res.，21（1996）860-885·Zbl 0867.90090号
[18] O.Güler，“凸规划的双曲多项式和内点方法”，数学。操作。《决议》，22（1997）350-377·Zbl 0883.90099号
[19] H.Hashiguchi，Y.Numata，N.Takayama，A.Takemura，“Wishart矩阵最大根分布函数的完整梯度法”，J.多元分析。，117 (2013) 296-312. ·Zbl 1282.33010号
[20] U.Helmke，P.Fuhrmann，“Bezoutians”，线性代数应用。，122 (1989) 1039-1097. ·Zbl 0679.93009号
[21] J.Herzog，T.Hibi，“离散多拟阵”，J.代数组合，16（2002）239-268·Zbl 1012.05046号
[22] S.Höjsgaard，S.L.Lauritzen，“具有边和顶点对称性的图形高斯模型”，J.R.Stat.Soc.：Ser。B（Stat.Methodol.），5（2008）1005-1027·Zbl 1411.62177号
[23] J.Huh，B.Sturmfels，“似然几何”，组合代数几何（eds A.Conca（ed.）et al.），数学讲义2108（Springer，Berlin，2014）63-117·Zbl 1328.14004号
[24] S.T.Jensen，“协方差和逆协方差均为线性的协方差假设”，Ann.Statist。，16 (1988) 302-322. ·Zbl 0653.62042号
[25] M.Kummer，“关于特殊Vámos多项式双曲锥的注记”，Preprint，2013年，arXiv:1306.4483。
[26] M.Kummer、D.Plaumann、C.Vinzant，“双曲多项式、交错线和平方和”，《数学》。程序。，序列号。B、 2012年，预印本，arXiv:1212.6696·Zbl 1349.14181号
[27] S.L.Lauritzen，《图形模型》（牛津大学出版社，牛津，1996年）·Zbl 0907.62001
[28] E.Miller，B.Sturmfels，组合交换代数，数学研究生教材（Springer，纽约，2004）。
[29] L.Pachter，B.Sturmfels，《计算生物学的代数统计》（剑桥大学出版社，剑桥，2005年）·Zbl 1108.62118号
[30] A.Postnikov，“Permuthodrea，associahedra，and beyond”，《国际数学》。Res.Not.，不适用。，6（2009）1026-1106·Zbl 1162.52007年
[31] J.Rauh，T.Kahle，N.Ay，“指数族和定向拟阵理论中的支持集”，国际出版社。J.近似原因。，52 (2011) 613-626. ·Zbl 1214.62013年
[32] J.Renegar，《凸优化中内点方法的数学观点》，MOS‐SIAM优化系列（SIAM，宾夕法尼亚州费城，2001）·Zbl 0986.90075号
[33] R.Sanyal，F.Sottile，B.Sturmfels，《轨道》，Mathematika，57（2011）275-314·兹比尔1315.52001
[34] A.Scott，A.Sokal，“一些组合定义多项式的逆幂的完全单调性”，《数学学报》。，213 (2014) 323-392. ·Zbl 1304.05074号
[35] B.Sturmfels，不变量理论中的算法（Springer，维也纳和纽约，1993）·Zbl 0802.13002号
[36] B.Sturmfels，C.Uhler，“多元高斯、半定矩阵完备和凸代数几何”，《统计年鉴》。数学。，62 (2010) 603-638. ·Zbl 1440.62255号
[37] E.Tsukerman，“一元多项式的Gram谱面维数”，预印本，2015年，arXiv:1504.04101。
[38] V.A.Vasil’ev，I.M.Gel’fand，A.V.Zelevinskii，“复Grassmannian上的一般超几何函数”，Funct。分析。申请。，21 (1987) 19-31. ·Zbl 0625.33006号
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